2023新高考圓錐曲線解答題6種常考題型訓練（解析版）-高考數(shù)學備考復習重點資料歸納

2023新高考圓錐曲線解答題6種?？碱}型專題訓練

【題型目錄】

題型一：圓錐曲線中的弦長面積問題

題型二：圓錐曲線直線圓過定點問題

題型三：圓錐曲線中定值問題

題型四：圓錐曲線中的定直線問題

題型五：圓錐曲線中的存在性問題

題型六：圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題

【題型總結(jié)】

題型一：圓錐曲線中的弦長面積問題

22

【例1】已知橢圓￡*■+方=l(“>b>0),片,馬分別為左右焦點，點田0,0)"

在橢圓E上.

(1)求橢圓E的離心率;

(2)過左焦點士且不垂直于坐標軸的直線/交橢圓E于A,3兩點，若AB的中點為。為

\AB\

原點，直線QM交直線x=-3于點N,求局取最大值時直線/的方程.

W用

【答案】(I)型，(2)y=±(x+2)

【分析】(1)根據(jù)橢圓過點的坐標，求出橢圓方程，即可求出橢圓的離心率:

(2)設直線/方程為》=刈*+2)伏工0),3(孫丹)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消

元、列出韋達定理，即可得到AB的中點M的坐標，從而求出直線的方程，即可得到N

的坐標，表示出|AB|、|N耳即可得到瑞？，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;

021

2

(1)解：將［(0,0),P2代入橢圓方程，

223

=1

■J722

解得，一L，所以橢圓E的方程為土+乙=1，

b=>/262

又c=>la2-b1=2,所以e=￡=—=--

aT63

(2)解：設直線/方程為［="(*+2)(心0),A&M，3(々，必)，

工+21=1

聯(lián)立，62可得(3公+1產(chǎn)+12公x+12公—6=0；

y=攵(工+2)

則A=24(幺+1)>0,且為+%=_招，器3

3K十13K十x

設AB的…(")，則/詈=-/"％斗黑+2卜含

??.M坐標為卜島，就)，陷=加筆厚2no2+1)

3k2+\

因此直線。M的方程為y=-5x,從而點N為，3,：又耳(―2,0),防=卜/

|ABl224k2(k2+i)

所以扁r雙中

令r=3爐+1>1，

。-1)?+2)=16(11169

則硒=8

3r322t2~316

因此當f=4,即％=±1時，〃(。最大值為3.

AB\,、

所以謁的最大值為G，此時，直線/的方程為丁=±(》+2).

【例2】已知橢圓距「+￡=1(〃＞力＞0),由E的上、下頂點，左、右焦點構(gòu)成一個邊長為友

的正方形.

(1)求E的方程；

(2)過E的右焦點尸做相互垂直的兩條直線4，4，分別和E交點A,B,C,D,若由點A,

B,C,力構(gòu)成的四邊形的面積是與，求4，的方程.

【答案】(1)《+丁=1

2

(2乂與4的方程分別為：x+y-l=0,x-y-\=o

【分析】(1)由題分析可確定〃=&，b=c=\,從而得橢圓的標準方程；

(2)討論直線斜率是否存在，設直線方程，然后結(jié)合橢圓方程，確定交點坐標關系，從而

根據(jù)幾何性質(zhì)列式求解即可得直線方程

2

(1)解：由己知，a=yfl?b=c=\,所以E的方程為、■+)；=1?

(2)解:又題意中，尸(1,0),

①若4或4斜率不存在，易知氧邊形M.=:|筋118|=；*夜*2&=2=募，不符合題意；

②若//斜率存在，設4：y=?（x-l）,和E的方程聯(lián)立得:

(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

'/x1+x-1+2公x1x-\+lk2

1

IAB|=J1+A[X]-x2|=Jl+kJ(X|+WJ-4X|W=J)，

設4：y=-：(x-i),同理可得|cr>|=2[0-J),

2a儼+1)2&(公+1)4伏2+1丫

所以加邊…，=；加||8|=為16

1+2/-x--+2--2/+5公+2~9

解得公=],h±1,所以/，與右的方程分別為：x+y-l=0,x-y-1=0,

22（/?

