天津市和平區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

和平區(qū)2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時(shí)間100分鐘.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2．本卷共9小題，每小題3分，共27分.一．選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知全集，集合，集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用并集和補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以，所以．故選：D.2.已知為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.詳解】由，即，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立，由可以推出，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.

故選：B3.設(shè)某中學(xué)的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（），用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.與具有正線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心C.若該中學(xué)某女生身高為，則可斷定其體重必為D.若該中學(xué)某女生身高增加，則其體重約增加【答案】C【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程一一判斷即可.【詳解】因?yàn)榛貧w直線方程為，所以與具有正線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；又回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故B正確；當(dāng)時(shí)，即若該中學(xué)某女生身高為，則其體重約為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榛貧w直線方程為，所以若該中學(xué)某女生身高增加，則其體重約增加，故D正確；故選：C4.為考察一種新藥預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）0.0250.0100.00500015.026.6357.87910.828A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物有效”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物無(wú)效”C.有99.99%以上的把握認(rèn)為“藥物有效”D.有99.99%以上的把握認(rèn)為“藥物無(wú)效”【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與參考值比較，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，即可判斷；【詳解】因?yàn)椋?，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“藥物有效”或有99.9%以上的把握認(rèn)為“藥物有效”．故選：A．5.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，由函數(shù)的奇偶性及在部分區(qū)間上函數(shù)值的正負(fù)、變化情況判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A；當(dāng)時(shí)，，，即，當(dāng)時(shí)，，，即，排除C；而當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，趨近于0，排除D，選項(xiàng)B符合題意.故選：B6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，又，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B7.五一國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動(dòng)，我快樂(lè)”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等6名同學(xué)參加，抽簽確定出場(chǎng)順序，在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”的條件下，學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，根據(jù)倍縮法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)的種數(shù)，得出，再根據(jù)捆綁法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)且甲、乙相鄰出場(chǎng)的種數(shù)，求出，根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場(chǎng)”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)”為事件，依題意共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場(chǎng)的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場(chǎng)順序一定，且相鄰出場(chǎng)的情況共有種，所以，則，故選：B．8.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由在上有解得的范圍．轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最最小值．【詳解】因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)有解，而當(dāng)時(shí)，，（此時(shí)），所以，所以的取值范圍是.故選：B.9.已知函數(shù)若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可確定的取值.【詳解】恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于，所以恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，在直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象如圖：要使有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故選：D第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共11小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）10.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則______．【答案】##【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再求的值，最后求的值.【詳解】由題得令得，，所以.故答案為：.11.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所?故答案為：12.若隨機(jī)變量，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，解得，所以.故答案為：.13.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，令，解得，再代入計(jì)算可得.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：，（且），令，得，可得，即展開式的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.14.已知，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，代入利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】∵，∴且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.15.用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_________個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】312【解析】【分析】分兩種情況，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)公式求解.【詳解】偶數(shù)包含2，4，6，奇數(shù)包含1，3，5，7，1.若四位數(shù)沒(méi)有偶數(shù)，則都是奇數(shù)，有個(gè)；2.若四位數(shù)有一個(gè)偶數(shù)，三個(gè)奇數(shù)，有個(gè)，綜上可知，共有個(gè).故答案為：312三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.17.宿州號(hào)稱“中國(guó)云都”，擁有華東最大的云計(jì)算數(shù)據(jù)中心、CG動(dòng)畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟(jì)南之后的全國(guó)第5家量子通信節(jié)點(diǎn)城市．為了統(tǒng)計(jì)智算中心的算力，先從全市n個(gè)大型機(jī)房和5個(gè)小型機(jī)房中隨機(jī)抽取若干機(jī)房進(jìn)行算力分析，若一次抽取2個(gè)機(jī)房，全是小型機(jī)房的概率為．（1）求n的值；（2）若一次抽取3個(gè)機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）.（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可得關(guān)于的方程，求出其解可得的值.（2）利用超幾何分布可求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為“一次抽取2個(gè)機(jī)房，全小型機(jī)房”，則，故或（舍）.【小問(wèn)2詳解】可取，，，，，故的分布列如下：0123故.18.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極大值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應(yīng)的值．【答案】（1）（2）或時(shí)，當(dāng)時(shí)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值，再計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，依題意，即，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，則，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，，，，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí).19.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由和可求得，驗(yàn)證可知滿足題意，由此可得解析式；（2）任取，由可得結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】為定義在上的奇函數(shù)，，解得：，，解得：；當(dāng)，時(shí)，，，滿足為奇函數(shù)；綜上所述：.【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞增；證明如下：任取，；，，，，，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】為定義在上的奇函數(shù)，由得：，又在上單調(diào)遞增，，解得：，不等式的解集為.20.已知函數(shù)；（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)，且時(shí)，．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分、、、四種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)性，即可得到證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，所以，所以切線方程為.小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在