八年級數(shù)學(xué)下冊專題02勾股定理中的翻折模型(原卷版+解析)_第1頁
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文檔簡介

專題02.勾股定理中的翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實(shí)際問題,也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中,要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等,這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角;因?yàn)榇蟛糠址蹎栴}是對矩形進(jìn)行翻折,所以翻折后由于線段交錯,出現(xiàn)的直角三角形也引起注意;因?yàn)榉蹎栴}本身是軸對稱的問題,所以翻折前后對應(yīng)點(diǎn)所連線段會被折痕所在直線垂直平分;折痕還會平分翻折所形成的的兩個(gè)角。總之,翻折問題并不復(fù)雜,只要要把隱含已知條件熟記于心,再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了。【知識儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問題中的共同方法是:在圖形中找到一個(gè)直角三角形,然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x,將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示,再利用勾股定理列出方程,從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以對角線AC為折痕,折疊ABC,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:AEC是等腰三角形。例1.(2023·成都市八年級課時(shí)練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,,將△ABD沿對角線BD對折,得到△EBD,DE與BC交于F,,則(

)A. B.3 C. D.6例2.(2022春·福建泉州·八年級??计谥校┤鐖D,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿對角線AC折疊,點(diǎn)D落在處.(1)求CF的長;(2)求重疊部分△AFC的面積.例3.(2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的邊在軸上,邊在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為.將矩形沿對角線翻折,點(diǎn)落在點(diǎn)的位置,且交軸于點(diǎn),那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.模型2.折痕過一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以AE為折痕,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:AEF是等腰三角形。例1.(2023·浙江寧波·八年級??计谀┤鐖D,矩形紙片中,,,折疊紙片使的對應(yīng)點(diǎn)落在對角線上,折痕為,則的長為______.例2.(2022·山東德州·八年級統(tǒng)考期末)如圖將矩形沿直線折疊,頂點(diǎn)D恰好落在邊上F處,已知,,則______.例3.(2023春·成都市·八年級專題練習(xí))如圖,在矩形中,是的中點(diǎn),將沿折疊后得到,延長交于點(diǎn)點(diǎn),若,,則的長為______.例4.(2023·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,矩形中,點(diǎn)、在上,將,分別沿著,翻折,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好重合在點(diǎn)處,則的值是(

)A. B. C. D.例5.(2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)在矩形的邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動.沿直線翻折,形成如下四種情形,設(shè),和矩形重疊部分(陰影)的面積為.(1)如圖4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)重合時(shí),求重疊部分的面積;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí),翻折后,點(diǎn)恰好落在邊上?這時(shí)重疊部分的面積等于多少?模型3.折痕任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以E,F(xiàn)為折痕,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:GC’F是直角三角形。例1.(2022春·河南駐馬店·八年級??计谥校┤鐖D,在長方形紙片中,,,,點(diǎn)E是的中點(diǎn),點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動點(diǎn),將沿所在直線翻折,得到,連接,則當(dāng)是直角三角形時(shí),的長是.例2.(2022·成都市八年級月考)如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合.若BC=8,CD=6,則CF的長為_________________.例3.(2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考期中)如圖所示,四邊形是一張長方形紙片,將該紙片沿著翻折,頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),若,,則的面積為_________.例4.(2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中)如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上.若AB=6,BC=9,則BF的長為_______例5.(2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)E在邊上,點(diǎn)A、D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N.如果直線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,那么的長是__________.模型4.過一個(gè)頂點(diǎn)所在直線(落點(diǎn)在一邊上)翻折模型【模型解讀】1)沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上,折痕為AD;2)沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上,折痕為CD;3)沿過點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上,折痕為BD。例1.(2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中)如圖,中,,,.(1)的長為.(2)把沿著直線翻折,使得點(diǎn)C落在邊上E處,求的長.例2.(2023秋·重慶·八年級專題練習(xí))如圖,在中,,,,為的平分線,將沿向上翻折得到,使點(diǎn)在射線上,則的長為(

A. B. C. D.例3.(2023秋·上海靜安·八年級??计谀┤鐖D,在中,,,為邊上一點(diǎn),將沿著直線翻折,點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,連接.如果,那么的長為.模型5.過斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型【模型解讀】1)沿直線MN(N為斜邊中點(diǎn))翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合;2)沿中線BE翻折,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,連結(jié)AF,F(xiàn)C,AF與BE交于點(diǎn)O.3)沿中線BE翻折,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,連結(jié)AD,CD.例1.(2023秋·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,將△ADE沿DE翻折,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則AE的長為(

)A. B.3 C. D.例2.(2023春·廣西·八年級專題練習(xí))已知,如圖,在中,是上的中線,如果將沿翻折后,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn),那么的長為__________.例3.(2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末)如圖,點(diǎn)是的邊的中點(diǎn),將沿直線翻折能與重合,若,,,則點(diǎn)到直線的距離為_______模型6.過任意兩點(diǎn)所在直線(落在其中一邊)翻折模型【模型解讀】1)沿直線MN翻折,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,連結(jié)CD.2)沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合;例1.(2022·河南·八年級期末)如圖,中,,M,N分別是邊上的兩個(gè)動點(diǎn).將沿直線折疊,使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處,則線段的長為(