【例3】如圖，已知橢圓C:5+與=1（。>b>0）的左、右頂點分別是AB,且經(jīng)過點l,-g

ab

直線/：尤="-1恒過定點尸且交橢圓于。E兩點，F(xiàn)為04的中點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）記.①汨的面積為S,求S的最大值.

【答案】⑴“』，⑵乎

【分析】（1）由直線過定點坐標求得。，再由橢圓所過點的坐標求得b得橢圓方程;

（2）設6（與乂）,。（々,必），直線/方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得

2t3

計算弦長|。耳，再求得8到直線/的距離，從而求得三角形面積，由函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.

（1）由題意可得，直線/：x="-l恒過定點尸（-1,0）,因為/為OA的中點，所以|。4|=2,

即Q=2.

(日2

因為橢圓。經(jīng)過點I2.2解得。=1,所以橢圓C的方程為

—+/=!.

4

(2)設/玉,x),。(々,%).由卜+*'-=4得(產(chǎn)+4卜2-2"-3=09>0恒成立，

x=ty-\

2t3

則rtlly+y=X%=-^—7，

2r+4r+4

則IED\=.J(y+y2)2-4y%=Vi77.=4y

3

又因為點8到直線/的距離"=

Vi+r

所以T叫弓哼尸6〃+3

t2+4

____6\lt2+3_6m_6

令m=\Jt2+3..x/3‘則/+4根2+11

m-\—

m

因為y=〃2+，"，加之百時，y=1--!>0,丁="2+'在〃2￡[6,+00）上單調(diào)遞增，

mnrm

所以當/?=6時，+=4,時,故Smax='叵.

\771/min32

即s的最大值為當.

【點睛】方法點睛：本題求橢圓的標準方程，直線與橢圓相交中三角形面積問題，計算量較

大，屬于難題.解題方法一般是設出交點坐標，由（設出）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組

消元后應用韋達定理，然后由弦長公式求得弦長，再求得三角形的另一頂點到此直線的距離,

從而求得三角形的面積，最后利用函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式等求得最值.

【題型專練】

1.已知橢圓C的左、右焦點分別為斗鳥，離心率為|,過點F?且與X軸垂直的直線與橢圓

C在第一象限交于點P,且死的面積為號.

（1）求橢圓的標準方程；

⑵過點43,0）的直線與y軸正半軸交于點S,與曲線C交于點E,31.X軸，過點S的另

一直線與曲線C交于M,N兩點，若S?4=3S-,求MN所在的直線方程.

【答案】⑴土+工=1

95

（2）y=4犬+1或y=-^^x+l.

【分析】（1）根據(jù)題意，列方程求解即可;

⑵根據(jù)題意，作圖可得SA。AEFX,得到點S（O,1）,利用（I，得到篇=|，結(jié)合

沁^=3,得到〔SMI=2|網(wǎng),即SM=-2SN.再設知（玉，乂），N（馬,%），則SM=（5,y-1），

,△SEN

SN=（々，必-1），然后聯(lián)立方程，利用韋達定理進行消參求解即可得到答案

(1)由題意知0=￡=1c—=—,

a3a3

又。2=/+。2,.?"2=5，C=2,

.??橢圓標準方程為蘭+片=1.

95

（2）軸，—2,—

比=3

設5(0,%),則5一二，%=i,即S(O,1),

3

2||SM|.|SA|sinZMSA31sM

..￡2.M35

=一=刷=3,

?/釬?,國-QS.SENJsMJS同sinNESN

.??EM=2網(wǎng),即SM=_2SN，

設〃a，y)，N(w，%)，則SM=(西,X-l)，SN=(W，%-1)，

X,=-2X2.

①當直線MN的斜率不存在時，MN的方程為x=0,此時...圖=￡丑#2不符合條件.

