集合間的基本關系集合與常用邏輯用語省公開課一等獎新名師比賽一等獎課件

集合間基本關系第1頁第2頁一二三四一、子集與真子集1.觀察下面實例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②設A為新華中學高一(2)班全體女生組成集合,B為這個班全體學生組成集合;③設A={x|x是兩條邊相等三角形},B={x|x是等腰三角形};④A={x|x是長方形},B={x|x是平行四邊形};⑤A={x|x>3},B={x|x>2};⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.(1)上面每個例子中兩個集合,集合A中任何一個元素都是集合B中元素嗎?提醒:是.稱集合A是集合B子集.第3頁一二三四(2)反過來,上述各對集合中,集合B中元素都是集合A中元素嗎?提醒:③⑥兩對集合中,集合B中元素也都是集合A中元素(集合相等);①②④⑤這四對集合中,集合B中有些元素不是集合A元素.稱集合A是集合B真子集.(3)上述集合A,B關系能不能用圖形直觀形象地表示出來?提醒:能.如圖,在數(shù)學中,我們經(jīng)慣用平面上封閉曲線內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.第4頁一二三四(4)Venn圖有什么要求?必須是橢圓形嗎?提醒:表示集合Venn圖邊界是封閉曲線,它能夠是矩形、圓、橢圓等,也能夠是其它封閉曲線.(5)用Venn圖表示集合有什么優(yōu)點和缺點?提醒:優(yōu)點在于易產(chǎn)生清楚視覺印象,能直觀地表示集合中元素組成以及集合之間關系,缺點在于集合中元素公共特征性質(zhì)不顯著.第5頁一二三四2.填空

第6頁一二三四3.做一做(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},則(

)A.P∈Q B.P?Q C.Q?P D.Q∈P(2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},則(

)A.B?A B.A?B C.B<A D.A<B(1)解析:集合Q中元素都在集合P中,所以Q?P.答案:C(2)解析:由題意結合集合在數(shù)軸上表示確定兩集合關系即可.如圖所表示,由圖可知,B?A.答案:A第7頁一二三四二、集合相等1.(1)在子集定義中,能否了解為子集A是集合B中“部分元素”所組成集合?提醒:不能.A中可能含有B中全部元素(也可能不含任何元素).(2)本書1.1中,我們是怎樣定義兩個集合相等?提醒:只要組成兩個集合元素是一樣,我們就稱這兩個集合是相等.(3)本課時“一”中提出各對集合中,③⑥這兩對集合中元素一樣嗎?它們之間存在什么樣包含關系?提醒:③中,因為“兩條邊相等三角形”即等腰三角形,所以,集合A中任何一個元素都是集合B中元素,則A是B子集;同時,集合B中任何一個元素都是集合A中元素,則B也是A子集,即A和B兩集合中元素都是相同.也就是說集合A與B相等.同理能夠說明⑥中兩個集合元素也完全相同,即兩集合相等.第8頁一二三四2.填空普通地,假如集合A任何一個元素都是集合B元素,同時集合B任何一個元素都是集合A元素,那么集合A與集合B相等,記作A=B.也就是說,若A?B,且B?A,則A=B.3.做一做已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,則m值為

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解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.當m=-1時不滿足集合中元素互異性,舍去.故m=0.答案:0第9頁一二三四三、空集1.(1)觀察下面四個集合:①方程x2+1=0實數(shù)根組成集合;②不等式3x2+2<0解組成集合;③比5大1負數(shù)組成集合;④邊長分別為1,1,4三角形組成集合.它們有什么共同特點?你還能舉出類似例子嗎?提醒:這4個集合中沒有適合條件元素.即集合中沒有任何元素.(2)一座房子內(nèi)沒有任何東西,我們稱這座房子是空房子,那么一個集合沒有任何元素,應該怎樣命名呢?提醒:空集.(3)空集與任何集合之間有什么關系?與非空集合呢?提醒:要求空集是任何集合子集,是任何非空集合真子集.第10頁一二三四2.填空普通地,我們把不含有任何元素集合叫做空集,記為?,并要求:空集是任何集合子集,即??A.3.做一做以下四個集合中,是空集是(

