4月大數(shù)據模擬卷01（江蘇專用）（解析版）高中數(shù)學

64月大數(shù)據精選模擬卷01(江蘇專用)

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.己知集合A={x[x_l<0},8={巾=>/尤_弓,則A|JB=()

A.{1}B.[0,1]C.{0}D.R

【答案】D

【詳解】

集合4={小_1〈0}={小41},8={y[y=Jx-l}={y|”()},

：.A<JB-R

故選：D.

4z

2.復數(shù)一尸的虛部為()

1+8

A.1B.-1C.~iD.i

【答案】A

【詳解】

」—=上。二=,所以虛部為i.

1+V3Z4

故選：A.

3.某電子廠生產的電子管的使用壽命X(單位：天)服從正態(tài)分布N(1000,502),則電子管壽命位于區(qū)

間(950,1100)內的概率是()附：隨機變量X服從正態(tài)分布N(處/)，則尸(〃-cVXV"+o)=

0.6826,P(〃-2cVXV〃+2o)=0.9544,P(〃-3cVXV〃+3o)=0.9974.

A.0.4772B.0.84C.0.9759D.0.8185

【答案】D

【詳解】

由X服從正態(tài)分布N(1000,502),

所以"=1000,0=50,

I

所以P(950<X<1100)=P(/<-<7<X</?+CT)+^[P(〃-2o<X<〃+2cr)-P(〃-o<XV〃+。)]

=0.6826+—x(0.9544-0.6826)

2

=0.8185.

故選：D.

4.已知xeR,則“WW4”是“l(fā)g(f-x-2)41”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】

lg(x?—x-2)?10<爐—x-2<10,

解得-3Wx<-l或2<xK4,

所以“-3WxW4”不能推出“l(fā)g(f-x-2)Wl"，反之成立，

所以“―3WxW4”是“電廿一%-2)〈1”的必要不充分條件.

故選：B

5.在二項式(x+l-的展開式中任取一項，該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是()

2145

A.-B.—C.—D.—

521111

【答案】C

【詳解】

因為二項式("+1)1°的展開式的通項公式為7；+i=qoN°T,其各項系數(shù)為Go(r=O,1,2,3,…,10),

其中C；[=C：：=1,C=C2=10,。=黨=45,CfQ=C,；=120,C[=g=210,C.^252,

其中系數(shù)為奇數(shù)的共有4個，

因此，從在二項式(x+lf)的展開式中任取?項，該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是《?.

故選：C.

6.琵琶、二胡、編鐘、簫、笛、瑟、琴、填、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器為弘揚中

國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學生興趣活動中開展了“中國古代樂器''知識講座，共連續(xù)

安排四節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡一定安排，且這兩種樂器互

不相鄰的概率為()

2

1

A.------BCD

360-1-1?-H

【答案】c

【詳解】

由題意得：10種樂器種任選4種，故總的可能性有種,

琵琶、二胡一定安排且不相鄰的可能性有用用種,

所以兩種樂器互不相鄰的概率P=

Ao15

故選：c

7.若alna>"lnb>clnc=1,則()

A.eh+c\na>ec+,,\nb>ea+h\ncB.ec+a\nh>eh+l\na>ea+h\nc

C.ea+h\nc>ec+a\nh>eh+,\naD.ea+h\nc>eb+l\na>ec+,,\nb

【答案】C

【詳解】

令/(x)=xlnx,則/'(x)=l+lnx

當0<x<1時，ff(x)<0,當時,

ru)>o

1

即函數(shù)/(*)在上單調遞減，在上單調遞增

e

?//(a)>/(￡>)>/(c)=1,由圖象易知，a>b>c>\

,1,

人Inx.—Inx

令g(x)=h'則g'(x)=

e

3

由于函數(shù)y=——In無在(0,+8)上單調遞減，lnc=1，--lnc=---=0

Xcccc

則,一InX=0在(0,收。)上有唯一解C,故g，(x)=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即當x>c時，g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在(c,+oo)上單調遞減

