數(shù)學(xué)模型MathematicalModeling專題培訓(xùn)市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

數(shù)學(xué)模型

MathematicalModeling任課老師：李銀飛liyf_315@163.comTel693509)第1頁第一章建立數(shù)學(xué)模型開設(shè)本課程目標(biāo)：引發(fā)注意、激發(fā)興趣、介紹方法、培養(yǎng)能力第2頁數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)有沒有用？數(shù)學(xué)不是沒有用，而是不夠用現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具不能處理全部實(shí)際問題怎么用？處理實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型

第3頁數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實(shí)際課題本質(zhì)屬性抽象而又簡練刻劃，它或能解釋一些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象發(fā)展提供某種意義下最優(yōu)策略或很好策略。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型過程。第4頁數(shù)學(xué)模型早就知我們從小就接觸過數(shù)學(xué)模型：應(yīng)用題“甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問航速，水速若干？”物體“從平靜湖面小船上仍一塊石頭至水中，湖面是上漲還是下降？”數(shù)學(xué)競賽…第5頁數(shù)學(xué)模型無所不在日常生活投資決議各行各業(yè)經(jīng)濟(jì)金融專業(yè)研究領(lǐng)域物理計(jì)算機(jī)研究第6頁例1.手機(jī)電話卡選擇已知：全球通電話卡每分鐘0.4元，每個(gè)月25元租金；神州行卡每分鐘0.6元，不用月租金問：選擇哪種卡比較省錢？第7頁例2.打水問題天天晚上5:00至5:30之間開水房擁塞想必讓每一個(gè)人都深有感觸吧，偏偏這種時(shí)候還有一些人喜歡一個(gè)人占好幾個(gè)龍頭，不得不讓人怒火中燒。對每個(gè)人來講，最好方法當(dāng)然是在不違反排隊(duì)次序前提下盡可能早地接觸龍頭。實(shí)際上大家也基本上是這么做。在高峰時(shí)期霸占多個(gè)龍頭人就算不遭到語言訓(xùn)斥也會遭到目光訓(xùn)斥。第8頁假設(shè)現(xiàn)在有2個(gè)水龍頭，10個(gè)人來打水，每個(gè)人拎著兩個(gè)壺，每打一壺要1分鐘，這是一個(gè)很常見情況。方法A：經(jīng)驗(yàn)方法。這么，當(dāng)有兩人等候時(shí)，兩個(gè)人各用一個(gè)龍頭，為將10個(gè)人打滿，總共等候時(shí)間是： 2*(2+4+6+8+10)=60分鐘方法B：每次分配水龍頭時(shí)都優(yōu)先滿足最前面人。這么，當(dāng)有兩人等候時(shí)，第一個(gè)人先用兩個(gè)龍頭，等他打完了第二個(gè)人再用。這種方法下總等候時(shí)間是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分鐘結(jié)果后一個(gè)方法被證實(shí)是更有效率。也就是說，這個(gè)看起來有些自私方案，這個(gè)經(jīng)常被我們訓(xùn)斥方案，實(shí)際上是一個(gè)更合理方案。第9頁例3.銀行問題去中國工商銀行存取錢對每個(gè)人來說都決不是一次愉快經(jīng)歷。我平均每次去取錢都最少要花上半個(gè)小時(shí)時(shí)間，這促使我考慮是否有方法在現(xiàn)有窗口情況下提升整個(gè)系統(tǒng)效率。不一樣任務(wù)量串行服務(wù)隊(duì)列第10頁例4.萬有引力定律發(fā)覺開普勒三大定律行星軌道是一個(gè)橢圓，太陽位于此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)上。行星在單位時(shí)間內(nèi)掃過面積不變。行星運(yùn)行周期平方正比于橢圓長半軸三次方，百分比系數(shù)不隨行星而改變（絕對常數(shù)）。牛頓依據(jù)開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出萬有引力定律。Proof第11頁數(shù)學(xué)建模普通步驟了解問題實(shí)際背景，明確建模目標(biāo)，搜集掌握必要數(shù)據(jù)資料。在明確建模目標(biāo)，掌握必要資料基礎(chǔ)上，經(jīng)過對資料分析計(jì)算，找出起主要作用原因，經(jīng)必要精煉、簡化，提出若干符合客觀實(shí)際假設(shè)。在所作假設(shè)基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間關(guān)系，建立對應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學(xué)模型。模型求解。模型分析與檢驗(yàn)。實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用第12頁能力培養(yǎng)能力上鍛煉觀察能力、分析能力、歸納能力和數(shù)據(jù)處理能力在盡可能短時(shí)間內(nèi)查到并學(xué)會我想應(yīng)用知識本事Google圖書館創(chuàng)新能力第13頁CourseGoals讓同學(xué)們真正能提升發(fā)覺問題和處理問題能力利用知識和尋找知識能力學(xué)有所用，增強(qiáng)興趣和信心方法多思索分析實(shí)踐第14頁預(yù)備技能數(shù)學(xué)知識分析，代數(shù)，幾何，概論，統(tǒng)計(jì)，優(yōu)化…軟件使用MicrosoftWord,Visio,LaTeXMatlab,Mathematica,Maple,Lindo,Lingo…編程C/C++GUIProgramming第15頁GradingPoliciesGeneralhomeworkandLargeprojects(?%)Finalexams(?%)第16頁GradingPolicies5+方法新奇巧妙，非常好5模型建立求解合理，書寫很好4模型建立求解合理，書寫規(guī)范3模型建立求解基本合理，但書寫普通2模型建立求解有問題，書寫普通1模型建立不正確，書寫糟糕，態(tài)度有問題0態(tài)度有問題，很遺憾