\SN\V5-1

②當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為了=奴+1,

y=Ax+l

聯(lián)立/得（5+9X*+]8辰-36=0.

----1-----1

95

一18人

%+x

2-5+9公18k

“2=

-36得，'5+9?

后2

-5+9X；=18

%=-2X25+9/

.(18A:V18即18標=5+9/，解得“=土也.

公

'15+9*―5+93

故直線M2V的方程為y=^x+］或y=—@x+l.

2.在平面直角坐標系。不，中，動圓尸與圓G:丁+>2+2*-彳=0內(nèi)切，且與圓

G：X?+丁—2x+j=0外切，記動圓P的圓心的軌跡為E-

(1)求軌跡后的方程；

⑵不過圓心G且與X軸垂直的直線交軌跡E于A,"兩個不同的點，連接AC2交軌跡E于點

B.

(i)若直線MB交x軸于點N,證明：N為一個定點；

(ii)若過圓心C1的直線交軌跡E于2G兩個不同的點，且AB_LE>G,求四邊形4OBG面

積的最小值.

【答案】⑴^+￡=1,(2)(i)證明見解析；(ii)等

4349

【分析】(1)根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關系，即可發(fā)現(xiàn)圓心P的軌跡滿足橢

圓的定義，進而可求其方程，

(2)聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得韋達定理，根據(jù)點坐標可得8N方程，進而代入韋達定理

即可求出N坐標，根據(jù)弦長公式可求A8長度，進而得COR,根據(jù)A8,8垂直，即可表示

四邊形AO3G的面枳，根據(jù)不等式即可求解最值.

(1)設動圓P的半徑為R,圓心P的坐標為(x,y)

由題意可知：圓G的圓心為G(—1,0),半徑為(；圓G的圓心為。2(1，°)，半徑為

.?動圓尸與圓C1內(nèi)切，且與圓C2外切，

|PCj=--/?

]n|PG|+|PG|=4>|C￡|=2

\PC2\=-+R

22

動圓戶的圓心的軌跡E是以GC為焦點的橢圓'設其方程為：%+S>b>。）.

其中2a=4,2c=2,/.a=2,h2=3

22

從而軌跡￡的方程為：-r4-^=1

43

（2）（i）設直線A8的方程為'=出口一1）伏/。）,4（王,弘）,3（/,%），則"（小一%）

y=k（x-l）

由｛f/可得：（4公+3）d-8G2x+4/-12=°

--=1

43

Sk24F-12

）

/.%+X24k^3'X'Xi=7e73

直線BM的方程為）'+%=94（》-王）,

乙一王

令y=o可得N點的橫坐標為：

r一々一為...r-，）（?-」，r2-（4+々）

可為+%'^（%）+x2-2）Xy+x2-2

c4k2-128公

=4/+345+3=4

8A2

4公+3-

??.N為一個定點，其坐標為（4,0）

（ii）根據(jù)（i）可進?步求得:

2

|AB\=J1+k?\x2-xj=\/\+kx+入）-4中2

'8/T公鄧2-12=12（J+1）

=J1+/2x、4犬+3J~~4/+3-4公+3

AB_LDG,.".k，DG=—

k

則入瞿

ABA.DG,

I,,,,i12（公+i）12（公+1）72（二+1『

.??四邊形ADBG面積S=■!■ABxOG=Lx—~>-x—~=:,'、，，~-

2111124/+33公+4（4公+3）（3〃+4）

S；72/+）二72t+1『=288

（法）-（4〃+3）（3廿+4）-產(chǎn)+3+3/+4j一語

等號當且僅當4公+3=3r+4時取，即&=±1時，Smin=—

(法二)令22+1=/,.2W0,>1,

「72r7272

3=---------=-----------=--------------

則12產(chǎn)+，一1_，1+]2J1_1Y49

tt\t2)4

iiORR

當瀉,即』1時，詈

【點睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關系，綜合性較強.利用幾何法求

軌跡方程時，要多注意圖形位置間體現(xiàn)的等量關系，可通過先判斷軌跡，再求其方程.直線

與橢圓相交問題，聯(lián)立方程是常規(guī)必備步驟，韋達定理得弦長，求面積或者長度最值時，往

往需要先將其表達出來，再利用不等式或者函數(shù)的知識進行求解.

