2025屆北京市中央美術(shù)學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2025屆北京市中央美術(shù)學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)數(shù)列，若區(qū)間滿足下列條件：①；②，則稱為區(qū)間套．下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（）A．；B．C．D．2．已知四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，與所成角的度數(shù)為30°，則與所成角的度數(shù)為（）A．90° B．45° C．60° D．30°3．七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種智力玩具，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．4．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后所得曲線的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．5．盒中裝有除顏色以外，形狀大小完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 B．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè)C．恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；都是白球6．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)7．已知平面平面，直線平面，直線平面，，在下列說(shuō)法中，①若，則；②若，則；③若，則.正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式是（）A． B．C． D．9．等差數(shù)列中，，則數(shù)列前9項(xiàng)的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．29710．若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．12．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=________.13．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是_____________.14．已知向量a=1,2，b=2,-2，c=15．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．16．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知：的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線CD所在直線的方程；（2）求的面積．18．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．19．已知圓（1）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng)．20．某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開(kāi)始計(jì)數(shù)的.（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；（2）試估計(jì)該公司在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；（3）該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：廣告投入（單位：萬(wàn)元）12345銷售收益（單位：萬(wàn)元）2337由表中的數(shù)據(jù)顯示，與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出關(guān)于的回歸直線方程.（參考公式：）21．在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，求，的值.（其中）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由題意，得為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，；而與與均為遞減數(shù)列，所以排除A,B,D，故選C.考點(diǎn)：新定義題目.2、A【解析】

取的中點(diǎn),利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運(yùn)用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數(shù).【詳解】取的中點(diǎn)連接，如下圖所示：因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以有，因?yàn)榕c所成角的度數(shù)為30°，所以，與所成角的大小等于的度數(shù).在中，，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點(diǎn)利用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則陰影部分由三個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成，則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)每個(gè)小等腰三角形的面積，則陰影部分的面積之和為，正方形的面積為，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵在于計(jì)算出所求事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積和總區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、A【解析】

先求出圖像變換最后得到的解析式，再求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程.【詳解】由題得圖像變換最后得到的解析式為，令，令k=-1,所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換和三角函數(shù)圖像對(duì)稱軸的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】從6個(gè)小球中任取2個(gè)小球，共有15個(gè)基本事件，因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)紅球，故至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球，這兩個(gè)事件不互斥，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球?yàn)?個(gè)白球和1個(gè)黑球，故恰有一個(gè)白球：一個(gè)白球一個(gè)黑球，這兩個(gè)事件不互斥，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榇嬖谑录喝〕龅膬蓚€(gè)球都是白球，故至少有一個(gè)白球；都是白球，這兩個(gè)事件不互斥，故D錯(cuò)誤；因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)白球，包括：1個(gè)白球和1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，2個(gè)白球這3個(gè)基本事件；紅、黑球各一個(gè)只包括1個(gè)紅球1個(gè)白球這1個(gè)基本事件，故兩個(gè)事件互斥，因還有其它基本事件未包括，故不對(duì)立.故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件和對(duì)立事件的辨析，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

討論平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【詳解】（1）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線垂直底面，過(guò)直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)與底面垂直；（2）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線與底面不垂直，過(guò)直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】借助長(zhǎng)方體研究空間中線、面位置關(guān)系問(wèn)題，能使問(wèn)題直觀化，降低問(wèn)題的抽象性.7、D【解析】

由面面垂直的性質(zhì)和線線的位置關(guān)系可判斷①；由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷③．【詳解】平面平面．直線平面，直線平面，，①若，可得，可能平行，故①錯(cuò)誤；②若，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，故②正確；③若，可得，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線和線面、面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的最值求得，根據(jù)函數(shù)的周期求得，根據(jù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)求得，由此求得函數(shù)的解析式.【詳解】由題圖可知，且即，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，得，即，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的表達(dá)式為．故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合條件可得，進(jìn)而求得.再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示出，即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，解得，因而，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)題意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，因?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取得最小值.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問(wèn)題，其中解答中合理化簡(jiǎn)，熟練應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求法，即可求解．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，則，所以原函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求法，以及反函數(shù)的求法，其中熟記反函數(shù)的求法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)在上的最大值為1，易求出的值．【詳解】函數(shù)又函數(shù)在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調(diào)遞增，所以即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、1【解析】

由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得2∵c//∴4λ-2=0故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個(gè)扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求,∴P==.16、1【解析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）11.【解析】

（1）直接利用已知條件求出AB邊上的中點(diǎn)，即可求直線的方程．（2）利用所求出的直線方程利用分割法求出三角形的面積，或者求出及直線AB的方程，可得點(diǎn)C到直線AB的距離，求出三角形的面積.【詳解】（1）∵線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)式方程可得，AB邊上的中線CD所在直線的方程為，即．（2）法1：因?yàn)椋c(diǎn)A到直線CD的距離是，所以的面積是．法2：因?yàn)?，由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為：，點(diǎn)C到直線AB的距離是，所以的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程求法與點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），（2）【解析】

（1）先根據(jù)成等比數(shù)列,可求出公差，即得的通項(xiàng)公式；根據(jù)可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法計(jì)算它的前n項(xiàng)和，即得?！驹斀狻浚?）由題得，，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，解得，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，可得，整理得，數(shù)列是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由題得，，前n項(xiàng)和，，兩式相減可得，整理化簡(jiǎn)得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)計(jì)算能力有一定要求。19、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過(guò)定點(diǎn),根據(jù)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設(shè)，因?yàn)閳A心與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)點(diǎn)到直線距離為，圓的弦長(zhǎng)公式，得，解得，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過(guò)定點(diǎn),當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又由，可得，此時(shí)最短弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的弦長(zhǎng)公式，合理、準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）2；（2）5；（3）空白欄中填5，【解析】

（1）根據(jù)頻率等于小長(zhǎng)方形的面積以及頻率和為，得到關(guān)于的等式，求解出即可；（2）根據(jù)各組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積之和得到對(duì)應(yīng)的銷售收益的平均值；（3）先填寫(xiě)空白欄數(shù)據(jù)，然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出，即可求解出回歸直線方程.【詳解】（1）設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為.由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積總和為1，可知，解得.故圖中各小長(zhǎng)方形的寬度為2.（2）由（1）知各小組依次是，其中點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)的頻率分別為故可估計(jì)平均值為.（3）由（2）可知空白欄中填5.由題意