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2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.考試要求1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念:對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使___________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).一、知識(shí)梳理2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有_______________,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間__________內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得___________,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.3.二分法對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且_______________的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間____________,使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).2.連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).3.若周期函數(shù)有零點(diǎn),則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).常用結(jié)論例1

(1)(2024·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)第四次月考)函數(shù)f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(0,1)

B.(1,2)C.(2,3)

D.(3,4)考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定C

二、題型精講D

確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.反思感悟訓(xùn)練1

(1)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(1,2)

B.(2,3)C.(3,4)

D.(4,5)B

B由題意得,f(x)=lnx+2x-6在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,f(3)=ln3+6-6=ln3>0,則f(2)f(3)<0,∴零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上.(2)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

)A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)A

A函數(shù)y=f(x)是開口向上的二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn),由于a<b<c,則a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)·(c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在區(qū)間(a,b)和區(qū)間(b,c)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).(3)函數(shù)f(x)=log2

x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(0,1)

B.(1,2)C.(2,3)

D.(3,4)B

B函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)<0,故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),且在區(qū)間(1,2)內(nèi).(4)已知方程的解在內(nèi),則k=()A.0B.1C.2D.3構(gòu)建,因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增,故在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),∴僅在內(nèi)存在零點(diǎn),即方程的解僅在內(nèi),故k=1

.A.5

B.4C.3

D.2考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定D

C

令g(x)≥0,解得x≤150,畫出y=|f(x)|與y=g(x)的部分圖象如圖所示.求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少個(gè)解,則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn).(2)定理法:利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3)圖象法:一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).反思感悟(

)A.0

B.1C.2

D.3C

C令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,則函數(shù)y=f(x)-2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=2|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=2|x|的圖象如圖所示,由圖象可知,兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,故函數(shù)y=f(x)-2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.2

B.3C.4

D.5B

B由2sinx-sin2x=0,得sinx=0或cosx=1.又x∈[0,2π],由sinx=0,得x=0,π,2π.由cosx=1,得x=0,2π.∴f(x)=0有三個(gè)實(shí)根0,π,2π,即f(x)在[0,2π]上有三個(gè)零點(diǎn).(3)函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.3

B.2C.1

D.0C

C

A.5 B.4 C.3 D.2當(dāng)x≤0時(shí),x2-1=0,解得x=-1;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-2+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,并且f(1)=1-2+ln1=-1<0,f(2)=2-2+ln2=ln2>0,即f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn),綜上,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(5)(2023·三明模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x-2)=f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-log7|x|,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.6 B.8 C.12 D.14依題意可知,函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x-2)=f(x),所以f(x)=f(-x)=f(-x-2)=f(x+2),即函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù),令g(x)=f(x)-log7|x|=0,即f(x)=log7|x|,在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y=f(x)和y=log7|x|的圖象,如圖所示.由圖象可知,兩函數(shù)圖象共有12個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)g(x)共有12個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用考向1根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)當(dāng)x>a時(shí),f(x)=2x-3單調(diào)遞增,當(dāng)-1<x≤a時(shí),f(x)=log2(x+1)單調(diào)遞增.由題意,若存在實(shí)數(shù)t使得g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即存在實(shí)數(shù)t,使得方程f(x)=-t有兩個(gè)不相等的根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-t有兩個(gè)交點(diǎn),所以當(dāng)點(diǎn)P(a,log2(a+1))在點(diǎn)Q(a,2a-3)上方,即log2(a+1)>2a-3時(shí),符合題意.因?yàn)閘og2(2+1)>22-3=1,log2(3+1)<23-3=5,結(jié)合y=2x-3與y=log2(x+1)的圖象可得正整數(shù)a的最大值為2.答案:2考向2根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)范圍求參數(shù)答案:(-10,0)1.根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù):(1)直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)問題加以解決.2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題,需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.反思感悟訓(xùn)練3

(1)已知關(guān)于x的方程ax+6=2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A

A根據(jù)題意可得ax=2x-6,故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax和y=2x-6的圖象在x∈(1,2)時(shí)有交點(diǎn),如圖所示,易知y=2x-6的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為(1,-4)和(2,-2),當(dāng)y=ax過點(diǎn)(1,-4)時(shí)a=-4,當(dāng)y=ax過點(diǎn)(2,-2)時(shí)a=-1,所以a的取值范圍是(-4,-1).(2)(2024·安康第一次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=kex-x2+3有三個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍為(

)A

法二:當(dāng)k=0時(shí),f(x)=-x2+3,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意,排除B和D;當(dāng)k=-1時(shí),f(x)=-ex-x2+3,因?yàn)閥=-ex+3與y=x2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意,排除C,故選A.(3)若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=1,若在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1.答案:(-8,1]1.(2023·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=lnx+2x-5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)√由于y=lnx,y=2x-5在(0,+∞)上都單調(diào)遞增,故函數(shù)

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