新八年級數學講義第8講因式分解-提高班(學生版+解析)

第8講因式分解1因式分解一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.【例題精選】例1(2023春?濱?？h期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．6ab＝2a?3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2例2(2023秋?嘉祥縣期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x C． D．y（y﹣2）＝y(tǒng)2﹣2y【隨堂練習】1．(2023秋?青山區(qū)期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2．(2023秋?丹江口市期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+163．(2023秋?柘城縣期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x2.提公因式法多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變?yōu)檎龜?，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【例題精選】例1(2023?安徽一模）把多項式3mx﹣6my分解因式的結果是__________________．例2(2023秋?南召縣期中）把多項式3（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式結果正確的是（）A．（x﹣y）（3﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3﹣2x+2y） C．（x﹣y）（3+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3+2x﹣2y）【隨堂練習】1．(2023秋?新建區(qū)期末）把多項式a2﹣4a分解因式，結果正確的是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）2．(2023秋?岳麓區(qū)校級期中）把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解時，應提的公因式是（）A．﹣3x2y2 B．﹣2x2y2 C．6x2y2 D．﹣x2y23．(2023秋?灌陽縣期中）化簡（﹣2）2018+（﹣2）2019的結果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．220183公式法一、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.二、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例題精選】例1(2023春?岳陽期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab﹣4b2 D．例2(2023秋?綠園區(qū)期中）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．1﹣a4【隨堂練習】1．(2023?河池模擬）因式分解：m2﹣9＝__________________．2．(2023?歷下區(qū)一模）分解因式：m2﹣8m+16＝______________．3．(2023秋?無棣縣期末）計算：20202﹣20192＝____________．3分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.要點詮釋：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式【例題精選】例1(2023春?興賓區(qū)期中）觀察下列因式分解的過程，因式分解：am+an﹣bm﹣bn．解法一：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b）解法二：am+an﹣bm﹣bn＝（am﹣bm）+（an﹣bn）＝m（a﹣b）+n（a﹣b）＝（a﹣b）（m+n）根據上面提供的因式分解的方法，將多項式2a﹣3ab+4b﹣6b2因式分解．例2(2023?碑林區(qū)校級模擬）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝____________________．【隨堂練習】1．(2023?浦東新區(qū)二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝__________________________．2．(2023?黔東南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝_______________________．3．(2023秋?浦東新區(qū)校級期中）多項式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的結果是（）A．（y﹣z）（x+y）（x﹣z） B．（y﹣z）（x﹣y）（x+z） C．（y+z）（x﹣y）（x+z） D．（y+z）（x+y）（x﹣z）綜合練習1．選擇題（共3小題）1．多項式4x﹣x3分解因式的結果是（）A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）22．下列代數式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（）A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣13．下列等式從左到石的變形，屬于因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3 C．x2+4＝（x+2）2 D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）二．填空題（共3小題）4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝．5．分解因式：m2n﹣n3＝．6．a與b互為相反數，則a3+2a2b+ab2＝．三．解答題（共3小題）7．分解因式：（1）x2y﹣9y；（2）﹣m2+4m﹣4．8．分解因式：x2﹣4y2+4﹣4x9．分解因式：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）（2）5m（2x﹣y）2﹣5mn2第8講因式分解1因式分解一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.【例題精選】例1(2023春?濱?？h期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．6ab＝2a?3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2分析：根據因式分解的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本選項不符合題意；B、不是因式分解，故本選項不符合題意；C、不是因式分解，故本選項不符合題意；D、是因式分解，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內容是解此題的關鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．例2(2023秋?嘉祥縣期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x C． D．y（y﹣2）＝y(tǒng)2﹣2y分析：直接利用因式分解的意義分別分析得出答案．【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），從左到右的變形是因式分解，符合題意；B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合題意因式分解的定義，不合題意；C、x+2無法分解因式，不合題意；D、y（y﹣2）＝y(tǒng)2﹣2y，是整式的乘法，不合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握定義是解題關鍵．【隨堂練習】1．(2023秋?青山區(qū)期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法運算，故此選項錯誤；B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定義，故此選項錯誤；C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合題意；D、a2+1＝a（a+），不符合分解因式的定義，故此選項錯誤；故選：C．2．(2023秋?丹江口市期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；B、沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故B不符合題意；C、把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故C符合題意；D、沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故D不符合題意；故選：C．3．(2023秋?柘城縣期末）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x【解答】解：A、a（x+y）＝ax+ay，是整式的乘法運算，故此選項不合題意；B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此選項不合題意；C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正確，符合題意；D、x2﹣16+3x，無法分解因式，故此選項不合題意；故選：C．