第17頁Requirements(1)模型匯報(bào)書寫符合規(guī)范文字，圖表清楚數(shù)聽說明第18頁Requirement(3)獨(dú)立完成相互幫助團(tuán)體合作絕不允許剽竊！第19頁Q&A第20頁一些簡單實(shí)例第21頁例1某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間抵達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘抵達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時(shí)間？§1.5一些簡單實(shí)例

似乎條件不夠哦。。

換一個(gè)想法，問題就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍載著他開往會合地點(diǎn)，那么這一天他就不會提前回家了。提前十分鐘時(shí)間從何而來？

顯然是因?yàn)楣?jié)約了從相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)，又從會合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路緣故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘抵達(dá)會合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

請思索一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？第22頁例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問：在什么條件下，能夠確保途中最少存在一地，此人在兩天中同一時(shí)間抵達(dá)該地。分析

本題多少有點(diǎn)象數(shù)學(xué)中解存在性條件及證實(shí)，當(dāng)然，這里情況要簡單得多。

假如我們換一個(gè)想法，把第二天返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什么條件下，兩人最少在途中相遇一次，這么結(jié)論就很輕易得出了：只要任何一人抵達(dá)時(shí)間晚于另一人出發(fā)時(shí)間，兩人必會在途中相遇。（請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證實(shí)）

第23頁例3交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間黃燈。請分析黃燈應(yīng)該亮多久。構(gòu)想一下黃燈作用是什么，不難看出，黃燈起是警告作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請馬上停車。停車是需要時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r已過線車輛，則應(yīng)該確保它們?nèi)阅艽┻^馬路。

馬路寬度D是輕易測得，問題關(guān)鍵在于L確實(shí)定。為確定L，還應(yīng)該將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)覺黃燈亮及判斷應(yīng)該剎車反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過旅程，L2為剎車制動后車輛駛過旅程。L1較輕易計(jì)算，交通部門對司機(jī)平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測算，反應(yīng)時(shí)間過長將考不出駕照），而此街道行駛速度v也是交管部門早已定好，目標(biāo)是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來。黃燈終究應(yīng)該亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見黃燈司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮?xí)r間應(yīng)該讓已過線車順利穿過馬路，即T最少應(yīng)該到達(dá)（L+D）/v。

DL第24頁例4將形狀質(zhì)量相同磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)能夠延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)，長度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到兩個(gè)力力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)

，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

第25頁例5某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近C點(diǎn)等車，他發(fā)覺了一個(gè)令他感到奇怪現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站總是由B去A車，莫非由B去A車次多些嗎？請你幫助他找一下原因AB發(fā)出車次顯然是一樣多，不然一處車輛將會越積越多。因?yàn)榫嚯x不一樣，設(shè)A到C行駛31分鐘，B到C要行駛30分鐘，考查一個(gè)時(shí)間長度為10分鐘區(qū)間，比如，能夠從A方向來車駛離C站時(shí)開始，在其后9分鐘內(nèi)抵達(dá)乘客見到先來車均為B開往A，僅有最后1分鐘抵達(dá)乘客才見到由A來車先到。由此可見，假如此人到C站等車時(shí)間是隨機(jī)，則他先遇上B方向來車概率為90%。第26頁例6飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子位置，必須確定其所在方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子方法。因?yàn)橐_定兩個(gè)參數(shù)，最少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線強(qiáng)度。第27頁方法一點(diǎn)光源發(fā)出射線在各點(diǎn)處照度與其到點(diǎn)光源距離平方成反比，即黑匣子所在方向很輕易確定，關(guān)鍵在于確定距離。設(shè)在同一方向不一樣位置檢測了兩次，測得照度分別為I1和I2，兩測量點(diǎn)間距離為a，則有第28頁方法二在方法一中，兩檢測點(diǎn)與黑匣子位于一直線上，這一點(diǎn)比較輕易做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對照度測量精度要求較高，極少誤差會造成結(jié)果很大改變，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在A點(diǎn)測得黑匣子方向后，到B點(diǎn)再測方向，AB

距離為a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而α又較小時(shí)，α+β可能非?？拷校ā螦CB靠近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而對結(jié)果準(zhǔn)確性影響也會很大，為了使結(jié)果很好，應(yīng)使a也相對較大。BACaαβ第29頁例7將一張四條腿方桌放在不平地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？第30頁假設(shè)地面為連續(xù)曲面方桌四條腿長度相同相對于地面彎曲程度而言，方桌腿是足夠長方桌腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。第31頁模型組成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對稱性第32頁用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意,f(

),g(

)最少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);對任意

，f(

)?g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證實(shí)：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型組成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置最少三只腳著地第33頁給出一個(gè)簡單、粗糙證實(shí)方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD交換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思索建模關(guān)鍵~和f(),g()確定模型求解第34頁思索若方桌改為長方形桌子，結(jié)論怎樣？第35頁如圖，有橢圓方程:矢徑所掃過面積