22

3.已知橢圓C：￡+親?=1(“>6>0),圓O：x2+y2+x-3y-2=O,若圓O過橢圓C的左

頂點及右焦點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點(1,0)作兩條相互垂直的直線4，4,分別與橢圓相交于點人B,D,E,試求|他|+|。目

的取值范圍.

【答案】⑴[+[=1,(2)[y,7J

【分析】(1)根據(jù)圓。過橢圓C的左頂點及右焦點，可求得橢圓的。力，即可求得答案；

(2)當直線《，4中，有一條直線斜率不存在時，此時|他|+|照=7：當直線4,4斜率都

存在時，設直線方程，并和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關系，求得弦長的表達式，結(jié)合

換元法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得答案.

⑴圓O：》2+丁+》_3了-2=0與*軸的交點為(-2,0),(1,0),即橢圓C的左頂點及右焦點分

別為(-2,0),(1,0),

故a=2,c=l,故6=石，所以橢圓C的方程為：三+二=1；

43

(2)當直線4，4中,有一條直線斜率不存在，一條直線斜率為0時,

2方2

弦長分別為竟-=3,2。=4,此時闡+|￡>￡|=7；

當直線4，%斜率都存在時，設4：x=〃7y+l(，"R0),A(X|,y),8(X2，%)，

可得(3，"2+4)y2+6/ny—9=0,△=36〃/+36(3"5+4)>0,

6m9

蘆+%=2'4，

、3m+43m~2+4

--1詔標I…1=標"0+力)2一4)必=等W'

同理|￡>E|=U(^+1),

..」網(wǎng)+m=零郎+粵普=%+“84(川+1)2

----7-------------?-----)=

3m~+44〃廠+3(3團2+4)(4療+3)

令Z=1+l,則re(l,y),

84/84/84

.-.|AB\+\DE\=

(31+1)(41)12產(chǎn)+E—1

148

因為/e(l,+oo),所以尸0,1),.?.|AB|+|DE|e[y,7),

AQ

所以|AB|+|Z)E|的取值范圍為

【點睛】本題考查了橢圓方程的求解以及和弦長有關的范圍問題，綜合性較強，計算量較大，

解答的關鍵是明確問題的解決思路，即聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式表示|AB|+|￡)E|，

進而結(jié)合二次函數(shù)解決問題.

題型二：圓錐曲線直線圓過定點問題

【例1】已知點P(Ll)在橢圓C:5+/=l(a>6>0)上，橢圓C的左右焦點分別為「，F(xiàn)”

△核的面積為坐

⑴求橢圓C的方程；

(2)設點A,8在橢圓C上，直線B4,P8均與圓0：》2+產(chǎn)=/(0</<1)相切，記直線心,

P3的斜率分別為尤，k2.

(i)證明：k&=l;

(ii)證明：直線AB過定點.

【答案】⑴三+支=1,(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

33

【分析】(1)利用，+/=1,結(jié)合三角形的面積公式，求出〃力，即可求橢圓C的方程.

⑵⑴設直線序的方程為y=《(x-i)+i,直線PB的方程為y=&(xT)+i，由題意可知

\i-lcI

書啥=「，可得左也是方程(1-戶)f-2x+l-/=o的兩根，利用韋達定理即可證明.

(ii)設直線AB的方程為廣"+，”，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合秘2印，可得機與

k的關系式，即可證明直線A8過定點.

⑴解：由題知，*/=1，耳鳥的面積等于:舊周=c=當，

所以"一從=02=|,解得〃=3,〃=|,所以，橢圓C的方程為］+字=1.