2.提公因式法多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變?yōu)檎龜?，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【例題精選】例1(2023?安徽一模）把多項式3mx﹣6my分解因式的結果是__________________．分析：直接提取公因式3m，進而分解因式即可．【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．故答案為：3m（x﹣2y）．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．例2(2023秋?南召縣期中）把多項式3（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式結果正確的是（）A．（x﹣y）（3﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3﹣2x+2y） C．（x﹣y）（3+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3+2x﹣2y）分析：原式變形后，提取公因式即可．【解答】解：原式＝3（x﹣y）﹣2（x﹣y）2＝（x﹣y）[3﹣2（x﹣y）]＝（x﹣y）（3﹣2x+2y），故選：B．【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023秋?新建區(qū)期末）把多項式a2﹣4a分解因式，結果正確的是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）【解答】解：原式＝a（a﹣4），故選：A．2．(2023秋?岳麓區(qū)校級期中）把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解時，應提的公因式是（）A．﹣3x2y2 B．﹣2x2y2 C．6x2y2 D．﹣x2y2【解答】解：﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3＝﹣x2y2（6x+3﹣8y）．故把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解時，應提的公因式是：﹣x2y2．故選：D．3．(2023秋?灌陽縣期中）化簡（﹣2）2018+（﹣2）2019的結果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．22018【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2019＝（﹣2）2018×（1﹣2）＝﹣22018．故選：C．3公式法一、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.二、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例題精選】例1(2023春?岳陽期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab﹣4b2 D．分析：利用平方差公式及完全平方公式判斷即可．【解答】解：A、原式不能分解，不符合題意；B、原式不能分解，不符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式＝（x﹣）2，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關鍵．例2(2023秋?綠園區(qū)期中）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．1﹣a4分析：利用平方差公式的結構特征判斷即可．【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故選：A．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式的結構特征是解本題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023?河池模擬）因式分解：m2﹣9＝__________________．分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣9＝m2﹣32＝（m+3）（m﹣3）．故答案為：（m+3）（m﹣3）．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式是解題關鍵．2．(2023?歷下區(qū)一模）分解因式：m2﹣8m+16＝______________．分析：直接利用完全平方公式進而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．故答案為：（m﹣4）2．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．3．(2023秋?無棣縣期末）計算：20202﹣20192＝____________．分析：原式利用平方差公式計算即可求出值．【解答】解：原式＝(2023+2019）×(2023﹣2019）＝4039，故答案為：4039【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．3分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.要點詮釋：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式【例題精選】例1(2023春?興賓區(qū)期中）觀察下列因式分解的過程，因式分解：am+an﹣bm﹣bn．解法一：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b）解法二：am+an﹣bm﹣bn＝（am﹣bm）+（an﹣bn）＝m（a﹣b）+n（a﹣b）＝（a﹣b）（m+n）根據上面提供的因式分解的方法，將多項式2a﹣3ab+4b﹣6b2因式分解．分析：按照兩種方式分組，利用提取公因式法進行分解即可：①（2a﹣3ab）+（4b﹣6b2）②（2a+4b）﹣（3ab+6b2）．【解答】解：解法一：2a﹣3ab+4b﹣6b2＝（2a﹣3ab）+（4b﹣6b2）＝a（2﹣3b）+2b（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a+2b）解法二：2a﹣3ab+4b﹣6b2＝（2a+4b）﹣（3ab+6b2）＝2（a+2b）﹣3b（a+2b）＝（a+2b）（2﹣3b）【點評】本題考查了因式分解的分組分解法和提取公因式法，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．例2(2023?碑林區(qū)校級模擬）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝____________________．分析：首先將前三項利用完全平方公式分解因式，進而再用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．故答案為：（x﹣y﹣1）2．【點評】此題主要考查了分組分解法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵．【隨堂練習】1．(2023?浦東新區(qū)二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝__________________________．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b）2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．故答案為：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．2．(2023?黔東南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝_______________________．【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1，＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，＝（x﹣y）2﹣1，＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．3．(2023秋?浦東新區(qū)校級期中）多項式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的結果是（）A．（y﹣z）（x+y）（x﹣z） B．（y﹣z）（x﹣y）（x+z） C．（y+z）（x﹣y）（x+z） D．（y+z）（x+y）（x﹣z）【解答】解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz＝（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z＝（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）＝（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]＝（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故選：A．綜合練習1．選擇題（共3小題）1．多項式4x﹣x3分解因式的結果是（）A．x（4﹣x2） B