In。InZ?Inc

即g(a)vgS)<g(c)，即---<--U-<---

e“ehec

ehIn?<eaInb,ec\x\b<eh\nc

eb+cIna<Inb,ea+c\nb<eb+cInc^eb+c\na<ea+c\nb<eb+lInc

8.在三棱錐A-BCD中，AC=AD=EAB=CD=2,BC=BD=6,則這個三棱錐的外接球的半

徑為()

2M275

A,巫D.275

53亍

【答案】A

【詳解】

由C。=2,=3。=J5，有8c2+BD2=CD2，即仆CBD為等腰直角三角形且NCBD=90°，若E為

CO的中點，。為三棱錐A—BCD外接球的球心，連接AE,BE,又AC=AD=亞，

AE1CD,BE1CD,又3EnAE=E,即知：CO_L面鉆E且CE=￡>E,

；?三棱錐A-BCD外接球的球心。必在平面ABE內，

又由上知：BE=l,AB=AE=2,故cosNBAE=世上坦二空?=1，即sinNBAE=巫，

2ABAE88

過A作于〃，過。作。尸，47于尸，由=

222

4

BE1

EH=OF——=-,若三棱錐A—BCD外接球半徑為凡OE=FH=x,

22

OA2=（AH-FH）2+OF2OD2=OE2+DE2=x2+\又（M=OD=R,

“叵故式=迥

55

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

22

9.已知雙曲線-----匕一=1（根€/?）的一條漸近線方程為4》-3>=0,則（）

mm+7

A.?5,0）為。的一個焦點

B.雙曲線。的離心率為g

C.過點（5,0）作直線與C交于AB兩點，則滿足|AB|=15的直線有且只有兩條

D.設為C上三點且A8關于原點對稱，則M4,肋？斜率存在時其乘積為為

【答案】BD

【詳解】

22

解：因為雙曲線——匚=1（m€/?）的一條漸近線方程為4》-3）,=0,

mm+7

所以空2.=（g）,解得機=9,所以雙曲線。：:一卷=1,所以。=3,b=4,c=行了'=5,所

以則其焦點為（—5,0）、（5,0）,離心率e=（=g,故A錯誤，B正確；過點（5,0）作直線與C交于A,B兩

點，因為（5,0）為雙曲線的焦點坐標，當直線的斜率不存在時|AB|=Z=空<15,當直線的斜率為0時，

a3

AB=2a=6<15,所以由雙曲線的對稱性得，滿足|明=15的直線有4條，故C錯誤；

設A（%,y）,8（-%,—X）,加伍,%）,所以％=三為，=2L^A,因為

22222222

在雙曲線上，所以王一里=1,血1一2￡=1,兩式相減得五二五1一』1二2￡=。，所以

916916916

5

一互一勺《.k，故D止確；

r2_-7——V7T7TMB

故選：BD

InY

10.對于函數(shù)〃x)=y下列說法正確的是()

A./(X)在龍=處取得極大值—

2e

B./(X)有兩個不同的零點

c./伴］寸㈣寸㈣

\7

1Z?

D.若在(0,+<功上恒成立，則左>5

【答案】ACD

【詳解】

對于選項A：函數(shù)定義域為(0,+8),r(x)=—,令r(x)>?？傻?cx(五，

令/'(x)<0可得x>”,所以/(x)在(o,&)單調遞增，在(&,+8)單調遞減，

所以/(x)在x=&時取得極大值/(&)=g,故選項A正確

對于選項B：令/(x)=￥=0,可得x=l,因此/'(x)只有一個零點，故選項B不正確;

對于選項C：顯然&<6(正，/(x)在(&,+o。)單調遞減，

可得/(G)>/(6)="">0,因為1=2In<0,

即/(V2)<_/(、標)</(百)，故選項C正確：

對于選項D：由題意知：7=-丁j"在(0,+8)上恒成立，

XXX

令g(x)="+3(x>。)則女>g(x)max'因為g'(%)=—

X入X

1A(1)?g'(x)<0,所以g(尤)在％=美時取得極大值

易知當xe0,7時.g'(x)>0,當XG7,+00時,

也是最大值g=—.所以上>—.

