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文檔簡(jiǎn)介

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.通過同角三角函數(shù)式的應(yīng)用,重點(diǎn)提升

2.會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明.素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)■..............

教材知識(shí)探究

A情境引入

氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn):南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只

蝴蝶,偶爾扇動(dòng)幾下翅膀,可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯的一場(chǎng)龍卷風(fēng).這就

是理論界聞名的''蝴蝶效應(yīng)”,此效應(yīng)本意是說事物初始條件的微弱變化可能會(huì)

引起結(jié)果的巨大變化.蝴蝶扇翅膀成為龍卷風(fēng)的導(dǎo)火索.從中我們還可以看出,南

美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不

相干的兩種事物,卻會(huì)有這樣的聯(lián)系,這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系

的觀點(diǎn).

問題既然感覺毫不相干的事物都是相互聯(lián)系的,那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)

一定會(huì)有非常密切的關(guān)系!到底是什么關(guān)系呢?

蝴蝶效應(yīng)

提示sin2ct+cos2ct=l,tan左GZ).

A新知梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系注意角的范圍

苗述方式

基本關(guān)系式語(yǔ)言描述

基本

同一個(gè)角a的正弦、余弦的

平方關(guān)系sin2.+cos2n=1

平方和等于1

sina..?匹7「同一個(gè)角a的正弦、余弦的

商數(shù)關(guān)系tnnck—(zaWkn十.,kGZ)

cosaz

商等于角a的正切

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形公式的熟練程度決定解題的速度

(l)sin2a+cos2a=1的變形公式:sin2a=1"cos2<z;cos2a=1-sin26x.

小、sm。小療八3sma

(2)tana=----的父7形1V公式:sma=coscctana;cos?=:;

cosalana

教材拓展補(bǔ)遺

[微判斷]

l.sin2a+cos2y5=l.(X)

提示在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立,即si/a+cos2a

=1.

2.sin2^+cos2^=1.(V)

3.對(duì)任意的角a,都有tana=:R:成立.(X)

jr

提示當(dāng)a=]+E,左?Z時(shí)就不成立.

4.若sina=g,貝Icosa=^.(X)

ZJxCOSCt=±"^-.

[微訓(xùn)練]

1.下列四個(gè)結(jié)論中可能成立的是()

A.sina=1_@Lcosa=]

B.sina=0J@Lcosa~~-1

C.tana=1且,cosa=1

sina

D”是第二象限角時(shí),tana

cosa

解析根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證,因?yàn)楫?dāng)a=7i時(shí),sina=O且cos

a——1,故B成立,而A,C,D都不成立.

答案B

2.若2I且sinacos貝Usina+cosa

2449(71

解析(sina+cosa)2=l+2sina-cos0=1+天=天,又sinct>0,

7

cosa>0,/.sina+cos

7

答案5

#2sina-3cosa…

3,右4sina—9cosa=T'川tana

解析原式可化為而R=T?則tana=2.

答案2

[微思考]

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對(duì)任意角都成立嗎?

7T

提示平方關(guān)系對(duì)任意角都成立,商數(shù)關(guān)系只有當(dāng)時(shí)成立.

■■■I課堂互動(dòng)M題型剖析

題型一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用

8

【例1】已知cosa=一萬(wàn),求sina,tana的值.

8

解*.*cosa=——F<0,

二.a是第二或第三象限角,

(1)當(dāng)a是第二象限角時(shí),則

sina=1—cos%-

15

sina1715

tana

cosa88-

17

(2)當(dāng)a是第三象限角時(shí),則

規(guī)律方法(1)已知sin。(或cos。)求tan。常用以下方式求解

(2)若沒有給出角a是第幾象限角,則應(yīng)分類討論,先由已知三角函數(shù)的值推出

a的終邊可能在的象限,再分類求解.

4

【訓(xùn)練1】已知tana=§,且a是第三象限角,求sina,cosa的值.

44

sma--

解由tan33

cosa

又sin2a+cos2a=1,②

169

由①②得gCOs2Q+cOS2a=1,即COS*2?=25.