（2）（i）設直線B4的方程為》=幻-占+1,

|1—^i|

直線尸8的方程為丫=您X-公+1,由題知力=斗=「，

/+人

所以（1_幻2=/（1+奸），所以（1一產(chǎn)欣2_2尢+1_/=0,

同理，（1一/）盾一2&+1-/=0,

所以占，自是方程（1-/卜2-2》+1-產(chǎn)=0的兩根，所以桃2=1.

（ii）設A（2I）,B（%,%）,設直線48的方程為廣去+機，

2,2

將丫="+，"代入］+十=1得（1+2/2卜2+4切吠+2加2-3=0,

所以西+再=-￡^,①

0/77

所以y+丫2=4（玉+占）+2加=/與工，@

1十乙K

ivr-3k2

y,y,=（%+/??）（fcf+/w）=k2xx+km+%,）+m~④

2y21+2公

又因為桃產(chǎn)叼一中]?「"%、）+%,⑤

%1—1-1（X]—1）（X,-1）X]Xj—（玉+%））+]

將①②③④代入⑤，化簡得3d+4km+m2+2m-3=0,

所以弘2+4bn+（m+3）（加-1）=0,所以（m+3%+3）（，〃+&-1）=0,

若加+左一1=0,則直線AB:y="+l—Z=Mx—1）+1,此時A3過點尸，舍去.

若利+3人+3=0,M^AB-.y=kx-3-3k=k（x-3）-3,此時A8恒過點（3,—3）,

所以直線AB過定點（3,-3）.

22

【例2】已知點6（-1,0）是橢圓C：二+與=1（?>/?>0）的左焦點，且橢圓C經(jīng)過點

a~b

T，|）.過點耳作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M,N兩點，過點M作直線/：x=T

的垂線，垂足為E.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求證：直線EN過定點,并求定點的坐標.

【答案】⑴目+$=1,(2)證明見解析；過定點

43V27

_9_

【分析】(1)由/+次一=，解方程組可得答案；

[c=l

(2)設直線MN為x=my-l,刈蒼,必)，E(-4,%),聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合

韋達定理可得直線EN方程，令y=0可得答案.

(1)由題意知福=,所以。=2,而匕=石，故橢圓的標準方程為二+二=1.

c八=\143

⑵由題意小TO),設直線MN：x=my-\,M&M，N(%必)，￡㈠，％)，

x=my-I

聯(lián)立2,整理得(3m2+4)y2_6my_9=o,顯然A>0恒成立，

[43

則X+%=，乂％=7^7，易知：-2%，跖=3(%+%)，

3m~+43m~+4

又所以直線EN：》一y=?寧。+4),

w+4*2+4

令y=0,則工=/[認々+4)=,叫必+3)1=4I2(*-)1匚413=5.

y2f%-y22

所以直線EN過定點尸卜今0).

【例3】已知橢圓C：4+4=1(?！?gt;0)的離心率為變，其左、右焦點分別為K，

a2h~2

T為橢圓C上任意一點，△":"面積的最大值為1.

（1）求橢圓c的標準方程；

⑵已知A（o,l）,過點的直線/與橢圓c交于不同的兩點M,N,直線AM,AN與X

軸的交點分別為P,Q,證明：以PQ為直徑的圓過定點.

【答案】（1）與+丫2=1,（2）證明見解析

C_5/2

~a~~2

【分析】（1）依題意可得尻、=1,即可求出〃、b、c,即可得解；

=/?2+

（2）設直線/的方程為y=fcr+g,"（X，X）,N（%,力）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列

出韋達定理，由直線AM、AN的方程，得到尸、。的坐標，即可得到以PQ為直徑的圓的

方程，再令*=0,得到丁=6,即可得解；

（1）解：因為橢圓C的離心率為變，所以￡=立.

2a2

又當丁位于上頂點或者下頂點時，△可工面積最大，即慶=1.

又所以。=c=l,a=6>.

所以橢圓C的標準方程為片+丁=1.