22

6

所以在xe(0,+oo)上恒成立，則%>],故選項D正確.

故選：ACD.

11.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,....其中第一項是2°，接下來的兩項是2°,21，再接下來

的三項是2°,21,22,依次類推…，第〃項記為%,數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，則()

C.%+太=2*1D.S-=2"-

A.%)=16B.兀=128

22

【答案】AC

【詳解】

A.由題可將數(shù)列分組

第一組：2°第二組：2°,2',第三組：2°,2i,22,

則前％組一共有1+2+…+Z=個數(shù)

2

第左組第上個數(shù)即2人，故&一,，C對

2

又嗎卻=55,故％5=2,

又二-----^=66,

2

4。則為第11組第5個數(shù)

第11組有數(shù)：2°,2i,22,23,2\25,26,27,28,2\21°

故％。=2"=16,A對

_1

對于D.每一組的和為2°+2]+…+2"|=---=24'-1

2-1

故前左組之和為21+21+-+2k-k=2^-k=2k+'-2-k

2-1

Sk-—2

2

故D錯.

對于B.

6

由D可知，S15=2—5—2

7

5(5+1)6(6+1)

---------_u?----------

,26

518=Sl5+2°+2+2=2-5-2+7=64

故B錯

12.已知正數(shù)”、匕滿足。+力=1,則下列說法正確的是().

A.2"+4"的最小值是2近B.的最小值是:

O

C.C+41的最小值是萬D.±+土的最小值是4夜

【答案】AC

【詳解】

因為正數(shù)。、〃滿足a+28=L

對于A選項，由基本不等式可得2"+4"=2"+226>2,2".2"=242"2b=272，

當且僅當。=2。=，時，等號成立，A選項正確；

2

對于B選項，由基本不等式可得1=“+2。22>/G，即8abWl,即而

O

當且僅當a=2。=,時，等號成立，B選項錯誤；

2

對于C選項，由基本不等式可得“2+4》2>2揚.4與=4曲,

所以，2(a2+4Z?2)=(a2+4/?2)+(a2+4/72)>(?2+4/22)+4a/7=(a+2/?)2=l,

所以，a2+2b2>~,當且僅當。=2匕=’時?，等號成立，C選項正確；

對于D選項，由基本不等式可得?1+，=(。+28)(』+!]=啰+0+322]啰?@+3=3+20,

ab\ab)ab\ab

當且僅當a=島時，等號成立，D選項錯誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量5滿足問=2同，且+則M與5的夾角為.

2兀

【答案】y

【詳解】

■：(ci+b)la,：.\af+a-b=Q,

8

ox+1,

14.已知函數(shù)〃x）=3、：（a>3）.若對任意芭，x2.七eR,總有/（%）,/（%）,/（x,）為某

一個三角形的邊長，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[3,6]

【詳解】

由題意可得：對VX1,X2,毛eH，總有/（玉）+/（々）>/（七）恒成立，

只需27（XL>.“XL

+暝3Ia—3

f[x}-3+

-y+iy+r

①當a=3時，/（x）=3,滿足題意；

②當a>3時，/（X）在R上單調遞減，3</（x）<a,故需2x32a,即3<aW6；

綜上所述，。的取值范圍是[3,6].

15.已知拋物線C:y2=4x,點A、8在拋物線上，且分別位于x軸的上、下兩側，若麗.礪=5,則

直線AB過定點.