)A.{0} B.{x|x>8且x<5}C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}答案:B第11頁一二三四四、子集與真子集性質(zhì)1.在實數(shù)中有以下結論:(1)對于任何一個實數(shù)a,有a≤a;(2)對于實數(shù)a,b,c,假如a<b,且b<c,那么a<c.你能類比這兩個結論,寫出兩個集合之間類似關系嗎?提醒:任何一個集合是它本身子集,即A?A.對于集合A,B,C,假如A?B,且B?C,那么A?C.2.上個問題中得到第(2)條性質(zhì)能夠推廣到真子集嗎?提醒:能夠.對于集合A,B,C,假如A?B,且B?C,那么A?C.第12頁探究一探究二探究三探究四思想方法寫出給定集合子集例1

(1)寫出集合{0,1,2}全部子集,并指出其中哪些是它真子集;(2)填寫下表,并回答下列問題:由此猜測:含n個元素集合{a1,a2,…,an}全部子集個數(shù)是多少?真子集個數(shù)及非空真子集個數(shù)呢?隨堂演練第13頁探究一探究二探究三探究四思想方法分析:(1)利用子集概念,按照集合中不含任何元素、含有一個元素、含有兩個元素、含有三個元素這四種情況分別寫出子集.(2)由特殊到普通,歸納得出.解:(1)不含任何元素子集為?;含有一個元素子集為{0},{1},{2};含有兩個元素子集為{0,1},{0,2},{1,2};含有三個元素子集為{0,1,2}.故集合{0,1,2}全部子集為?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下都是{0,1,2}真子集.隨堂演練第14頁探究一探究二探究三探究四思想方法(2)由此猜測:含n個元素集合{a1,a2,…,an}全部子集個數(shù)是2n,真子集個數(shù)是2n-1,非空真子集個數(shù)是2n-2.隨堂演練第15頁探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟

1.分類討論是寫出全部子集有效方法,普通按集合中元素個數(shù)多少來劃分,遵照由少到多標準,做到不重不漏.2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有(2n-1)個非空子集,有(2n-2)個非空真子集,該結論可在選擇題或填空題中直接使用.隨堂演練第16頁探究一探究二探究三探究四思想方法變式訓練1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件集合A個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5解析:集合{1,2,3}是集合A真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B隨堂演練第17頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練已知集合交集、并集求參數(shù)例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,則實數(shù)a值為

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分析:9∈A∩B說明9∈A,經(jīng)過分類討論建立關于a方程求解,注意求出a值后要代入集合A,B中,看是否滿足集合中元素互異性.解析:∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合題意;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合題意.綜上可得a值為5或-3.答案:5或-3第18頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

已知兩個有限集運算結果求參數(shù)值方法對于這類已知兩個有限集運算結果求參數(shù)值問題,普通先用觀察法得到不一樣集合中元素之間關系,再列方程求解.另外,在處理相關含參數(shù)集合問題時,要注意對求解結果進行檢驗,以防止違反集合中元素相關特征,尤其是互異性.第19頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究

例3中,將“9∈A∩B”改為“A∩B={9}”,其余條件不變,求實數(shù)a值及A∪B.解:∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},因為A∩B={-4,9},不符合題意,故a≠5;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合題意.綜上可得a=-3.此時A∪B={-8,-4,-7,4,9}.第20頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練例4集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求a取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a取值范圍.分析:利用數(shù)軸把集合A,B表示出來,依據(jù)題目條件數(shù)形結合列出參數(shù)a滿足不等式,求解時需注意等號能否取得.第21頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,如圖1所表示.∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1左側(cè),且包含點x=-1,∴a≤-1.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},如圖2所表示,∴數(shù)軸上點x=a在點x=-1和點x=1之間,不包含點x=-1,但包含點x=1.∴-1<a≤1.第22頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