2

⑵解：由題知，直線/的斜率存在，所以設直線/的方程為尸區(qū)+；,設"（2），N（"2），

將直線/代入橢圓C的方程得:（4公+2）f+4人-3=0,

-AL_3

由韋達定理得：1+》2=4了+2，1*2=4標+2'

y—]y_—]

直線AM的方程為直線AN的方程為+

所以P[二^,0],。(二^7,0

"1))

所以以PQ為直徑的圓為（X+言）口+言力+）?=0,

,x2L,

整理得:x2+y2+=0.①

JT

因為

x}x2_x}x2_4X}X2_-12_$

2

(%T)(%T)4kxlx2-2k(x]+x2)+\-12公+8/+4/+2,

令①中的x=0,可得V=6,所以，以尸。為直徑的圓過定點（0，土"）.

【題型專練】

1.已知橢圓C:J+￡■=1（a>6>0）的離心率為孝，一個焦點后與拋物線/=-4&x的焦

點重合.

（1）求橢圓C的方程；

⑵若直線/：y=H+機交C于A8兩點，直線6A與68關于X軸對稱，證明：直線/恒過一

定點.

22

【答案】⑴三+二=1;（2）詳見解析.

42

【分析】（1）由題可得耳卜亞,0），進而可得a=2,即得；

（2）利用韋達定理法，利用斜率互為相反數(shù)得Jl與機的一次關系即得.

（1）由V=_4&x,可得耳.??=血,又離心率為豐，

；.a=2,從=2,.??橢圓C的方程為三+二=1.

42

y=kx+m

（2）設A（X1,yJ,B（x2,y2）,由-J2,可得（2/+1*+4/成x+2病-4=0,

142

/.A=（4/^）2-4（2fc2+l）（2m2-4）>0,可得病<2+4廿,

%+x,=--,,xx=2!IL__1,由直線F|A與耳8關于x軸對稱，

?Ik2+\2k2+1

kF,A+&3=°，即155=0,

11

Xj+A/2X2+V2

y+V2j+y2(%+V5)=(Axt+m)(x2+應)+(g+⑹(玉+拉)=0,

即2kxix2+(血左+機)(玉+/)+2血機=0,

2kx2用；4+@++y/2m=0,

2k2+1I2k2+\)2

可得m=2向,

所以直線/方程為y=k(x+2&),恒過定點(-2立,0).

2.已知P是圓A:(X-1)2+V=16上的動點，M是線段AP上一點，B(-l,0),S.\PM\=\M^

⑴求點M的軌跡C的方程

⑵過A（l,o）的直線4,4分別與軌跡c交于點RE和點尸,G,且。BFG=O,若N,H分別為

。民尸G的中點，求證：直線N"過定點

【答案】（1）『+[=1,（2）直線N”過定點（右0）,證明見解析.

【分析】（1）利用定義法判斷出點M的軌跡C為橢圓，求出a、b、c,即可得到方程；（2）

當直線DE的斜率存在且不為0時，可設宜線OE的方程為》=沖+1（〃?#））,用“設而不求法”

表示出?，-汽二），H（上上7得到直線N”的方程，判斷出過定點（-0）；

4+3"4+3獷3+4m23+4/7

4

當直線QE的斜率為0或斜率不存在時，宜接求出直線M/的方程，判斷出過定點6,0）.

⑴由題意知A（l,0）,|%|=4.因為|尸網(wǎng)=|網(wǎng),所以

\M/^+\MI^=\MA\+\PM\=\PA[=4>AB\=2.

所以點M的軌跡C是以A,8為左、右焦點，長軸長為4的橢圓.

1V2

設橢圓C的標準方程為'+2=1（。>6>0）,則a=2,c=l,

crh2

所以〃=片一。2=3,所以點M的軌跡C的方程為目+f=1.

43

⑵因為OE.FG=0，所以/iLL

i.當直線OE的斜率存在且不為0時，可設直線。正的方程為》=沖+1（,/（））,則直線FG的方

程為x=---y+1.

m

聯(lián)立L：=7丁1；°，得消去X,可得（4+31）/+6my-9=0.

