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文檔簡(jiǎn)介
5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
課標(biāo)要求素養(yǎng)要求
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.通過同角三角函數(shù)式的應(yīng)用,重點(diǎn)提升
2.會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明.素養(yǎng).
課前預(yù)習(xí)■..............
教材知識(shí)探究
A情境引入
氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn):南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只
蝴蝶,偶爾扇動(dòng)幾下翅膀,可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯的一場(chǎng)龍卷風(fēng).這就
是理論界聞名的''蝴蝶效應(yīng)”,此效應(yīng)本意是說事物初始條件的微弱變化可能會(huì)
引起結(jié)果的巨大變化.蝴蝶扇翅膀成為龍卷風(fēng)的導(dǎo)火索.從中我們還可以看出,南
美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不
相干的兩種事物,卻會(huì)有這樣的聯(lián)系,這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系
的觀點(diǎn).
問題既然感覺毫不相干的事物都是相互聯(lián)系的,那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)
一定會(huì)有非常密切的關(guān)系!到底是什么關(guān)系呢?
蝴蝶效應(yīng)
提示sin2ct+cos2ct=l,tan左GZ).
A新知梳理
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系注意角的范圍
苗述方式
基本關(guān)系式語(yǔ)言描述
基本
同一個(gè)角a的正弦、余弦的
平方關(guān)系sin2.+cos2n=1
平方和等于1
sina..?匹7「同一個(gè)角a的正弦、余弦的
商數(shù)關(guān)系tnnck—(zaWkn十.,kGZ)
cosaz
商等于角a的正切
2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形公式的熟練程度決定解題的速度
(l)sin2a+cos2a=1的變形公式:sin2a=1"cos2<z;cos2a=1-sin26x.
小、sm。小療八3sma
(2)tana=----的父7形1V公式:sma=coscctana;cos?=:;
cosalana
教材拓展補(bǔ)遺
[微判斷]
l.sin2a+cos2y5=l.(X)
提示在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立,即si/a+cos2a
=1.
2.sin2^+cos2^=1.(V)
3.對(duì)任意的角a,都有tana=:R:成立.(X)
jr
提示當(dāng)a=]+E,左?Z時(shí)就不成立.
4.若sina=g,貝Icosa=^.(X)
ZJxCOSCt=±"^-.
[微訓(xùn)練]
1.下列四個(gè)結(jié)論中可能成立的是()
A.sina=1_@Lcosa=]
B.sina=0J@Lcosa~~-1
C.tana=1且,cosa=1
sina
D”是第二象限角時(shí),tana
cosa
解析根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證,因?yàn)楫?dāng)a=7i時(shí),sina=O且cos
a——1,故B成立,而A,C,D都不成立.
答案B
2.若2I且sinacos貝Usina+cosa
2449(71
解析(sina+cosa)2=l+2sina-cos0=1+天=天,又sinct>0,
7
cosa>0,/.sina+cos
7
答案5
#2sina-3cosa…
3,右4sina—9cosa=T'川tana
解析原式可化為而R=T?則tana=2.
答案2
[微思考]
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對(duì)任意角都成立嗎?
7T
提示平方關(guān)系對(duì)任意角都成立,商數(shù)關(guān)系只有當(dāng)時(shí)成立.
■■■I課堂互動(dòng)M題型剖析
題型一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用
8
【例1】已知cosa=一萬(wàn),求sina,tana的值.
8
解*.*cosa=——F<0,
二.a是第二或第三象限角,
(1)當(dāng)a是第二象限角時(shí),則
sina=1—cos%-
15
sina1715
tana
cosa88-
17
(2)當(dāng)a是第三象限角時(shí),則
規(guī)律方法(1)已知sin。(或cos。)求tan。常用以下方式求解
(2)若沒有給出角a是第幾象限角,則應(yīng)分類討論,先由已知三角函數(shù)的值推出
a的終邊可能在的象限,再分類求解.
4
【訓(xùn)練1】已知tana=§,且a是第三象限角,求sina,cosa的值.
44
sma--
解由tan33
cosa
又sin2a+cos2a=1,②
169
由①②得gCOs2Q+cOS2a=1,即COS*2?=25.