又a是第三象限角,

.3.44

..cosa=一5,sma=gcosa=一亍

題型二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

【例2】化簡(jiǎn):注意弦切互化,盡量減少函數(shù)名稱

sinasina

1+sin?1—sina

dl+2sin100cos10。

(2)

cos10°+^/l—cos210°

2

'(37)sinatana+~tana+2sinacosa.

smasma

(I)-1+sina1—sina

sina(l—sina)-sina(1+sina)

(1+sin?)(1—sina)

-2sin2a—2sin2a

2tan2oc.

1—sin2a-cos2a

Nl+2sin100cos10。N(cos100+sin)2

(2)

cos10°+^1—cos210°cos100+sin10°

|cosl(r+sin10。|

cos100+sin10°

.?sma.cosa.八.

(3)原式=smQ?----十cos9---十2smotcosa

—cosasina

sin%+cos%+Zsi/acos2a

sinacosa

(sin2a+cos2a)?______]

sinacosasinotcosa

規(guī)律方法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧

(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化

繁為簡(jiǎn)的目的.

⑵對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化

簡(jiǎn)的目的.

⑶對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2a+cos2a=

1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

2cos^<z-1

【訓(xùn)練2]化簡(jiǎn)[_0.2+(l+tan2a)cos2a.

izsin.ot

田22COS2<Z—(sin2a+cos2a),,sin*i2吟

斛原式=sin%+cos2a—2sin%力1十---2-cos9a

cosaJ

2222

cosa—sinacosa+sina9

--COS?

cos2a—s^ma+cosa

=1+1=2.

題型三三角函數(shù)式的求值

方向1弦切互化求值

【例3—1】已知tana=2.

sina-3cosa

⑴求的值;

sina+cosa

(2)求2sin2a—sintzcosa+cos2a的值.

cinn

解(1)法一(代入法)?「tana=2,----=2,sina=2cosa.

cosa

.sina—3cosa2cosa-3cosaj_

'?sina+cosa2cosa+cosa3

法二(弦化切)???tana=2.

sm?—3

sina—3cosacosatana-32-3j_

sinot+cosasina十1tana+12+13

cosa

2sin2a-sinacosa+cos2a

(2)2sin2a—sinacosa+cos2a=

sin2a+cos2a

Zta/a—tana+12義4-2+17

tan2?+14+15,

規(guī)律方法已知tana的值,求關(guān)于sina,cosa齊次式的值的方法

(1)對(duì)只含有sina,cosa的齊次式,可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系,通過除以

某一齊次項(xiàng),轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子,即化弦為切,整體代入.

一…asina+bcosaasin2ot+Z?sinacosa+cco^a、、、、一、「一,

對(duì)于形如一一或v…!?-------工。2的分式,分子、分母同時(shí)

(2)csma+Td3c——osaasmza+esmotcosa+jcosa

除以cosa,cos2(z,將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切,從而求值.

⑶對(duì)于形如asi/a+bsinacosa+ccos2a的式子,將其看成分母為1的分式,再

,、「、~.c小,,,~.asin2a+Z?sinacosa+aco^a?一八

招■分母1變形為sin2?+cos2?,轉(zhuǎn)化為形如c■.1一2,xv-I-cc2=xv的式子求

值.

方向2sina±cosa型求值問題注意判斷符號(hào)

【例3—2】已矢口sin6+cos。=;(0<。<兀),求sinOcos0和sincos0的值.

角星因?yàn)閟in8+cos。=3(0<。<兀),

所以(sin8+cose)2=〃,

即si/e+Zsin0cos0+cos20=^,

3

所以-Q.

sinOcos0=o

由上知,。為第二象限的角,

所以sin8—cos3>0,所以sincos9=yj(sin^+cos0)2—4sin^cos^

規(guī)律方法已知sina±cosa,sinacosa求值問題,一般利用三角恒等式,采用

整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:

(l)(sin6+cos0)2=1+2sinOcos仇

(2)(sincos0)2=i—2sin<9cos8;

(3)(sin0+cos6)2+(sincos0)2=2;

(4)(sin0—cos9)2=(sin0+cos0)2—4sinOcos6.

上述三角恒等式告訴我們,已知sin6+cos0,sin0—cos0,sinOcos0中的任何

一個(gè),則另兩個(gè)式子的值均可求出.

7,

【訓(xùn)I練3](1)已知sina+cos。=百,?!?0,兀),貝!Jtana=.

