冪函數(shù)與二次函數(shù)課件-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第6課時冪函數(shù)與二次函數(shù)考試要求通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等)，能用二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．鏈接教材夯基固本第6課時冪函數(shù)與二次函數(shù)1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)_____叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點________和________，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點________，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時，y＝xα為______；當(dāng)α為偶數(shù)時，y＝xα為______．y＝xα(1，1)(0，0)(1，1)奇函數(shù)偶函數(shù)2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝__________________．頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為________．零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的____．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)

定義域Rax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零點值域?qū)ΨQ軸方程頂點坐標(biāo)奇偶性當(dāng)____時是偶函數(shù)，當(dāng)____時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性

b＝0b≠0減增增減

×√√×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P86T7改編)函數(shù)f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域為(

)A．[－6，2]

B．[－6，1]

C．[0，2]

D．[0，1]A

[函數(shù)f(x)＝－2x2＋4x圖象的對稱軸為x＝1，則f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域為[－6，2].]2．(人教A版必修第一冊P100復(fù)習(xí)參考題3T4改編)若函數(shù)f(x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為__________________________．

(－∞，30]∪[120，＋∞)

4．(人教A版必修第一冊P91練習(xí)T2改編)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關(guān)系是________．(用“<”連接)c<b<a

[由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.]

(0，＋∞)c<b<a典例精研核心考點第6課時冪函數(shù)與二次函數(shù)

名師點評

與冪函數(shù)有關(guān)問題的解題思路(1)關(guān)于冪函數(shù)y＝xα，若α∈Z且函數(shù)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般將xα先化為根式，再分析函數(shù)的性質(zhì)．(2)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0；若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0.(3)在比較冪值的大小時，結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．

考點二二次函數(shù)的圖象與解析式[典例2]

(1)(多選)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，則(

)A．b2＞4ac

B．2a－b＝1C．a(chǎn)－b＋c＝0

D．5a＜b(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝____________．

－4x2＋4x＋7

名師點評

研究二次函數(shù)圖象及解析式應(yīng)從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，常取零點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向．

f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)

考點三二次函數(shù)的單調(diào)性與最值[典例3]已知函數(shù)f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在區(qū)間(－1，2)上不單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)．

[拓展變式]本例條件不變，求當(dāng)x∈[－1，2]時，f(x)的最大值G(t)．

【教師備選資源】已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

名師點評

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動．無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論．[跟進訓(xùn)練]3．(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，若f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為____________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．(1)(－∞，1)

[由題意得x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]