已知集合運算求參數(shù)思緒這類問題常借助數(shù)軸處理,首先依據(jù)集合間關系畫出數(shù)軸,然后依據(jù)數(shù)軸列出關于參數(shù)不等式(組)求解,尤其要注意端點值取舍.當集合元素離散時,常借助集合關系列關于參數(shù)方程(組)求解,但求解后要代入檢驗是否符合題意.第23頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究

例4(1)中,把“A∩B=?”改為“A∩B≠?”,求a取值范圍.解:利用數(shù)軸(略)表示出兩個集合,數(shù)形結合知,要使A∩B≠?,需數(shù)軸上點x=a在點x=-1右側(cè)且不包含點x=-1,所以a>-1.第24頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練集合相等關系應用例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求實數(shù)x,y值.分析:依據(jù)A=B列出關于x,y方程組進行求解.解:∵A=B,∴集合A與集合B中元素相同,第25頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟集合相等則元素相同,但要注意集合中元素互異性,預防錯解.第26頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究若將本例已知條件改為“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求實數(shù)x,y值.解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素互異性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此時A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.當x=1時,x2=1,與集合中元素互異性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.第27頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練由集合間關系求參數(shù)范圍例5

已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關系;(2)若A?B,求實數(shù)a取值范圍.分析:(1)令a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間關系,判斷其子集關系;(2)依據(jù)集合B是否為空集進行分類討論;然后把兩集合在數(shù)軸上標出,依據(jù)子集關系確定端點值之間大小關系,進而列出參數(shù)a所滿足條件.第28頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練解:(1)若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標出集合A,B.由圖可知,B?A.(2)由已知A?B.①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,又因為a<1,所以實數(shù)a取值范圍為-1≤a<1.第29頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練反思感悟

由集合間關系求參數(shù)范圍問題中兩點注意事項(1)求解這類問題通常是借助于數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),同時還要注意驗證端點值,做到準確無誤,普通含“=”用實心點表示,不含“=”用空心點表示.(2)包括“A?B”或“A?B,且B≠?”問題,一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論,其中A=?情況輕易被忽略,應引發(fā)足夠重視.第30頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在實數(shù)a,使得A?B?若存在,求出實數(shù)a取值范圍;若不存在,試說明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A?B,求實數(shù)a取值范圍.解:(1)因為A={x|-5<x<2},所以若A?B,則B一定不是空集.(2)①當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,由圖可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因為a<1,所以a≤-3.綜上,實數(shù)a取值范圍為a≥1或a≤-3.第31頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練分類討論思想與數(shù)形結合思想在處理集合含參問題中應用對于兩個集合A與B,已知A或B中含有待確定參數(shù)(字母),若A?B或A=B,則集合B中元素與集合A中元素含有“包含關系”,處理這類問題時常采取分類討論和數(shù)形結合方法.(1)分類討論是指:①A?B在未指明集合A非空時,應分A=?和A≠?兩種情況來討論.②因為集合中元素是無序,由A?B或A=B得到兩集合中元素對應相等情況可能有各種,所以需要分類討論.(2)數(shù)形結合是指對A≠?這種情況,在確定參數(shù)時,需要借助數(shù)軸來完成,將兩個集合在數(shù)軸上畫出來,分清實心點與空心圈,確定兩個集合之間包含關系,列不等式(組)確定參數(shù).尤其提醒

這類問題易錯點有三個:①忽略A=?情況,沒有分類討論;②在數(shù)軸上畫兩個集合時,沒有分清實心點與空心圈;③沒有搞清包含關系,以致沒有正確地列出不等式或不等式組.第32頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練(3)處理集合中含參問題時,最終結果要注意驗證.驗證是指:①分類討論求得參數(shù)值,還需要代入原集合中看是否滿足互異性.②所求參數(shù)能否取到端點值需要單獨驗證.第33頁探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練典題已知集合A={x|1<ax<2},B=