【答案】（5,0）

【詳解】

設直線A6方程》=沖+人，4a,兇）,5（/,必）（X>0，%<°）

{x=my-\-b,,

則{2'=>9-4my-4b=0,則y當二-4'且b>0

=4x

乂OAOB=5>所以x/2+y%=+y乂=5

則b2-4b=5=b=5或6=-1（舍），

故直線AB方程x=〃?y+5,所以直線AB過定點（5,0）

9

故答案為：（5,0）

16.西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榱私洕鷥?yōu)勢，實現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，同時該項

工程的建設也加快了西部及沿線地區(qū)的經濟發(fā)展.在輸氣管道工程建設過程中，某段直線形管道鋪設需要經

過一處平行峽谷，勘探人員在峽內恰好發(fā)現(xiàn)一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角，用測量儀器得到此橫截圓面

的圓心為0,半徑OM=ON且為1米，而運輸人員利用運輸工具水平橫向移動直線形輸氣管不可避免的

要經過此圓弧拐角，需從寬為38米的峽谷拐入寬為16米的峽谷.如圖所示，位于峽谷懸崖壁上的兩點A,B

的連線恰好與圓弧拐角相切于點T（點A,T，3在同一水平面內），若要使得直線形輸氣管能夠順利地

通過圓弧拐角，其長度不能超過米.

SB

【答案】75

【詳解】

7T

設4MOT=e,其中?！辏?,一）

2

延長。M,交AB于D,過8做S8垂線，交DO于G,延長。M交AB于E,過A做SA垂線，交NO于

F,如圖所示：

AJ739

在心ZAEF=3,AF=39,則sin￡=—,即AE=——

AEsin0

10

在自△8Z)G中，/DBG=e,BG=17,則cos6=——，即-----，

BDcos0

在R”DOE中,OTVDE,07=1,所以。。=—^―,E0=—^―,

cos6sin0

1

又LXOOXEO='XOEXOT,所以。E=————.

22sincos

匚廠24nq/小ALnccl3917139cos6+17sin8-l

所以AB=f(0)=AE+BD-DE=----+-----------------=--------------------，

singcos，sincossin6cos6

371

因為4sin6+3cose=5sin(e+0)<5,其中tane=z，當且僅當6+9=3■時，等號成立，

所以“39cos6+17sin。-11(4sin^+3cosW9cos^+17sin^)-l

/(e)=------------------------->-------------------------------------------------

sin。cos。sin。cos。

^(68sin2+207sin^cos<9+117cos2。)-(sin?8+cos?8)

sincos

63.2Q207.q1122A

—sm------sinJcosgnd------cosgr?c八r

=5557m16、207

----------------------------------二—(9tan8zi+-------)+-----

sincos5tan。5

、7-匚~~~~~16^207”

2—x219tan0x-------1------=75,

5Vtan85

164

當且僅當9tan*做，即tan"”等號成立,

所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角，其長度不能超過75米.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，N5AC=2,點￡>在邊BC上，滿足=

2

__兀

(1)若N8AO=一，求NC；

(2)若CD=28D,AO=4,求4A5c的面積.

【詳解】

BDAB

(1)在△A3。中，由正弦定理得

sinNBADsinNBDA

AB-sin—

所以sinZBDA______6

BD

27r7T

因為NBDAe(0,乃)，所以ZBD4=—或ZBD4=-

33

u

ZnTTTT

當時，可得NB=2,可得NC=2：

363

7777'JI

當NBZM='時，可得N8=J,因為N84C=2（舍去）,

322

綜上可得NC=^rr.

3

（2）因為AB=6BD,CD=2BD，所以AB=^BC,AC=^8C，

33

___________i______i______2__.i__.

由AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC

3333t

44Q

而

,22.1.-y4*21*2-而

所以A。=（-AB+-AC）2=-AB+-AC+9-4C9-

3399

即AD2=-AB2+-AC2,

99

又由4）=4，可得[x（曰8C）2+[X（中BC）2=4?，解得5。=6近，

則A5=2MAC=46

所以以8c=g|AB|x|AC=12jL

18.已知等差數(shù)列｛〃“｝滿足：04=7,aio=19,其前“項和為S”.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式an及S?；

1

（2）若b.=-----,求數(shù)列｛兒｝的前”項和為T..

a“a“+i

【詳解】

（1）設等差數(shù)列｛4｝的首項為q,公差為“，則ja+9d=]9

解得6=1,d=2.