9

(2)已矢口2cos2a—3sinacos而,貝Utana=.

749

角星析(1)Vsina+cos百,**?(sina+cos?)2=y^,

120八

即2sinotcosa169<0,

又a£(0,兀),則sina>0,cosa<0,AaE(-,兀),

iksina—cosa=(sina+cosa)2—4sinacosa=,

可得sina=1|,cosa=-^,tana=-y.

(2)由題中等式易知cosaWO,

G、0c.2cos2a_3sinacosa2—3tana9

貝U2cosa—3sinotcosa=~;?=..~=77i,

sina十cosa1十tan?1U

整理得9tan2?+30tana~11=0,

即(3tana—l)(3tana+11)=0,

解得tana=g或tana=一日.

答案(D—,(2)g或一甘

題型四三角恒等式的證明

方向1一般恒等式的證明

1+2sinacosatana+1

【例4—1]求證:

sin2a—cos2atana~l

-rnsin2a+cos2a+2sinacosa

證明法一左邊:一si』c°s2a—

(sinot+cosa)2sinot+cosa

sma—cosasina—cosa

tana+1.、)

=;--------7=右邊.

tana-l

所以等式成立.

sma—]

,cosasina+cosa

法二右邊=-.....------------

sma]sma-cosa

cosa

(sina+cosa)?

(sin?—cosa)(sina+cosa)

l+2sin?cosa,.

sMa—cMa=左電

所以等式成立.

規(guī)律方法證明三角恒等式常用的方法

(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo),一般由繁到簡(jiǎn);

(2)左右歸一法,即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子;

(3)化異為同法,即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對(duì)地變形,以消除差異;

ncuC

(4)變更命題法,如要證明萬(wàn)=),可證ad=Z?c,或證E=一等;

oa。a

左邊

(5)比較法,即設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“干1=1”.

石邊

方向2條件恒等式的證明

【例4—2]已知tan2a=2tan2^+L求證:sir?,=2sin2a—1.

證明因?yàn)閠an2a=2tan2£+1,所以tan2a+l=2tan2^+2.

所以曄+1=2(嗎+1),

cos'。'cos/7

12

通分可得后%=叢初,

即cos2s=2cos2a,所以1—sin2/=2(1—sin2a),

即sin2£=2sin2a—l.

規(guī)律方法含有條件的三角恒等式證明的常用方法

(1)直推法:從條件直推到結(jié)論;

(2)代入法:將條件代入到結(jié)論中,轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明;

(3)換元法:把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題,利用代數(shù)

即可完成證明.

狂八、4、丁tanasmatana+sina

【訓(xùn)練4】⑴求證:;-----:—=-----:----;

'tana—sin?tanasma

小、nA-£OSj4sin4A十cosjBsin4B

Q)已知n心藥+而喑—1,求證菽而L

t,a2na—s?m2a

證明(I)'.?右邊=

(tana-sina)tanasina

tan2a—ta/acos2a_________tan2a(1-COS2K)

(tana—sina)tanasina(tana—sintanasina

tarasin2a_______tanasina

=左邊,

(tana—sina)tanasinatana—sina

...原等式成立.

(2)設(shè)sin2A=m(fi<m<1),sin2B=n(0<n<l),

則cos2A=1—機(jī),cos2B=1—H.

,cos4Asin4A“(1—m)2機(jī)2

由菽石+而厲='得一;------+—=

即(加一")2=0..,."?=〃,

.cos4/jsin%(1—〃)尤__

COS2Asin2A-l-mm~nn~'

核心素養(yǎng)「“全面提升制

一、素養(yǎng)落地

1.通過對(duì)公式的正用、逆用、變形用提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算

素養(yǎng).

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,它的

精髓在“同角”二字上,如sin22a+cos22a=1,型等=tan8a等都成立,理由

COSoOt

是式子中的角為“同角”.

3.在化簡(jiǎn)、求值時(shí)要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代換的技巧,

更要注意符號(hào)的選取.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

4

1.若cosa=一『且a是第二象限角,貝1Jtana的值等于()

A]_3

BR-4

_______3

解析由題意可得sina=3—cos2a=亍

.sina3

..tana=-c-o--s---a=—T4.