又a是第三象限角,
.3.44
..cosa=一5,sma=gcosa=一亍
題型二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
【例2】化簡(jiǎn):注意弦切互化,盡量減少函數(shù)名稱
sinasina
1+sin?1—sina
dl+2sin100cos10。
(2)
cos10°+^/l—cos210°
2
'(37)sinatana+~tana+2sinacosa.
smasma
解
(I)-1+sina1—sina
sina(l—sina)-sina(1+sina)
(1+sin?)(1—sina)
-2sin2a—2sin2a
2tan2oc.
1—sin2a-cos2a
Nl+2sin100cos10。N(cos100+sin)2
(2)
cos10°+^1—cos210°cos100+sin10°
|cosl(r+sin10。|
cos100+sin10°
.?sma.cosa.八.
(3)原式=smQ?----十cos9---十2smotcosa
—cosasina
sin%+cos%+Zsi/acos2a
sinacosa
(sin2a+cos2a)?______]
sinacosasinotcosa
規(guī)律方法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧
(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化
繁為簡(jiǎn)的目的.
⑵對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化
簡(jiǎn)的目的.
⑶對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2a+cos2a=
1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.
2cos^<z-1
【訓(xùn)練2]化簡(jiǎn)[_0.2+(l+tan2a)cos2a.
izsin.ot
田22COS2<Z—(sin2a+cos2a),,sin*i2吟
斛原式=sin%+cos2a—2sin%力1十---2-cos9a
cosaJ
2222
cosa—sinacosa+sina9
--COS?
cos2a—s^ma+cosa
=1+1=2.
題型三三角函數(shù)式的求值
方向1弦切互化求值
【例3—1】已知tana=2.
sina-3cosa
⑴求的值;
sina+cosa
(2)求2sin2a—sintzcosa+cos2a的值.
cinn
解(1)法一(代入法)?「tana=2,----=2,sina=2cosa.
cosa
.sina—3cosa2cosa-3cosaj_
'?sina+cosa2cosa+cosa3
法二(弦化切)???tana=2.
sm?—3
sina—3cosacosatana-32-3j_
sinot+cosasina十1tana+12+13
cosa
2sin2a-sinacosa+cos2a
(2)2sin2a—sinacosa+cos2a=
sin2a+cos2a
Zta/a—tana+12義4-2+17
tan2?+14+15,
規(guī)律方法已知tana的值,求關(guān)于sina,cosa齊次式的值的方法
(1)對(duì)只含有sina,cosa的齊次式,可根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系,通過除以
某一齊次項(xiàng),轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子,即化弦為切,整體代入.
一…asina+bcosaasin2ot+Z?sinacosa+cco^a、、、、一、「一,
對(duì)于形如一一或v…!?-------工。2的分式,分子、分母同時(shí)
(2)csma+Td3c——osaasmza+esmotcosa+jcosa
除以cosa,cos2(z,將正、余弦轉(zhuǎn)化為正切,從而求值.
⑶對(duì)于形如asi/a+bsinacosa+ccos2a的式子,將其看成分母為1的分式,再
,、「、~.c小,,,~.asin2a+Z?sinacosa+aco^a?一八
招■分母1變形為sin2?+cos2?,轉(zhuǎn)化為形如c■.1一2,xv-I-cc2=xv的式子求
值.
方向2sina±cosa型求值問題注意判斷符號(hào)
【例3—2】已矢口sin6+cos。=;(0<。<兀),求sinOcos0和sincos0的值.
角星因?yàn)閟in8+cos。=3(0<。<兀),
所以(sin8+cose)2=〃,
即si/e+Zsin0cos0+cos20=^,
3
所以-Q.
sinOcos0=o
由上知,。為第二象限的角,
所以sin8—cos3>0,所以sincos9=yj(sin^+cos0)2—4sin^cos^
規(guī)律方法已知sina±cosa,sinacosa求值問題,一般利用三角恒等式,采用
整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:
(l)(sin6+cos0)2=1+2sinOcos仇
(2)(sincos0)2=i—2sin<9cos8;
(3)(sin0+cos6)2+(sincos0)2=2;
(4)(sin0—cos9)2=(sin0+cos0)2—4sinOcos6.
上述三角恒等式告訴我們,已知sin6+cos0,sin0—cos0,sinOcos0中的任何
一個(gè),則另兩個(gè)式子的值均可求出.
7,
【訓(xùn)I練3](1)已知sina+cos。=百,?!?0,兀),貝!Jtana=.