[3x+4y'=12、7

設。（％,>]）,七（工2,>2）'則乂+%='~~'玉+X?=，九（弘+必）+2=~~r，

4+3機~4+36

43m

所以N（?4+3〉)

4+3/n2

同理可求:

-3m3m

*4-4/-4+3療一4/+37-

4+3/3+4/4_4m4("-1)

4+3m24m2+3

所以直線加的方程為：＞蒜=&(，一房R

7/774

整理得：>=彳許(".’

4

所以直線過定點右,0).

當高4〃?244

-----時，蘇=1，直線N"：》=三過定點(三,0).

3+4小77

ii.當直線DE的斜率為0時，易得DE的中點M當O),FG的中點4(1,0)；

當直線￡>E的斜率不存在時，易得DE的中點N(l,0),FG的中點”(0,0).

4

所以當直線。石的斜率為0或不存在時，直線N"：y=o過定點(1,()).

4

綜上所述：直線NH過定點(1,0).

3.已知橢圓C:二+*■=1(0<%<2)的離心率為立，左頂點和上頂點分別為A、B,

4h-2

⑴求6的值；

(2)點P在橢圓上，求線段8P的長度|BP|的最大值及取最大值時點P的坐標；

⑶不過點A的直線/交橢圓C于M,N兩點，記直線/,3,47的斜率分別為％,匕,右，若

M4+右)=1.證明：直線/過定點，并求出定點的坐標.

【答案】(1W=1，(2)忸兒》=迪，尸[土華,一；：，(3)證明見解析，過定點(一3,0)

【分析】(1)易得橢圓的焦點在*軸上，根據(jù)橢圓得離心率即可求得匕；

(2)設P(x,y),根據(jù)兩點得距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

(3)設直線，的方程為y="+s,河(與,乂),%(三,%),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和

兩點間的斜率公式化簡4+&，結(jié)合燈匕+&)=1，即可求得&與〃，的關系，從而可得出結(jié)

論.

(D解：由題意可知橢圓的焦點在x軸上，則6=]=立，所以所以

2__________

⑵由⑴得橢圓C的方程為:+爐=1,則8(0,1),設P(x,y),則陽=G+(y-l)2,

因為點尸在橢圓上，所以3+丁=1,則f=4-4y2(ye[-l,l]),

則18Pl=+(yT)-=J-3)2-2y+5=J-3[>+；)+,

所以當尸]時，忸PL考,此時…警所以中殍勺

（3）證明:A（-2,0）,設直線/的方程為尸"+，〃，（孫力）,

y=kx+m

2

聯(lián)立fI,消y得（1+4公）%2+8k叫+4/%2-4=。,則玉+W-8km4/n-4

彳+"T7產(chǎn)中2-1+45

川k+k,=X+）'2=.|+加+也+機=的+加）（/+2）+（也+附（％+2）

2

、'x1+2X2+2xt+2X2+2（X）+2）（X2+2）

,皿?（腦+砌々+2）+（乜+m）（%+2）

因型化+3=1,則k--------------佑+2肛+2）-------------

即2攵I/+（2攵+機）（玉+X2）+4mk=x]x2+2（%+x2）+4,

即（2Z?—1）玉工2+（22+加一2）（玉+工2）+4〃設一4二0,

即（2々2_1）.4〃廣一:+（2女+加_2）…-8A"；+4mk—4=0,

I'1+4公I71+4二

即（2二一1）（4加2-4）+（2々+相一2）（—8珈）+（4〃汝一4）（1+4g）=0,

化簡得6k2-5km+nr=0,

解得m=2k或m=3k,

乂因直線/不過點A,

所以〃2=3%,

所以直線/得方程為y=h+3Z=Mx+3）,

所以直線/過定點（-3,0）.

4.設橢圓c/+/=l（。>6>0）的離心率為點A為橢圓上一點，RAK的周長為6.