：.an=1+2（〃-1）=2〃-1.

/（1+2+-1）

"2

111______

⑵b.

anan+]（2n—l）（2n+l）2\2n-12n+lJ

二數(shù)列｛〃｝的前〃項和為

12

19.如圖，在三棱臺ABC-44G中，ACVA.B,。是8c的中點，4。，平面A8C.

(1)求證：AC1BC；

(2)若AO=1,AC=26,BC=A4=2,求二面角與一BC-A的大小.

【詳解】

解：(1)因為4。_1_平面ABC,ACu平面ABC,

所以A。，AC.

又因為AC_LA|B,A5CA0=4，ABU平面A8。，A0u平面48。,

所以ACJ_平面AB。，

又因為5Cu平面AB。，所以AC_LBC；

(2)以。為坐標原點，與CA平行的宜線為x*li,0B所在直線為J軸，。4所在直線為Z軸，建立如所

示的空間直角坐標系。一型，

匚X

13

則0((),(),0),A(26,-1,0),8(0,1,0),A,(0,0,1).

所以。___5__=(0,1,0),AULUB1=(-273/-,2,0)<-0---4--,--?=(0,0,1)，于是AB=4.

由ABC-A反&是三棱臺，所以AB//AB-

又因為4用=2所以福'=；而=(—61,0).

所以的=M+或=(—6,1,1).

設平面的法向量〃=(x,y,z),

n-OB=0y=0

由_一得《

n-OB[=0-y/3x+y+z=0

取x=l,則y=0,z=B即3=(1,0,6).

因為。A，平面ABC，所以平面ABC的法向量為西=(0,0,1).

-zzn,OA1X0+0X0+Vsx1y/3

所以—=F=bk>w，

54

因為二面角B.-BC-A為鈍二面角，所以二面角B.-BC-A的大小是.

6

20.社會消費品零售總額是反映經濟景氣程度的重要指標，如圖為2020年11月國家統(tǒng)計局發(fā)布的社會消

費品零售總額分月同比增長速度折線圖

社會消費品零售總額分月同比增長速度

201彝11月12月202陣3月4月5月6月7月8月9月10月

10月1—2月

(1)設2020年6月至10月的月份代碼為％,且x的值依次為1,2,3,4,5,分月同比增速為y％,由

折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與*的關系，求y關于X的回歸方程.

14

(2)用(1)中的線性回歸方程預測2020年11月我國社會消費品零售總額的同比增速，并與實際增速進

行比較，若誤差不超過10%,則稱“預測理想”，否則稱"預測不理想已知國家統(tǒng)計局公布2020年11月我

國社會消費品零售總額的同比增速為5%,試判斷對2020年11月我國社會消費品零售總額同比增速的預測

是否理想.

(3)某電視臺財經頻道準備從2020年3月至10月這8個月中隨機選取3個月，詳細分析社會消費品零售

總額按行業(yè)細分的數(shù)據，記選取的3個月中社會消費品零售總額同比增速為負數(shù)的月份個數(shù)為X，求X的

分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據：￡Z=5.2,￡>*=32.2.

1=1i=l

參考公式：線性回歸方程，=隊+》中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：人=旦:-------；—

1=1

④一4一

*=y_汐1.

【詳解】

5

解：(I)由題意得5=1+2+3+4+5=3,_5.2,..,

5y=——=—=1.04

+(-1)2+02+12+22=10,

-%)(%=—5xy=32.2-5x3xl.04=16.6,

1=1

A次(x，T(y，T

黑”66,

所以6二上y--------

/=1

所以a=y—5x=1.04-1.66x3=-3.94，

所以丁關于x的回歸方程為y=1.66A-3.94；

(2)將x=6代入回歸方程,得y=1.66x6—3.94=6.02,

所以預測2020年11月我國社會消費品零售總額的同比增速為6.02%.

因為%詈出=2。.4%>1。％’

所以對2020年11月我國社會消費品零售總額同比增速的預測不理想.