9
(2)已矢口2cos2a—3sinacos而,貝Utana=.
749
角星析(1)Vsina+cos百,**?(sina+cos?)2=y^,
120八
即2sinotcosa169<0,
又a£(0,兀),則sina>0,cosa<0,AaE(-,兀),
iksina—cosa=(sina+cosa)2—4sinacosa=,
可得sina=1|,cosa=-^,tana=-y.
(2)由題中等式易知cosaWO,
G、0c.2cos2a_3sinacosa2—3tana9
貝U2cosa—3sinotcosa=~;?=..~=77i,
sina十cosa1十tan?1U
整理得9tan2?+30tana~11=0,
即(3tana—l)(3tana+11)=0,
解得tana=g或tana=一日.
答案(D—,(2)g或一甘
題型四三角恒等式的證明
方向1一般恒等式的證明
1+2sinacosatana+1
【例4—1]求證:
sin2a—cos2atana~l
-rnsin2a+cos2a+2sinacosa
證明法一左邊:一si』c°s2a—
(sinot+cosa)2sinot+cosa
sma—cosasina—cosa
tana+1.、)
=;--------7=右邊.
tana-l
所以等式成立.
sma—]
,cosasina+cosa
法二右邊=-.....------------
sma]sma-cosa
cosa
(sina+cosa)?
(sin?—cosa)(sina+cosa)
l+2sin?cosa,.
sMa—cMa=左電
所以等式成立.
規(guī)律方法證明三角恒等式常用的方法
(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo),一般由繁到簡(jiǎn);
(2)左右歸一法,即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子;
(3)化異為同法,即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對(duì)地變形,以消除差異;
ncuC
(4)變更命題法,如要證明萬(wàn)=),可證ad=Z?c,或證E=一等;
oa。a
左邊
(5)比較法,即設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“干1=1”.
石邊
方向2條件恒等式的證明
【例4—2]已知tan2a=2tan2^+L求證:sir?,=2sin2a—1.
證明因?yàn)閠an2a=2tan2£+1,所以tan2a+l=2tan2^+2.
所以曄+1=2(嗎+1),
cos'。'cos/7
12
通分可得后%=叢初,
即cos2s=2cos2a,所以1—sin2/=2(1—sin2a),
即sin2£=2sin2a—l.
規(guī)律方法含有條件的三角恒等式證明的常用方法
(1)直推法:從條件直推到結(jié)論;
(2)代入法:將條件代入到結(jié)論中,轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明;
(3)換元法:把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題,利用代數(shù)
即可完成證明.
狂八、4、丁tanasmatana+sina
【訓(xùn)練4】⑴求證:;-----:—=-----:----;
'tana—sin?tanasma
小、nA-£OSj4sin4A十cosjBsin4B
Q)已知n心藥+而喑—1,求證菽而L
t,a2na—s?m2a
證明(I)'.?右邊=
(tana-sina)tanasina
tan2a—ta/acos2a_________tan2a(1-COS2K)
(tana—sina)tanasina(tana—sintanasina
tarasin2a_______tanasina
=左邊,
(tana—sina)tanasinatana—sina
...原等式成立.
(2)設(shè)sin2A=m(fi<m<1),sin2B=n(0<n<l),
則cos2A=1—機(jī),cos2B=1—H.
,cos4Asin4A“(1—m)2機(jī)2
由菽石+而厲='得一;------+—=
即(加一")2=0..,."?=〃,
.cos4/jsin%(1—〃)尤__
COS2Asin2A-l-mm~nn~'
核心素養(yǎng)「“全面提升制
一、素養(yǎng)落地
1.通過對(duì)公式的正用、逆用、變形用提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算
素養(yǎng).
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律,它的
精髓在“同角”二字上,如sin22a+cos22a=1,型等=tan8a等都成立,理由
COSoOt
是式子中的角為“同角”.
3.在化簡(jiǎn)、求值時(shí)要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代換的技巧,
更要注意符號(hào)的選取.
二、素養(yǎng)訓(xùn)練
4
1.若cosa=一『且a是第二象限角,貝1Jtana的值等于()
A]_3
BR-4
_______3
解析由題意可得sina=3—cos2a=亍
.sina3
..tana=-c-o--s---a=—T4.
