2025屆湖南省株洲市7校 數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆湖南省株洲市7校數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．2．已知，且，則（）A． B． C． D．3．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．4．若平面和直線，滿足，，則與的位置關(guān)系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面5．已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為：l，-12，13，A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=6．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A．B．C．D．8．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用(單位：萬元)與銷售額(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元9．三角形的三條邊長是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最大邊長為（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知平面向量，，且，則＝A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則______.12．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.13．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)之間的直角距離為：現(xiàn)有以下命題：①若是軸上的兩點(diǎn)，則；②已知，則為定值；③原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的直角距離的最小值為；④若表示兩點(diǎn)間的距離，那么.其中真命題是__________（寫出所有真命題的序號）.15．設(shè)向量，，______.16．如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長等于______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（II）若,求的值.18．三角比內(nèi)容豐富，公式很多，若仔細(xì)觀察、大膽猜想、科學(xué)求證，你也能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘.請你完成以下問題：（1）計(jì)算：,,；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請你猜出一個(gè)一般的結(jié)論用數(shù)學(xué)式子加以表達(dá)，并證明你的結(jié)論，寫出推理過程.19．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，且.（1）求的值；（2）求的值.20．已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，與共線，求實(shí)數(shù)的值.21．高考改革是教育體制改革中的重點(diǎn)領(lǐng)域和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，全社會極其關(guān)注.近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，“”指考生根據(jù)本人興趣特長和擬報(bào)考學(xué)校及專業(yè)的要求，從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理六科中選擇門作為選考科目，其中語、數(shù)、外三門課各占分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.假定省規(guī)定：選考科目按考生成績從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、分、分、分.為了讓學(xué)生們體驗(yàn)“賦分制”計(jì)算成績的方法，省某高中高一（）班（共人）舉行了以此摸底考試（選考科目全考，單科全班排名，每名學(xué)生選三科計(jì)算成績），已知這次摸底考試中的物理成績（滿分分）頻率分布直方圖，化學(xué)成績（滿分分）莖葉圖如下圖所示，小明同學(xué)在這次考試中物理分，化學(xué)多分.（1）求小明物理成績的最后得分；（2）若小明的化學(xué)成績最后得分為分，求小明的原始成績的可能值；（3）若小明必選物理，其他兩科在剩下的五科中任選，求小明此次考試選考科目包括化學(xué)的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

過的中心M作直線,則上任意點(diǎn)到的距離相等，過線段中點(diǎn)作平面，則面上的點(diǎn)到的距離相等，平面與的交點(diǎn)即為球心O，半徑，故選D.考點(diǎn)：求解三棱錐外接球問題.點(diǎn)評：此題的關(guān)鍵是找到球心的位置（球心到4個(gè)頂點(diǎn)距離相等）.2、A【解析】

根據(jù)，，利用平方關(guān)系得到，再利用商數(shù)關(guān)系得到，最后用兩和的正切求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和的正切公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

由余弦定理可直接求出邊的長.【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的運(yùn)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.【詳解】當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】

分母與項(xiàng)數(shù)一樣，分子都是1，正負(fù)號相間出現(xiàn)，依此可得通項(xiàng)公式【詳解】正負(fù)相間用(-1)n-1表示，∴a故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是尋找規(guī)律，尋找與項(xiàng)數(shù)有關(guān)的規(guī)律．6、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡單題.7、D【解析】

根據(jù)圖象可得最小正周期，求得；利用零點(diǎn)和的符號可確定的取值；令，解不等式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由圖象可知：又，，由圖象可知的一個(gè)可能的取值為令，，解得：，即的單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求解余弦型函數(shù)的解析式、余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式來求解解析式和單調(diào)區(qū)間，屬于?？碱}型.8、B【解析】

試題分析：，回歸直線必過點(diǎn)，即．將其代入可得解得，所以回歸方程為．當(dāng)時(shí)，所以預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為65.5萬元考點(diǎn)：回歸方程9、C【解析】

根據(jù)三角形滿足的兩個(gè)條件，設(shè)出三邊長分別為，三個(gè)角分別為，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，表示出，然后利用余弦定理得到，將表示出的代入，整理后得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，【詳解】解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個(gè)自然，三個(gè)角分別為，

由正弦定理可得：，

，

再由余弦定理可得：，

化簡可得：，解得：或（舍去），

∴，故三角形的三邊長分別為：,故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)向量平行求出x的值，結(jié)合向量模長的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的計(jì)算，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求出x的值是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解析】

將和用首項(xiàng)和公差表示，解方程組，求出首項(xiàng)和公式，利用公式求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公差為，由題可知：，解得，故.故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查由基本量計(jì)算等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．13、【解析】試題分析：畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，如圖：BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四邊形，∴BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設(shè)BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案為．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．14、①②④【解析】

根據(jù)新定義的直角距離，結(jié)合具體選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對①：因?yàn)槭禽S上的兩點(diǎn)，故，則，①正確；對②：根據(jù)定義因?yàn)椋?，②正確；對③：根據(jù)定義，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故③錯(cuò)誤；對④：因?yàn)椋刹坏仁?，即可得，故④正確.綜上正確的有①②④故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，涉及同角三角函數(shù)關(guān)系，絕對值三角不等式，屬綜合題.15、【解析】

利用向量夾角的坐標(biāo)公式即可計(jì)算.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.16、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出CD的長．【詳解】∵A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1【解析】試題分析：（1）將函數(shù)利用倍角公式和輔助角公式化簡為,再利用周期可得最小正周期,由找出對應(yīng)范圍,利用正弦函數(shù)圖像可得值域;（2）先利用求出,再由角的關(guān)系展開后代入可得值.試題解析:（1）所以又所以由函數(shù)圖像知.（2）解：由題意而所以所以所以=.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì);同角間基本關(guān)系式;兩角和的余弦公式18、（1），，；（2）.【解析】

（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可計(jì)算出；（2）觀察（1）中角度的關(guān)系，合情推理出一般結(jié)論，然后利用兩角和的正弦公式即可證明．【詳解】（1）同理可得，，．（2）由（1）知，可以猜出：．證明如下：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生合情推理論證能力，以及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理能力．19、（1）；（2）【解析】

（1）平方處理求出，根據(jù)角的范圍可得，即可得解；（2）變形處理，結(jié)合（1）已計(jì)算的結(jié)果即可求解.【詳解】（1）由題：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，，即，兩邊平方可得：，，所以；（2）【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)平方關(guān)系處理同角正余弦的和差積三者關(guān)系，利用平方關(guān)系合理變形求值.20、（1）；（2）4.【解析】

（1）結(jié)合已知求得：，利用平面向量的模的坐標(biāo)表示公式計(jì)算得解.（2）求得：，利用與共線可列方程，解方程即可.【詳解】解：（1），所以.（2），因?yàn)榕c共線，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的模的坐標(biāo)公式及平面向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，考查方程思想及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、(1)70分(2)(3)【解析】

（1）先求出此次考試物理成績落在內(nèi)的頻率，再由小明的物理成績即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)選考科目按考生成績從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、60分、50分、40分，結(jié)合莖葉圖中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果；（3）先記物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治依次為，用列舉法列舉出小明的所有可能選法，再列舉出小明此次考試選考科目包括化學(xué)的選法，基本事件的個(gè)數(shù)之比就是所求概率.【詳解】解：（1），此次考試物理成績落在內(nèi)的頻率依次為，概率之和為小明的物理成績?yōu)榉?，大于?小明物理成績的最后