)A.3 B. C.3或 D.3或例2.(2022·重慶市七年級期中)如圖,在中,,點(diǎn)D,E分別在邊,上,且,將沿折疊,點(diǎn)C恰好落在邊上的F點(diǎn),若,,,則的長為______.模型7其他三角形翻折模型例1.(2022·成都西川中學(xué)八年級期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).將△CEB沿直線CE折疊到△CEF,使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合.當(dāng)CF⊥AB時(shí),線段EB的長為_____.例2.(2022·內(nèi)江九年級期中)如圖,在RtABC的紙片中,∠C=90°,AC=7,AB=25.點(diǎn)D在邊BC上,以AD為折痕將ADB折疊得到,與邊BC交于點(diǎn)E.若為直角三角形,則BD的長是_____.例3.(2023春·北京·八年級??茧A段練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=BC=5,AC=,D是BC上一點(diǎn),連接AD.把△ACD沿AD翻折得到△ADE,且DE⊥AB于點(diǎn)F,連接BE,則點(diǎn)E到BC的距離為()A. B.3 C.2 D.例4.(2023·陜西西安·八年級??计谥校┤鐖D,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=2,AB=2,D、E分別是AB和BC上的點(diǎn),若把△BDE沿DE翻折,B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處,則BD的長是.例5.(2023秋·廣東揭陽·八年級??茧A段練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,,,,點(diǎn)E在線段AC上,D是線段BC上的一點(diǎn),連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折,得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí),,則.例6.(2023春·四川達(dá)州·八年級校聯(lián)考期中)如圖,在中,,,,將邊沿翻折,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處;再將邊沿翻折,使點(diǎn)落在的延長線上的點(diǎn)處,兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)、,則的長為.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.(2023·河北保定·八年級校考期末)如圖,已知中,,將它的銳角翻折,使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處,折痕交邊于點(diǎn),交邊于點(diǎn),則的值為(

)A. B. C. D.2.(2023春·重慶渝北·八年級??茧A段練習(xí))如圖,已知直角三角形,點(diǎn)D是邊上一點(diǎn),連接,把沿著翻折,得到,連接交于點(diǎn)F.若,,則點(diǎn)E到的距離為()A. B. C. D.3.(2023·遼寧沈陽·八年級??计谥校┤鐖D,長方形ABCD中,,,P為AD上一點(diǎn),將沿BP翻折至,PE與CD相交于點(diǎn)O,且,則AP的長為(

)A.4.8 B.4.6 C.5 D.4.54.(2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模)如圖,將矩形ABCD沿EF翻折,使B點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,已知AD=8,CD=4,則折痕EF的長為(

)A.4 B.5 C. D.5.(2023·廣東·八年級期末)如圖,在矩形中,,,先將矩形沿著直線翻折,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,再將沿著直線翻折,點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,則線段的長為()A. B. C. D.6.(2023·浙江杭州·模擬預(yù)測)如圖,在矩形紙片中,,將矩形紙片翻折,使點(diǎn)C恰好落在對角線交點(diǎn)O處,折痕為,點(diǎn)E在邊上,則的長為(

)A. B. C. D.7.(2023·甘肅慶陽·九年級??茧A段練習(xí))如圖,把矩形紙片ABCD沿EF翻折,點(diǎn)A恰好落在BC的處,若,,,則四邊形的面積是(

)A. B. C. D.8.(2023·山東濟(jì)南·七年級期末)如圖,折疊直角三角形紙片,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕為.若,,則的長是______.9.(2023春·重慶九龍坡·八年級??计谥校┤鐖D,在中,,,,點(diǎn)D在邊上,連接.將沿翻折后得到,若,則線段的長為______.10.(2023春·北京東城·八年級??计谥校┤鐖D,在長方形中,E為上一點(diǎn),將沿翻折,點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處.若,則的長為____________.11.(2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中)如圖,將一塊長方形紙片沿翻折后,點(diǎn)C與E重合,交于點(diǎn)H,若,,則的長度為.12.(2023春·浙江·八年級專題練習(xí))綜合實(shí)踐課上,小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進(jìn)行了探究,已知AB=12,∠CAB=30°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,且AE=5,(1)把長方形紙片沿著直線EF翻折,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對角線AC上,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,如圖①,則折痕EF長為;(2)在EF,A′D′上取點(diǎn)G,H,沿著直線GH繼續(xù)翻折,使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,如圖②,則折痕GH長為.13.(2022春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末)在矩形中,,,點(diǎn)E在邊上,連接,將沿翻折,得到,交于點(diǎn)F,連接.若點(diǎn)F為的中點(diǎn),則的長度為.14.(2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模)如圖,在矩形ABCD中,,,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接CE,將沿直線CE翻折得到,連接.當(dāng)點(diǎn)落在邊AD上,且點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)時(shí),的周長為.15.(2023春·重慶南岸·九年級校聯(lián)考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=5,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn),連接EF,將△BEF沿著EF翻折,使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處,AD=2,則EO的值為.16.(2023·上海松江·八年級期末)如圖,長方形ABCD中,BC=5,AB=3,點(diǎn)E在邊BC上,將△DCE沿著DE翻折后,點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)F處,那么CE的長度是________.17.(2023·四川達(dá)州·八年級??计谀┤鐖D所示,有一塊直角三角形紙片,,,將斜邊翻折使點(diǎn)B落在直角邊的延長線上的點(diǎn)E處,折痕為,則的長為18.(2022秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=5,將此三角形沿DE翻折,使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則AE長為.19.(2023春·湖南長沙·八年級??计谥校┤鐖D、將長方形沿對角線翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,交于E.(1)求證:是等腰三角形;(2)若,,求圖中的面積.21.(2022秋·福建漳州·八年級期末)在長方形ABCD中,AB=8,BC=10,P是邊AD上一點(diǎn),將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP.(1)如圖1,當(dāng)A'在BC上時(shí),連接AA',求AA'的長;(2)如圖2,當(dāng)AP=6時(shí),連接A'D,求A'D的長.22.(2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試)在學(xué)完矩形的性質(zhì)后,老師組織同學(xué)們利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動.小亮發(fā)現(xiàn)矩形折疊后,會出現(xiàn)全等的圖形;小穎發(fā)現(xiàn)矩形折疊后會得到直角三角形,請利用同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)解決下列問題.(1)如圖1,矩形,,,將延對角線翻折得到,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),與交于點(diǎn),則有______,,且,易得______;(2)在(1)的條件下,若要求線段的長度,令,則______(用x表示),在中利用勾股定理列出方程______(不用化簡);(3)如圖2,對矩形進(jìn)行如下操作:①分別以點(diǎn),為圓心,以大于的長度為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn),,作直線交于點(diǎn),連接;②將沿翻折,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處,作射線交于點(diǎn).若,,求線段CQ的長.