答案B
Q
2.已知cos(a—2兀)=一萬(wàn),a為第二象限角,則sina=()
?1515
A?萬(wàn)B「F
15「8
c.土FD?士百
解析?.?cos(a—27i)=cos。=一萬(wàn),又a為第二象限角,sincos2ot
答案A
3.若a£(0,日且sin3a=],貝!Jcos3a=()
A-空B空
A.3b.3
12
答案B
3兀71
4.已知sinacosa=R,且則cosa—sina的值是()
11
AiB-2
JC4-D--4
兀兀
解析V^<ot<2?*>?sina>cosa,cosa—sina<0.
/.cosa—sina=—yj1—2sinacosa—1—2)
答案B
,sina+cosa.,g—i石
5.已知--------=2,計(jì)算下列各式的值:
sma-cosa
3sina一cosa
(l)2sina+3cosa
(2)sin2?-2sinacosa+1.
cin/Y-I-COQn
解由^---------=2,化簡(jiǎn),得sina=3cosa,所以tana=3.
sina—cosa
3tana—13X3—18
(1)原式=,2tana+3=2X3+3=9-
色「sin2a—2sinotcosa
⑵原式=si/a+cos2a1
tan2g—2tana32—2X313
tan2a+l132+l110,
I課后作業(yè)?i■iiiiiiiiii-J.I鞏固提高
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.化簡(jiǎn)4-sin2160。的結(jié)果是()
A.cos160°B.±|cos160|
C.icos160°D.—cos160°
解析sin2160°=^/cos2160°=|cos160°|
=—cos160°.
答案D
2.已知sincosa=—"貝!Jsina?cosa等于()
A覽B—2
A.4B-16
C--32D32
、525
解析因?yàn)閟in?—cosa=—平方可得l—2sinacosm,所以2sinacosa
99
=一元,即sinacosa=一方.
答案C
4
3.已知sina=§,且。為第二象限角,則tana=()
43
A「不B.-4
c3D4
43
解析Vsin?=^,a為第二象限角,.,.cosa=—g,
??tana-3.
答案A
2
4.已知a是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sinct+cosa=q,那么這個(gè)三角形的形狀為
()
A.銳角三角形B.鈍角三角形
C.等邊三角形D.等腰直角三角形
244
解析Vsina+cosa=g,/.(sinot+cosa)2=g,即l+2sinacosa=g,/.sina-cos
a-—得<。,/.^2,兀).
答案B
5.化簡(jiǎn)sin2?+cos4?+sin2acos2ot的結(jié)果是()
11
A-4B2
3
C.lD,2
解析原式=sin2a+cos2a(cos2a+sin2。)=sin2a+cos2a=1.
答案c
二、填空題
6.化簡(jiǎn)(l+tan215)cos215°
解析(1+tan215°)cos215°=fl+^215°ocos215°+sin2150。
l-cos2915=一最市----COS9215=1.
答案1
,紅
7.已知aG兀,y,tana=2,則cosa
解析..711a=2,sina=2cosa9又丁sir?。+cos2a=1,「?cos2a=g,又
371
Vote7:2~??cosa
5'
答案—竽
8?已知c°sa=—1,且tana>。,則上監(jiān)
4sinaccs%
解析由3/。-。知.是第三象限角,且5由廣一孕故原式=口;7
sina(1—sin2ot),444
一—=sina(l+sina)=(—5)(匕)=一正
答案~25
三'解答題
9.已知tana=2,求下列代數(shù)式的值:
4sina—2cosa1.11
(1a+3sinI(2)4sin7ot+2sinacosa+/cos9a
4tan。一24X2-26
解(1)原式=
5+3tana5+3X2=IP
^si^a+l,sinacosa
2a
⑵原式=------sin^+cos^
a+T(><4+gx2+T
13
tan2a+l530-
2sinxcosx-ltan%—1
1°.求證:==嬴而■.
2sinxcos%—(sin2x+cos2x)
證明法一??,左邊=
cos2%—sm?2zx
—(sin2%—2sinxcosx+cos2x)(sinx—cosx)2
cos2%—sm?2xsm??%—cos2x
(sincos%)2
(sin%—cosx)(sinx+cosx)
sincos%tanxT右、力
sinx+cosxtanx+1"
???原等式成立.
smx]
.cosxsin%—cosx
法二??,右邊=~-----=-----;
smx+]sinx+cosx
cosx
..1—2s
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