江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末模擬【含答案】

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末模擬一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某工廠生產(chǎn)，，種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為3：2：5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個(gè)容量為的樣本，若樣本中種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）A.40 B.60 C.80 D.1002．復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號為（

）①若，則為異面直線

②若，則③若，則

④若，則⑤若，，則A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③4.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人分別來該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間互不影響且都不會超過四小時(shí),則甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為（）A． B． C． D．5.已知，則（）A. B. C. D.6.已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（）A． B． C． D．7.在正方體中，是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且平面平面，則（）A. B. C. D.18.銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件C=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，事件D=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項(xiàng)正確的是（）A．B與D互斥B．A與D互為對立事件C．D．10.在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為、、，AD為邊BC的上的中線，AD=x，BC=x，以下說法正確的是

(

)A.若，則的面積的最大值為B.若λ=6，則AB?AC=?C.若λ=1，則D.若，則的取值范圍是11.棱長為2的正方體，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線是異面直線B.過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面面積為C.在上存在一點(diǎn)，使二面角的大小為D.點(diǎn)到平面的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在2,3,5,7,11,13這6個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是__．13.如圖，在等腰直角ΔABC中，∠B=90?°，AC=4，D為AC的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF.設(shè)M為線段AB上的點(diǎn)，則ME?14.在四面體中，，，，，，則四面體的外接球的表面積為

，四面體的體積為

．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．(1)若，求復(fù)數(shù)的模；(2)若復(fù)數(shù)的模為，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，求銳角的余弦值．16.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．(1)估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；(2)在這100名候選者用分層隨機(jī)抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取10人，再從這10名面試者中隨機(jī)抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．17.如圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)證明：；（2）若為的中點(diǎn)，求直線和平面所成角的正弦值．18.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.（1）若，且的面積為，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若內(nèi)一點(diǎn)滿足，且平分，試問是否存在常實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)；若不存在，請說明理由.19.在三棱柱中，，，，,分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面∥平面；(2)證明：平面⊥平面；(3)若為線段上的動點(diǎn)，求二面角的平面角的余弦值的取值范圍．1.某工廠生產(chǎn)，，種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為3：2：5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個(gè)容量為的樣本，若樣本中種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）BA.40 B.60 C.80 D.1002．復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和乘方運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù).故選：3．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列說法中正確的序號為（

）①若，則為異面直線

②若，則③若，則

④若，則⑤若，，則A．②③⑤ B．①②⑤ C．④⑤ D．①③【答案】A【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對①：因?yàn)槠矫娴钠叫芯€和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；對②：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故②正確；對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯誤.⑤正確，故選：A4.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人分別來該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間互不影響且都不會超過四小時(shí),則甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為（）DA． B． C． D．租車費(fèi)用相同可分為租車費(fèi)用都為0元、2元、4元三種情況．都付0元的概率為；……2分都付2元的概率為；……2分都付4元的概率為．……2分所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為．……1分5.已知，則（）BA. B. C. D.6.已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（）CA． B． C． D．7.在正方體中，是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且平面平面，則（）DA. B. C. D.18.銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）CA． B． C． D．可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因?yàn)?，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，則，解得．故選：C．9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件C=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，事件D=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項(xiàng)正確的是（）ABDA．B與D互斥B．A與D互為對立事件C．D．10.在中，角的對邊分別為，為邊上的中線，，，以下說法正確的是

(

)ACDA.若，則的面積的最大值為B.若λ=6，則AB?AC=?x2

C.若λ=1，則35≤解：對于A，∵

AD為邊

BC上的中線，∵λ=2，即BC=2AD，|AB+AC|=|AB?對于B，∵AB+AC=2AD∴4AB?AC=(對于C，若λ=1，AB?由AB+AC=2∴AB2+AC2=52x∴35?對于D，在△ABC中，，，AB?AC=所以b2+c即b2∴tan又(?1)x<c<(∴(?1)2∴tan?Btan?C∈，故11.在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）.BDA.直線與直線是異面直線B.過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面面積為C.在上存在一點(diǎn)，使二面角的大小為D.點(diǎn)到平面的距離為12.在“2，3，5，7，11，13”這6個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是___．解：從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有基本事件為：

(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15個(gè)．

記“兩數(shù)之和仍為素?cái)?shù)為事件A，故A的基本事件有(2,3)，(2,5)，(2,11)，故P(A)=13.如圖，在等腰直角ΔABC中，∠B=90?°，AC=4，D為AC的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF.設(shè)M為線段AB上的點(diǎn)，則解：連接AF，F(xiàn)C，CEEA，因?yàn)锳C=EF，D為AC，EF的中點(diǎn)，

所以四邊形AECF為矩形，則∠EAF=90°，AE?AF=0，AE+AF=AC．

設(shè)|MA|=t，則ME14.在四面體中，，，，，，則四面體的外接球的表面積為

，四面體的體積為

．解：在四面體ABCD中，因?yàn)锽D2=AB2+AD2，所以△ABD為直角三角形，

因?yàn)锽D2=BC2+CD2，所以△BCD為直角三角形，

取BD的中點(diǎn)O，則OA=OB=OD=OC，所以O(shè)為四面體ABCD的外接球的球心，

則BD為四面體ABCD的外接球的直徑，

所以四面體ABCD的外接球的表面積為S=4πR2=(2R)2π=17π．

將四面體15.復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．(1)若，求復(fù)數(shù)的模；(2)若復(fù)數(shù)的模為，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，求銳角的余弦值．【詳解】（1）（2），，，，16.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．(1)估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；(2)在這100名候選者用分層隨機(jī)抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取10人，再從這10名面試者中隨機(jī)抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．【詳解】（1）由題意可知：，解得，可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)為，因?yàn)椋?設(shè)第25百分位數(shù)為，則，則，解得，故第25百分位數(shù)為63．（2）10人中，第四組為8人。第五組為2人，記第四組的人的編號為1到8，第五組的人的編號為9和10，則樣本空間共45個(gè)樣本點(diǎn)，記兩名面試者成績都在第五組為事件A,則事件,故（3）設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)，第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．故估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差是．17.如下圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)證明：；（2）若為的中點(diǎn)，求直線和平面所成角的正弦值．【詳解】（1）連接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，所以，由題意可知，等腰梯形的高為1，故等腰梯形的面積為：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴為的三等分點(diǎn)，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）,連接,在梯形中可得,，因此,即，由三垂線定理可得，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，所以B到平面PCD的距離為，在中由，，得,設(shè)直線和平面所成角為，則,所以直線和平面所成角得正弦值為．18.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.（1）若，且的面積為，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若內(nèi)一點(diǎn)滿足，且平分，試問是否存在常實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)；若不存在，請說明理由.19.解（1）①因?yàn)椋?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，，所以，因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以的?nèi)角均小于，所以點(diǎn)在的內(nèi)部，且，由，得，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，即在中，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍為；?）因?yàn)?，即，所以，在，，中，分別由余弦定理得：，，，三式相加整理得，，將代入