23.(2023秋·四川成都·九年級校考開學(xué)考試)綜合與實(shí)踐:問題情境:在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.在矩形中,E為邊上一點(diǎn),F(xiàn)為邊上一點(diǎn),連接,,分別將和沿,翻折,D,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為G,H,且C,H,G三點(diǎn)共線.觀察發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,若F為邊的中點(diǎn),,點(diǎn)G與點(diǎn)H重合,則_____°,_____;問題探究:(2)如圖2,若,,,求的長;拓展延伸:(3),,若F為的三等分點(diǎn),請求出的長.

24.(2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末)數(shù)學(xué)活動課上,同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動.如圖,四邊形為矩形,.將矩形沿著過點(diǎn)的直線翻折,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).(1)若直線與線段交于點(diǎn).①如圖1,當(dāng)點(diǎn)正好落在對角線和的交點(diǎn)處時(shí),則的度數(shù)是______;②如圖2,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí),延長交邊于點(diǎn).若,請?zhí)骄?,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)已知,,若直線與射線交于點(diǎn),且是直角三角形時(shí),求的長.

專題02.勾股定理中的翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實(shí)際問題,也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中,要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等,這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角;因?yàn)榇蟛糠址蹎栴}是對矩形進(jìn)行翻折,所以翻折后由于線段交錯,出現(xiàn)的直角三角形也引起注意;因?yàn)榉蹎栴}本身是軸對稱的問題,所以翻折前后對應(yīng)點(diǎn)所連線段會被折痕所在直線垂直平分;折痕還會平分翻折所形成的的兩個(gè)角??傊蹎栴}并不復(fù)雜,只要要把隱含已知條件熟記于心,再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了。【知識儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問題中的共同方法是:在圖形中找到一個(gè)直角三角形,然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x,將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示,再利用勾股定理列出方程,從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以對角線AC為折痕,折疊ABC,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:AEC是等腰三角形。例1.(2023·成都市八年級課時(shí)練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,,將△ABD沿對角線BD對折,得到△EBD,DE與BC交于F,,則(

)A. B.3 C. D.6【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì),可知BF=DF=-EF,在Rt中,由勾股定理得:,由此即可求得EF值.【詳解】解:∵,,∴AD=,,由折疊可知,AB=BE=6,AD=ED=,,,∵,∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF,∴在Rt中,由勾股定理得:,∴,解得:EF=,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用,靈活利用折疊進(jìn)行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵.例2.(2022春·福建泉州·八年級校考期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿對角線AC折疊,點(diǎn)D落在處.(1)求CF的長;(2)求重疊部分△AFC的面積.【答案】(1)5(2)10【分析】(1)矩形沿對角線AC對折后,所以,,,可得,再設(shè)AF=CF=x,BF=8﹣x,Rt△BCF中利用勾股定理列出方程,解出x,即可得出答案;(2)直接根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】(1)依題意可知,矩形沿對角線AC對折后有:以,,,∴(AAS),∴CF=AF.設(shè)AF=CF=x,∴BF=8﹣x,在Rt△BCF中,,即,解得x=5.所以CF=5;(2)由(1)得AF=CF=5,根據(jù)題意,得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的運(yùn)用等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=CF是解題的關(guān)鍵.例3.(2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的邊在軸上,邊在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為.將矩形沿對角線翻折,點(diǎn)落在點(diǎn)的位置,且交軸于點(diǎn),那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】(0,).【分析】先證明EA=EC(設(shè)為x);根據(jù)勾股定理列出x2=12+(3-x)2,求得x=,即可解決問題.【詳解】由題意知:∠BAC=∠DAC,AB∥OC,∴∠ECA=∠BAC,∴∠ECA=∠DAC,∴EA=EC(設(shè)為x);由題意得:OA=1,OC=AB=3;由勾股定理得:x2=12+(3-x)2,解得:x=,∴OE=3-=,∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,).故答案為(0,).【點(diǎn)睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答;對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求.模型2.折痕過一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以AE為折痕,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:AEF是等腰三角形。例1.(2023·浙江寧波·八年級??计谀┤鐖D,矩形紙片中,,,折疊紙片使的對應(yīng)點(diǎn)落在對角線上,折痕為,則的長為______.【答案】.【分析】先利用勾股定理求出BD,設(shè)AF=EF=x,則由折疊的性質(zhì)有BF=4-x,BE=2,在Rt△BEF中,由FB2=EF2+BE2,列出方程即可解決問題.【詳解】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵AB=4,AD=3,∴BD=,∵△DFE是由△DFA翻折得到,∴DE=AD=3,BE=2,設(shè)AF=EF=x,在Rt△BEF中,∵FB2=EF2+BE2,∴(4-x)2=x2+22,∴x=,∴AF=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識,利用法則不變性,設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵,是中考常考題型.例2.(2022·山東德州·八年級統(tǒng)考期末)如圖將矩形沿直線折疊,頂點(diǎn)D恰好落在邊上F處,已知,,則______.【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì),,再根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】解:根據(jù)折疊的性質(zhì),,在中,由勾股定理得:,故答案是:.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).例3.(2023春·成都市·八年級專題練習(xí))如圖,在矩形中,是的中點(diǎn),將沿折疊后得到,延長交于點(diǎn)點(diǎn),若,,則的長為______.【答案】【分析】連接,根據(jù)翻折的性質(zhì),矩形的性質(zhì)和是的中點(diǎn),可得:,,,,可證,得;再根據(jù),,可得,,可求出,再根據(jù)勾股定理可求出的長.【詳解】解:連接,則在矩形中,根據(jù)翻折的性質(zhì)和是的中點(diǎn),可得:,,,,在與中,∴;∴,∵,,∴,∴∴,在中,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等重要知識,熟悉相關(guān)性質(zhì)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.例4.(2023·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,矩形中,點(diǎn)、在上,將,分別沿著,翻折,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好重合在點(diǎn)處,則的值是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG,從而證出A、E、F以及B、E、G共線,設(shè)CF=x,再根據(jù)勾股定理得出FG,繼而得出的值.【詳解】解:矩形中,由翻折變換的性質(zhì)得,∴△BCF≌△BEF,△ADG≌△AEG,∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°,CF=EF,DG=EG;在四邊形BCFE中,∠CBE+∠CFE=180°,∵∠GFE+∠CFE=180°,∴∠CBE=∠GFE,∵∠CBE+∠EGF=90°,∴∠GFE+∠EGF=90°,∴∠FEG=90°,∴∠AEG+∠FEG=180°,∠BEF+∠FEG=180°,∴A、E、F三點(diǎn)共線,B、E、G三點(diǎn)共線,∴翻折變換的性質(zhì)得CF=EF=EG=DG=x∴∴∴;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,勾股定理,四邊形的內(nèi)角和,得到∠FEG=90°是解題的關(guān)鍵例5.(2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)在矩形的邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動.沿直線翻折,形成如下四種情形,設(shè),和矩形重疊部分(陰影)的面積為.(1)如圖4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)重合時(shí),求重疊部分的面積;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí),翻折后,點(diǎn)恰好落在邊上?這時(shí)重疊部分的面積等于多少?【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)恰好落在邊上,這時(shí).【分析】(1)根據(jù)折疊或者軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;(2)同樣根據(jù)軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;【詳解】解:(1)由題意可得,∴設(shè),則在中,∴重疊的面積(2)由題意可得∴