（1）求橢圓C的方程；

⑵設動直線，：丫=丘+相與橢圓C有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.問：x

軸上是否存在定點M,使得以P。為直徑的圓恒過定點用？若存在，求出點M的坐標；若

不存在，說明理由.

22

【答案】⑴三+匕=1；⑵存在，”。,0）.

43

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合橢圓離心率的公式進行求解即可；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根的判別式，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解

即可.

（1）由e=g可得a=2c,①耳4工的周長為10,所以耳A+Ag+66=10,

即2s+2c、=6②聯(lián)立①②得：a=2,c=l,b=yjcr-c2=74^1=^-

?,?橢圓的方程為—+^=1:

43

y=依+機

(2)設點P(x。,%).由.二發(fā)_,得(3+4公)-+89+4(>-3)=0,

7+T-

A=(8fon)2-4(3+4巧.4(*-3)=0,化簡得4jt2-m2+3=0,

.4km4k3.(4Z:3

P

??*0=_彳,22=----，%=一??\---，一,

4k+3mm\mm)

由卜)，=”：，〃，得以4,4+附，假設存在點M(40),

x=4

則MP=(---x—),MQ=(4-X],4k+m),

mvm

???以PQ為直徑的圓恒過M(%,0)點，，MPMQ=0,

16%4履［12k

BP----+——1-4%+x)2+——+3=0,

mtnm

(45-4)&+k-4占+3=0對任意匕1都成立.

m

f4%-4=0

則一你+3=0,解得西

故存在定點MQ0)符合題意.

題型三：圓錐曲線中定值問題

2-)

【例1】設分別是圓C：1+4=l(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點，MF。與x

ab

軸垂直.直線M6與C的另一個交點為N,且直線MN的斜率為變

4

(1)求橢圓C的離心率.

(2)設。(0,1)是橢圓C的上頂點，過。任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A、B兩點，

過點。作線段AB的垂線，垂足為。，判斷在y軸上是否存在定點R,使得IRQI的長度為定

值？并證明你的結(jié)論.

【答案】(D變，(2)存在，證明見解析

2

【分析】(1)由題意，表示點”的坐標，根據(jù)斜率與傾斜角的關系，可得出44。的等量關

系，再根據(jù)“力,。的性質(zhì)，可得齊次方程，即可得答案；

(2)根據(jù)橢圓上頂點的性質(zhì)，可得6的值，進而得到橢圓的標準方程，設出直線A8的方程，

并聯(lián)立且消元整理一元二次方程，寫韋達定理，根據(jù)垂直，解得截距的值，得到直線過定點，

根據(jù)圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，半徑為定值，可得圓心便是答案.

(1)由題意知，點M在第一象限.M是C上一點且M心與x軸垂直,

的橫坐標為C.當X=c時，y=—,即MC,—.

〃<a）

rrh12

又直線MN的斜率為3，所以‘/八“二ab2叵,

4tan^MF}F2=—=-----=——

2c2ac4

即片=2^QC=/-C2,即c2+^-ac-a2=0，

22

則e?+立e-l=0,解得e=立或e=-&（舍去），即6=也.

222

（2）已知。（0,1）是橢圓的上頂點，則6=1,：￡=①,4="+°2,..“=忘，橢圓的方程為

a2

片+y2=i,

2

易得直線AB的斜率必然存在，設直線4?的方程為卜=奴+小4（西,凹）,8（々，%），

由可得（1+2公卜2+4b*+2（“?2_l）=o（*）,

2（/M2-1）

所以為+%=m^,xF2=

\+2k2

又￡>4=（%,弘一1）,。8=（工2，%-1），

DA?DB=%”+（兇—1）=%工2+（g+"z-l）（g+利-1）

=（攵2+1）內(nèi)/+%（m-1）（玉+/）+（6一if

-4km

=代+］）2,2'）+如”1>+（w-l）2-

1+2/

2（病-1）（公+1）-442{nr-帆）+（1+2左2）（〃?-1）。

1+2/

化簡整理有3裙-2加-1=0,得”?=