答案B

Q

2.已知cos(a—2兀)=一萬(wàn),a為第二象限角,則sina=()

?1515

A?萬(wàn)B「F

15「8

c.土FD?士百

解析?.?cos(a—27i)=cos。=一萬(wàn),又a為第二象限角,sincos2ot

答案A

3.若a£(0,日且sin3a=],貝!Jcos3a=()

A-空B空

A.3b.3

12

答案B

3兀71

4.已知sinacosa=R,且則cosa—sina的值是()

11

AiB-2

JC4-D--4

兀兀

解析V^<ot<2?*>?sina>cosa,cosa—sina<0.

/.cosa—sina=—yj1—2sinacosa—1—2)

答案B

,sina+cosa.,g—i石

5.已知--------=2,計(jì)算下列各式的值:

sma-cosa

3sina一cosa

(l)2sina+3cosa

(2)sin2?-2sinacosa+1.

cin/Y-I-COQn

解由^---------=2,化簡(jiǎn),得sina=3cosa,所以tana=3.

sina—cosa

3tana—13X3—18

(1)原式=,2tana+3=2X3+3=9-

色「sin2a—2sinotcosa

⑵原式=si/a+cos2a1

tan2g—2tana32—2X313

tan2a+l132+l110,

I課后作業(yè)?i■iiiiiiiiii-J.I鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.化簡(jiǎn)4-sin2160。的結(jié)果是()

A.cos160°B.±|cos160|

C.icos160°D.—cos160°

解析sin2160°=^/cos2160°=|cos160°|

=—cos160°.

答案D

2.已知sincosa=—"貝!Jsina?cosa等于()

A覽B—2

A.4B-16

C--32D32

、525

解析因?yàn)閟in?—cosa=—平方可得l—2sinacosm,所以2sinacosa

99

=一元,即sinacosa=一方.

答案C

4

3.已知sina=§,且。為第二象限角,則tana=()

43

A「不B.-4

c3D4

43

解析Vsin?=^,a為第二象限角,.,.cosa=—g,

??tana-3.

答案A

2

4.已知a是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sinct+cosa=q,那么這個(gè)三角形的形狀為

()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

244

解析Vsina+cosa=g,/.(sinot+cosa)2=g,即l+2sinacosa=g,/.sina-cos

a-—得<。,/.^2,兀).

答案B

5.化簡(jiǎn)sin2?+cos4?+sin2acos2ot的結(jié)果是()

11

A-4B2

3

C.lD,2

解析原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2。)=sin2a+cos2a=1.

答案c

二、填空題

6.化簡(jiǎn)(l+tan215)cos215°

解析(1+tan215°)cos215°=fl+^215°ocos215°+sin2150。

l-cos2915=一最市----COS9215=1.

答案1

,紅

7.已知aG兀,y,tana=2,則cosa

解析..711a=2,sina=2cosa9又丁sir?。+cos2a=1,「?cos2a=g,又

371

Vote7:2~??cosa

5'

答案—竽

8?已知c°sa=—1,且tana>。,則上監(jiān)

4sinaccs%

解析由3/。-。知.是第三象限角,且5由廣一孕故原式=口;7

sina(1—sin2ot),444

一—=sina(l+sina)=(—5)(匕)=一正

答案~25

三'解答題

9.已知tana=2,求下列代數(shù)式的值:

4sina—2cosa1.11

(1a+3sinI(2)4sin7ot+2sinacosa+/cos9a

4tan。一24X2-26

解(1)原式=

5+3tana5+3X2=IP

^si^a+l,sinacosa

2a

⑵原式=------sin^+cos^

a+T(><4+gx2+T

13

tan2a+l530-

2sinxcosx-ltan%—1

1°.求證:==嬴而■.

2sinxcos%—(sin2x+cos2x)

證明法一??,左邊=

cos2%—sm?2zx

—(sin2%—2sinxcosx+cos2x)(sinx—cosx)2

cos2%—sm?2xsm??%—cos2x

(sincos%)2

(sin%—cosx)(sinx+cosx)

sincos%tanxT右、力

sinx+cosxtanx+1"

???原等式成立.

smx]

.cosxsin%—cosx

法二??,右邊=~-----=-----;

smx+]sinx+cosx

cosx

..1—2s

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