在中∵∴∴在中解得:此時(shí)∴當(dāng)時(shí),點(diǎn)恰好落在邊上這時(shí).【點(diǎn)睛】本題綜合考查了多個(gè)知識點(diǎn),包括折疊與軸對稱、方程、勾股定理等,在結(jié)合圖形及其變化,充分理解題意的前提下,熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識點(diǎn)方可解答.模型3.折痕任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中,以E,F(xiàn)為折痕,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1:≌;結(jié)論2:折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1:四邊形≌四邊形;結(jié)論2:折痕AC垂直平方BB’;結(jié)論3:GC’F是直角三角形。例1.(2022春·河南駐馬店·八年級??计谥校┤鐖D,在長方形紙片中,,,,點(diǎn)E是的中點(diǎn),點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動點(diǎn),將沿所在直線翻折,得到,連接,則當(dāng)是直角三角形時(shí),的長是.【答案】或7【分析】根據(jù)題意,分及兩種情況進(jìn)行討論求解.其中,當(dāng)時(shí),,,三點(diǎn)共線,由矩形性質(zhì)及已知條件,有,,在中,運(yùn)用勾股定理求得的長,再根據(jù)翻折性質(zhì),在中,運(yùn)用勾股定理求得FD的長;當(dāng),運(yùn)用翻折性質(zhì),證得是等腰直角三角形,再運(yùn)用矩形性質(zhì),求得FD的長.【詳解】解:分兩種情況進(jìn)行討論,①當(dāng)時(shí),∵矩形中,沿所在直線翻折,得到,∴,∴,,三點(diǎn)共線.∵矩形,,∴.∵,點(diǎn)E是的中點(diǎn),∴.∴在中,.∵沿所在直線翻折,得到,,∴,∴.設(shè),則,∵,∴,∵,∴在中,,即,解得,∴.②當(dāng)時(shí),∵,∴.∴沿所在直線翻折,得到,∴.∵矩形,∴.∵,∴是等腰直角三角形.∵,點(diǎn)E是的中點(diǎn),∴,∵矩形,,∴,∴.綜上所述,的長為或7.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的翻折問題,熟練運(yùn)用翻折性質(zhì)、勾股定理,是解題的關(guān)鍵.例2.(2022·成都市八年級月考)如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合.若BC=8,CD=6,則CF的長為_________________.【答案】【分析】設(shè),在中利用勾股定理求出x即可解決問題.【詳解】解:∵是的中點(diǎn),,,∴,由折疊的性質(zhì)知:,設(shè),則,在中,根據(jù)勾股定理得:,即:,解得,∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理,解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題,學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想,利用方程的去思考問題,屬于中考常考題型.例3.(2022秋·重慶沙坪壩·八年級??计谥校┤鐖D所示,四邊形是一張長方形紙片,將該紙片沿著翻折,頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),若,,則的面積為_________.【答案】【分析】根據(jù)長方形得到,,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,由勾股定理得到,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴,,如圖所示:∵將該紙片沿著EF翻折,頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合,∴A'D,,∴,,,∴,∴,,∴,解得,∴,∴過作于H,∴,∴AA'E的面積為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題),長方形的性質(zhì),三角形面積的計(jì)算,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例4.(2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中)如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上.若AB=6,BC=9,則BF的長為_______【答案】4【分析】首先求出BC′的長度,設(shè)出C′F的長,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段C′F的方程,解方程求出C′F的長,即可解決問題.【詳解】∵四邊形ABCD為矩形,∴∠B=90°;∵點(diǎn)C′為AB的中點(diǎn),AB=6,∴BC′=3;由題意得:C′F=CF(設(shè)為x),則BF=9?x,由勾股定理得:x2=32+(9?x)2,解得:x=5,∴BF=9?5=4.故答案為4.【點(diǎn)睛】本題以矩形為載體,以翻折變換為方法,以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成;靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵.例5.(2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)E在邊上,點(diǎn)A、D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N.如果直線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,那么的長是__________.【答案】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,然后利用三角形勾股定理即可得到答案.【詳解】解:如圖,連接,則有四邊形,四邊形相當(dāng)于四邊形沿邊對折得到.已知,,則,,在中,,則,設(shè),則,,在中,,即,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】考查了三角形勾股定理的應(yīng)用,三角形勾股定理是經(jīng)??疾榈囊粋€(gè)知識點(diǎn).模型4.過一個(gè)頂點(diǎn)所在直線(落點(diǎn)在一邊上)翻折模型【模型解讀】1)沿過點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上,折痕為AD;2)沿過點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上,折痕為CD;3)沿過點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上,折痕為BD。例1.(2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中)如圖,中,,,.(1)的長為.(2)把沿著直線翻折,使得點(diǎn)C落在邊上E處,求的長.【答案】(1)20(2)6【分析】(1)在中利用勾股定理即可求出的長;(2)首先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,,則,設(shè),則,根據(jù)勾股定理得出即可求出.【詳解】(1)解:∵