15

(3)由題可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

32

目p（x=o）=Mc=-!1-,p（x=i）=c斐'c?=1?5

Cl56Cl56

23

尸（X=2）=3Cc'=D15,P（X=3）=Wc=35,

C；28C；28

所以X的分布列為

X0123

115155

P

56562828

,、1,15C15.515

￡（X）=OxF1xF2x--F3x—=—.

\）565628288

21.如圖，點尸(xo,加)是圓。：爐+尸=9上一動點，過點P作圓。的切線/與圓。1：(x-a)2+(y-4)

2=100(a>0)交于A,8兩點，已知當直線/過圓心Oi時，|0招|=4.

(2)當線段A8最短時，求直線/的方程;

”1

⑶問：滿足條件匕3=%的點尸有幾個？請說明理由.

orJ

【詳解】

解：(1)當直線/過圓心點01時，

=J/+7=4，

\OtP\=yl\oof-\opf

解得4=3(負值舍去).

16

（2）解法1（代數(shù)法）：因為0P與圓0相切，所以直線/的方程為xar+yoy=9.

旦片+￥=9，

所以圓心Oi到直線/的距離

d/3玉>+4yo*=|3/+4%-9|

—&+a一'

記z=3xo+4yo,則直線3x（）+4vo-z-0與圓x；+y：=9有公共點，

所以圓心（0,0）到直線3x+4y-z=0的距離

,\—z\

d-i3,所以-154?415,

A/32+42

所以當z=-15時，de8,此時弦長最短，

9

3%+4%+15=0%

由，解得《

/+芥=912

%=一不

所以直線/的方程為3x+4y+15=0.

解法2（兒何法）：如圖，過Oi作OtM±AB,則M為弦AB的中點，設1=|。西|,

當|OiM|最長時，弦長依8|最短，

因為d4|OiP|<|OOi|+|OP|=。

當且僅當0”o,P三點共線時，取得最大值,

此時。01_1_48,

17

4

因為2a,=§,

4

所以直線OOi的方程為y=,

'4

由y=3-x,

芯+N；=9

(Q121

解得P-不,一二(P點在第3象限)

所以直線/的方程為3x+4y+15=0.

(3)因為四2

忸P|3

所以設(AP|=f,則18Pl=3舊＞0),

所以0B|=4r,

所以嚴+(2)=100①,

⑺如圖，當。1,O在直線AB同側時,

尸=|MPF=25-(d-3/②，

由①②得d=6或d—2,

當d=6時，直線AB可看作是圓/+產=9與圓(x-3)2+0，-4/=36的公切線,

此時兩圓相交，公切線有兩條，所以滿足條件的點P有2個，

d=2時，直線AB可看作是圓/+產=9與圓(x-3)2+6-4產=4的公切線，

此時兩圓相外切，外公切線有兩條，所以滿足條件的點P有2個，

18

5）如圖，當Q,O在直線AB異側時,

產=|MP|2=25-(”+3)2,③

由①③可得d=-6或d=-2（舍），滿足條件的P點不存在,

綜上，滿足條件的點P共有4個.

|3x0+4y0-9|

附：當d=6時d=—/,2=6,

yjxn+

即|3xo+4*-9|=18,

]3%+4%-9|=18

由

.片+*=9

21721

解得P（-3,0）或尸

25~25,

.|3%+4%-9|

當d=2時4=1/222,

即|3xo+4)b-9|=6,

[3%+4)'0—9|=6

由

.片+巾=9

(9-247612+18⑹(9+247612-18指)(912)

（舍去）.

22.已知函數(shù)/(x)=e"(lnx+l)(awR),f(x)為/(幻的導數(shù).

（1）設函數(shù)g（x）=Z學，求g（x）的單調區(qū)間;

19

(2)若/(x)有兩個極值點.工2(石<龍2)，

①求實數(shù)〃的取值范圍；

②證明：當“<2e2時，

人]人2

【詳解】

解：(1)依題意，/(X)的定義域為(0,+8),且g(x)=￡^2=ainx+a+L,