∴∵,∴故答案為:;(2)根據(jù)折疊可得:,

則,設(shè),則,∵∴

解得:,

∴【點(diǎn)睛】該題主要考查了折疊的性質(zhì),勾股定理,掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例2.(2023秋·重慶·八年級專題練習(xí))如圖,在中,,,,為的平分線,將沿向上翻折得到,使點(diǎn)在射線上,則的長為(

A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得,進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,可得,設(shè),表示出,進(jìn)而在中,勾股定理列出方程,解方程即可求解.【詳解】解:∵在中,,,,∴,∵將沿向上翻折得到,使點(diǎn)在射線上,∴,設(shè),則,,在中,,即,解得:即的長為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.例3.(2023秋·上海靜安·八年級校考期末)如圖,在中,,,為邊上一點(diǎn),將沿著直線翻折,點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,連接.如果,那么的長為.【答案】/【分析】根據(jù)題意,作出圖形,進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)以及已知條件得出,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理求得,進(jìn)而得出.【詳解】解:如圖,∵,∴,∴,∵折疊,∴,∴,∵中,,∴,∴,∵,∴,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,含30度角的直角三角形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),得出是解題的關(guān)鍵.模型5.過斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型【模型解讀】1)沿直線MN(N為斜邊中點(diǎn))翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合;2)沿中線BE翻折,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,連結(jié)AF,F(xiàn)C,AF與BE交于點(diǎn)O.3)沿中線BE翻折,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,連結(jié)AD,CD.例1.(2023秋·廣東·八年級專題練習(xí))如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,將△ADE沿DE翻折,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則AE的長為(

)A. B.3 C. D.【答案】D【分析】先利用折疊的性質(zhì)得到,設(shè),則,,在中,根據(jù)勾股定理可得到,求解即可.【詳解】解:∵沿DE翻折,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,∴,∴,設(shè),則,,在中,∵,∴,解得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用,理解題意,熟練掌握勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵.例2.(2023春·廣西·八年級專題練習(xí))已知,如圖,在中,是上的中線,如果將沿翻折后,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn),那么的長為__________.【答案】.【分析】先用勾股定理求得BC,利用斜邊上的中線性質(zhì),求得CD,BD的長,再利用折疊的性質(zhì),引進(jìn)未知數(shù),用勾股定理列出兩個(gè)等式,聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】如圖所示,∵,∴BC==8,∵CD是上的中線,∴CD=BD=AD=5,設(shè)DE=x,BE=y,根據(jù)題意,得,,解得x=,y=,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,斜邊上中線的性質(zhì),方程組的解法,折疊的性質(zhì),熟練掌握折疊的性質(zhì),正確構(gòu)造方程組計(jì)算是解題的關(guān)鍵.例3.(2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末)如圖,點(diǎn)是的邊的中點(diǎn),將沿直線翻折能與重合,若,,,則點(diǎn)到直線的距離為_______【答案】【分析】連接,延長交于點(diǎn)G,作于點(diǎn)H,如圖所示,由折疊的性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)可得三角形為直角三角形,且G為中點(diǎn),從而,由勾股定理可得的長,再根據(jù),即,從而可求得的長.【詳解】解:連接,延長交于點(diǎn)G,作于點(diǎn)H,如圖所示,由折疊的性質(zhì)可得:,則為的中垂線,∴,∵D為中點(diǎn),∴,∴,∵,即,∴,即,在直角三角形中,由勾股定理可得:,∴,∵,∴,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,點(diǎn)到直線的距離,直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定,解決本題的關(guān)鍵是利用面積相等求相應(yīng)線段的長.模型6.過任意兩點(diǎn)所在直線(落在其中一邊)翻折模型【模型解讀】1)沿直線MN翻折,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,連結(jié)CD.2)沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合;例1.(2022·河南鶴壁·八年級期末)如圖,中,,M,N分別是邊上的兩個(gè)動點(diǎn).將沿直線折疊,使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處,則線段的長為(

)A.3 B. C.3或 D.3或【答案】D【分析】根據(jù)題意,分和兩種情形,設(shè),在中,勾股定理建立方程,解方程即可求解.【詳解】解:,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處,設(shè)BN=x,則和,,在中,,當(dāng)時(shí),,解得:,當(dāng)時(shí),,解得:,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊與勾股定理,分類討論是解題的關(guān)鍵.例2.(2022·重慶市七年級期中)如圖,在中,,點(diǎn)D,E分別在邊,上,且,將沿折疊,點(diǎn)C恰好落在邊上的F點(diǎn),若,,,則的長為______.【答案】【分析】由三角形面積公式可求得,由折疊的性質(zhì)可得,由直角三角形的性質(zhì)可得,,即可求得AB.【詳解】解:∵將△CDE沿DE折疊,點(diǎn)C恰好落在AB上的F處,∴OC=OF,CF⊥DE,∵,∴,∴,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,且∠CDE+∠DCF=90°,∠CDE=∠B,∴∠A=∠ACF,∴,同理可求:,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換,直角三角形的性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識解題.模型7其他三角形翻折模型例1.(2022·成都西川中學(xué)八年級期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).將△CEB沿直線CE折疊到△CEF,使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合.當(dāng)CF⊥AB時(shí),線段EB的長為_____.【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H,利用勾股定理求出AB,利用面積法求出CH,求出HF和BH,設(shè)BE=EF=x,在△EHF中利用勾股定理列出方程,解之即可.【詳解】解:設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,∴S△ABC=,即,∴CH=,由折疊可知:CF=CB=4,∴HF=CF-CH=,在△BCH中,BH=,設(shè)BE=EF=x,則EH=-x,在△EHF中,,∴,解得:x=2,∴EB=2,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,折疊的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段,利用勾股定理列出方程.例2.(2022·內(nèi)江九年級期中)如圖,在RtABC的紙片中,∠C=90°,AC=7,AB=25.點(diǎn)D在邊BC上,以AD為折痕將ADB折疊得到,與邊BC交于點(diǎn)E.若為直角三角形,則BD的長是_____.【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長,由折疊可知對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,當(dāng)為直角三角形時(shí),可以分為兩種情況進(jìn)行考慮,分別利用勾股定理可求出的長.【詳解】解:在中,,(1)當(dāng)時(shí),如圖1,過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),由折疊得:,,設(shè),則,,在中,由勾股定理得:,即:,解得:(舍去),,因此,.(2)當(dāng)時(shí),如圖2,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,由折疊得:,則,設(shè),則,,在△中,由勾股定理得:,解得:,因此.故答案為:17或.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,直角三角形的性質(zhì),勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是:分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù).例3.(2023春·北京·八年級校考階段練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=BC=5,AC=,D是BC上一點(diǎn),連接AD.把△ACD沿AD翻折得到△ADE,且DE⊥AB于點(diǎn)F,連接BE,則點(diǎn)E到BC的距離為()A. B.3 C.2 D.【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AG⊥BC,垂足為G,過點(diǎn)B作BH⊥AC,垂足為H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理,可計(jì)算出BH、CG的長度,根據(jù)等面積法可計(jì)算出AG的長度,再由翻折的性質(zhì)可得△AGD≌△AFD,在Rt△BDF中,可計(jì)算出DF的長度,即可得出DE的長,再由在△BDF中應(yīng)用等面積法即可得出答案.【詳解】解:過點(diǎn)A作AG⊥BC,垂足為G,過點(diǎn)B作BH⊥AC,垂足為H,∵AB=BC=5,∴,在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,BH2+()2=52,解得BH=,解得:AG=3,在中,CG2+AG2=AC2,CG2+33=,解得:CG=1,由翻折可得,∠ADF=∠ADG,∵DE⊥AB,∴∠AGD=∠AFD=90°,∴△AGD≌△AFD(AAS),∴AF=AG=3,BF=AB﹣AF=2,設(shè)GD=x,則DF=x,BD=4﹣x,在Rt△BDF中,DF2+BF2=BD2,x2+22=(4﹣x)2,解得,∴DE=CD=,BD=BC﹣CD=,設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為d,解得d=2.所以點(diǎn)E到BC的距離為2.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及等面積法,熟練應(yīng)用相關(guān)知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.例4.(2023·陜西西安·八年級校考期中)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=2,AB=2,D、E分別是AB和BC上的點(diǎn),若把△BDE沿DE翻折,B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處,則BD的長是.【答案】/1.75【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,設(shè),則,在中,勾股定理列出方程即可求得的長,進(jìn)而求得BD的長.【詳解】把△BDE沿DE翻折,B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處,,設(shè),則,在中,即解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,折疊的性質(zhì),掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.例5.(2023秋·廣東揭陽·八年級??茧A段練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,,,,點(diǎn)E在線段AC上,D是線段BC上的一點(diǎn),連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折,得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí),,則.【答案】1【分析】連接BE,由將四邊形ABDE沿直線DE翻折,得到四邊形FGDE,可得BE=4-AE,然后利用勾股定理即可得解.【詳解】解:如下圖,連接BE,∵將四邊形ABDE沿直線DE翻折,得到四邊形FGDE,∴BE=EG,∵,,∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE,∵在Rt△ABC中,,,∴AE2+AB2=BE2即,∴AE=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理,利用勾股定理構(gòu)造方程求解是解題的關(guān)鍵.例6.(2023春·四川達(dá)州·八年級校聯(lián)考期中)如圖,在中,,,,將邊沿翻折,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處;再將邊沿翻折,使點(diǎn)落在的延長線上的點(diǎn)處,兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)、,則的長為.【答案】【分析】首先證明是等腰直角三角形,利用面積法求出,可得,由勾股定理求出,即可求得的長.【詳解】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:,,,,,,,是等腰直角三角形,,,根據(jù)勾股定理得:,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換,等腰三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識;熟練掌握翻折變換的性質(zhì),由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出、是解決問題的關(guān)鍵.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.(2023·河北保定·八年級??计谀┤鐖D,已知中,,將它的銳角翻折,使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處,折痕交邊于點(diǎn),交邊于點(diǎn),則的值為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由折疊可得△AEF≌△DEF,可知AE=DE,由點(diǎn)為邊的中點(diǎn),可求CD=,設(shè)DE=x,CE=6-x,在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可.【詳解】解:∵將它的銳角翻折,使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處,折痕交邊于點(diǎn),交邊于點(diǎn),∴△AEF≌△DEF,∴AE=DE,∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn),∴CD=,設(shè)DE=x,CE=6-x,在Rt△CDE中由勾股定理,即,解得.故選擇:C.【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì),中點(diǎn)定義,勾股定理,掌握折疊性質(zhì),中點(diǎn)定義,勾股定理,關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)造方程.2.(2023春·重慶渝北·八年級??茧A段練習(xí))如圖,已知直角三角形,點(diǎn)D是邊上一點(diǎn),連接,把沿著翻折,得到,連接交于點(diǎn)F.若,,則點(diǎn)E到的距離為()A. B. C. D.【答案】D【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M,先根據(jù)勾股定理求出的長度,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出,繼而利用三角形的面積公式求出,再求出,,利用三角形的面積求解即可.【詳解】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M,∴,在直角三角形,,,,∴,∵把沿著翻折,得到,∴,∴,∴,即,解得,∴,,∵,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,三角形的面積公式,折疊的性質(zhì),熟練掌握知識點(diǎn),準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.3.(2023·遼寧沈陽·八年級??计谥校┤鐖D,長方形ABCD中,,,P為AD上一點(diǎn),將沿BP翻折至,PE與CD相交于點(diǎn)O,且,則AP的長為(

)A.4.8 B.4.6 C.5 D.4.5【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)得出EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,由ASA證明△ODP≌△OEG,得出OP=OG,PD=GE,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,求出CG、BG,根據(jù)勾股定理得出方程,解方程即可.【詳解】解:如圖所示,∵四邊形ABCD是長方形,∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,根據(jù)題意得:△ABP≌△EBP,∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,在△ODP和△OEG中,,∴△ODP≌△OEG(ASA),∴OP=OG,PD=GE,∴DG=EP,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x,根據(jù)勾股定理得:,即,解得:x=4.8,∴AP=4.8,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了長方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用,熟練掌握翻折變換和長方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.4.(2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模)如圖,將矩形ABCD沿EF翻折,使B點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,已知AD=8,CD=4,則折痕EF的長為(

)A.4 B.5 C. D.【答案】D【分析】作于,則,由四邊形為矩形,得,由折疊的性質(zhì)及等量代換得,設(shè),則,由勾股定理解得,所以,,根據(jù)矩形的判定可證四邊形是矩形,可得出,在由勾股定理得即可計(jì)算出.【詳解】解:如圖,作于,則,四邊形為矩形,,,,,,矩形沿折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,,,,,,設(shè),則,在中,,,解得:,,,,,四邊形是矩形,,,,在中,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化.5.(2023·廣東·八年級期末)如圖,在矩形中,,,先將矩形沿著直線翻折,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,再將沿著直線翻折,點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,則線段的長為()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì),設(shè),,由勾股定理計(jì)算出,進(jìn)而得到,在中,根據(jù)勾股定理得,故可求解.【詳解】解:由翻折得,.∵四邊形是矩形,∴,.在中,根據(jù)勾股定理,得,∴.設(shè),則,由翻折得,,,在中,由勾股定理,得.∴.解得.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形與折疊,解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用.6.(2023·浙江杭州·模擬預(yù)測)如圖,在矩形紙片中,,將矩形紙片翻折,使點(diǎn)C恰好落在對角線交點(diǎn)O處,折痕為,點(diǎn)E在邊上,則的長為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】首先證明△OBC是等邊三角形,在Rt△EBC中求出CE即可解決問題;【詳解】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴OB=OC,∠BCD=90°,由翻折不變性可知:BC=BO,∴BC=OB=OC,∴△OBC是等邊三角形,∴∠OBC=60°,∴∠EBC=∠EBO=30°,∴BE=2CE根據(jù)勾股定理得:EC==,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換,等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是證明△OBC是等邊三角形.7.(2023·甘肅慶陽·九年級??茧A段練習(xí))如圖,把矩形紙片ABCD沿EF翻折,點(diǎn)A恰好落在BC的處,若,,,則四邊形的面積是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)得到,,,利用勾股定理求得,過作⊥于,設(shè),在中,再利用勾股定理列式求得,根據(jù)梯形面積公式即可求解.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴,根據(jù)折疊的性質(zhì),得:,,,,,,在中,,,∴,∴,過作⊥于,則,設(shè),則,,在中,,即,解得:,即,∴四邊形的面積是,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,梯形的面積公式,解本題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別求出,的長.8.(2023·山東濟(jì)南·七年級期末)如圖,折疊直角三角形紙片,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕為.若,,則的長是______.【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,然后在中,利用勾股定理即可解答.【詳解】解:∵折疊直角三角形紙片,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,∴,又∵,,,∴,∵在中,,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題),勾股定理.理解和掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.9.(2023春·重慶九龍坡·八年級校考期中)如圖,在中,,,,點(diǎn)D在邊上,連接.將沿翻折后得到,若,則線段的長為______.【答案】【分析】與交于點(diǎn)F,設(shè),則,據(jù)勾股定理得出,,再由翻折的性質(zhì)得出,,設(shè),則,利用勾股定理求解即可.【詳解】解:與交于點(diǎn)F,設(shè),則,∵,,,,∴即,解得:,∴,∴,∵將沿翻折后得到,∴,,∴,設(shè),則,∴即,解得:線段的長為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考翻折變換,勾股定理知識,解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解,屬中考??碱}型.10.(2023春·北京東城·八年級校考期中)如圖,在長方形中,E為上一點(diǎn),將沿翻折,點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處.若,則的長為____________.【答案】5【分析】設(shè),由,利用勾股定理可得的長,在中,利用勾股定理列式,即可解得,據(jù)此即可求解.【詳解】解:∵四邊形是長方形,∴,設(shè),則,∵,∴,∴,在中,,∴,解得:,∴,∴,故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì),勾股定理及應(yīng)用等知識,熟練掌握翻折的性質(zhì)和矩形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.(2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中)如圖,將一塊長方形紙片沿翻折后,點(diǎn)C與E重合,交于點(diǎn)H,若,,則的長度為.【答案】6【分析】由翻折得到,,利用長方形的性質(zhì)得到,推出,證明,得到,求出,由此求出,繼而得到答案.【詳解】解:由翻折得,,在長方形中,,,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,故答案為:6.【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì),長方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形30度角的性質(zhì),熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.(2023春·浙江·八年級專題練習(xí))綜合實(shí)踐課上,小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進(jìn)行了探究,已知AB=12,∠CAB=30°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,CD上,且AE=5,(1)把長方形紙片沿著直線EF翻折,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對角線AC上,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,如圖①,則折痕EF長為;(2)在EF,A′D′上取點(diǎn)G,H,沿著直線GH繼續(xù)翻折,使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,如圖②,則折痕GH長為.【答案】8【分析】(1)過F點(diǎn)作FM⊥AB于M點(diǎn),易證明四邊形AMFD是矩形,即有AD=FM,DF=AM,根據(jù)∠CAB=30°,AB=12,在Rt△ABC中,利用勾股定理可得,即,則,根據(jù)翻折的性質(zhì)有,即可得∠MFE=∠CAB=30°,則在Rt△MFE中,得,問題得解;(2)連接HF、HE,AC、EF交于N點(diǎn),根據(jù)折疊的性質(zhì),可求出AM=AE-ME=5-4=1,即DF=AM=1,,在和中,利用勾股定理有,,即有,可得到,進(jìn)而可得,在中利用勾股定理即可求解.【詳解】解:(1)過F點(diǎn)作FM⊥AB于M點(diǎn),如圖,在長方形ABCD中,AB=CD,BC=AD,∠DAB=∠D=90°,∵FM⊥AB,∴∠FMA=∠FME=90°,∴四邊形AMFD是矩形,∴AD=FM,DF=AM,∵∠CAB=30°,AB=12,∴在Rt△ABC中,有2BC=AC,即,得,解得,,即,∴,根據(jù)翻折的性質(zhì)有,∴∠MFE+∠FEM=90°,∠CAB+∠AEF=90°,

∴∠MFE=∠CAB=30°,∴在Rt△MFE中,有2ME=EF,即,得,解得EF=8,即ME=4,故答案為:8.(2)連接HF、HE,AC、EF交于N點(diǎn),如圖,根據(jù)翻折的性質(zhì)有,,,,,,∵M(jìn)E=4,AE=5,∴AM=AE-ME=5-4=1,∴DF=AM=1,∴,,,∴,根據(jù)折疊的性質(zhì)有:GH垂直平分EF,

∴FG=GE=EF=4,∵在和中,利用勾股定理有,,∴,解得,∴,∵在中,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題,考查矩形的性質(zhì),翻折變換,勾股定理以及含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.13.(2022春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末)在矩形中,,,點(diǎn)E在邊上,連接,將沿翻折,得到,交于點(diǎn)F,連接.若點(diǎn)F為的中點(diǎn),則的長度為.【答案】【分析】過點(diǎn)C'作C'H⊥AD于點(diǎn)H,由折疊的性質(zhì)可得CD=C'D=3,∠C=∠EC'D=90°,由勾股定理可求C'F=1,由三角形面積公式可求C'H的長,再由勾股定理可求AC'的長.【詳解】解:如圖,過點(diǎn)C'作C'H⊥AD于點(diǎn)H,∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),AD=BC=,∴AF=DF=,∵將△DEC沿DE翻折,∴CD=C'D=3,∠C=∠EC'D=90°,在Rt△DC'F中,C'F==1,∵S△C'DF=×DF×C'H=×C'F×C'D,∴×C'H=1×3,∴C'H=,∴FH=,∴AH=AF+FH=,在Rt△AC'H中,AC'=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理,求C'H的長是本題的關(guān)鍵.14.(2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模)如圖,在矩形ABCD中,,,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接CE,將沿直線CE翻折得到,連接.當(dāng)點(diǎn)落在邊AD上,且點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)時(shí),的周長為.【答案】或【分析】分以下兩種情況進(jìn)行討論.①當(dāng)點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)且靠近A點(diǎn)時(shí);②當(dāng)點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)且靠近D點(diǎn)時(shí),根據(jù)折疊性質(zhì)及勾股定理求解即可.【詳解】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴,.由題意,可知需分以下兩種情況進(jìn)行討論.①當(dāng)點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)且靠近A點(diǎn)時(shí),如圖1所示.又∵,∴,.由折疊的性質(zhì),可知,,∴.∴.∴.②當(dāng)點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)且靠近D點(diǎn)時(shí),如圖2所示.又∵,∴,.由折疊的性質(zhì),可知,,∴.∴.∴.綜上所述,當(dāng)點(diǎn)落在邊AD上,且點(diǎn)恰好是AD的三等分點(diǎn)時(shí),的周長為或.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查矩形及其折疊問題,勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì),對點(diǎn)位置進(jìn)行分情況討論.15.(2023春·重慶南岸·九年級校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=5,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn),連接EF,將△BEF沿著EF翻折,使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處,AD=2,則EO的值為.【答案】【分析】過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn),根據(jù)題意,可得為等腰直角三角形,再根據(jù)翻折可得,,,求出,再設(shè),根據(jù)勾股定理求出的長,即可得到的長.【詳解】解:如圖,過點(diǎn)作的垂線段,交于點(diǎn),,,為等腰直角三角形,,,,設(shè),則根據(jù)翻折,,在中,,可得方程,解得:,將△BEF沿著EF翻折,使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)勾股定理列方程求解問題,翻折問題,正確的作出輔助線,一步一步推論是解題的關(guān)鍵.16.(2023·上海松江·八年級期末)如圖,長方形ABCD中,BC=5,AB=3,點(diǎn)E在邊BC上,將△DCE沿著DE翻折后,點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)F處,那么CE的長度是________.【答案】【分析】由對折先證明再利用勾股定理求解再證明從而求解于是可得答案.【詳解】解:長方形ABCD中,BC=5,AB=3,由折疊可得:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的是長方形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,軸對稱的性質(zhì),求解是解本題的關(guān)鍵.17.(2023·四川達(dá)州·八年級??计谀┤鐖D所示,有一塊直角三角形紙片,,,將斜邊翻折使點(diǎn)B落在直角邊的延長線上的點(diǎn)E處,折痕為,則的長為【答案】4cm【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊的長求出,根據(jù)折疊的性質(zhì)知,,已知的長,可將的長求出,再根據(jù)勾股定理列方程求解,即可得到的長.【詳解】解:∵,,∴,由題意得,,∴.設(shè),則,在中,根據(jù)勾股定理得,即,解得,即長為.【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換,理解翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,翻折后的圖形與原圖形是全等的.18.(2022秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末)如圖,已知△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=5,將此三角形沿DE翻折,使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則AE長為.【答案】3.4【分析】由折疊的性質(zhì)得,設(shè),后在中,由勾股定理得出方程,求出x即可.【詳解】解:由折疊的性質(zhì)得:,設(shè),在中,由勾股定理得:,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】題目主要考查折疊的性質(zhì),勾股定理解三角形等,理解題意,熟練掌握運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.19.(2023春·湖南長沙·八年級??计谥校┤鐖D、將長方形沿對角線翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,交于E.(1)求證:是等腰三角形;(2)若,,求圖中的面積.【答案】(1)見解析(2)40【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到,得到,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,進(jìn)而得到可得到結(jié)論;(2)設(shè),則:,在中,利用勾股定理求出的值,進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)解:∵四邊形是長方形即矩形,∴,∴,∵將長方形沿對角線翻折,點(diǎn)落在點(diǎn)處,∴,∴,∴,∴是等腰三角形;(2)解:∵,,∴,,設(shè),則:,在中,即,解得:,∴,∴.∴圖中的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換—折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,等腰三角形的判定,三角形面積的計(jì)算.熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21.(2022秋·福建漳州·八年級期末)在長方形ABCD中,AB=8,BC=10,P是邊AD上一點(diǎn),將△ABP沿著直

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