專題強(qiáng)化四 空間幾何體外接球和內(nèi)接球解題技巧-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題強(qiáng)化四：空間幾何體外接球和內(nèi)接球解題技巧技巧歸納1．多面體與球接、切問(wèn)題求解策略(1)截面法：過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．(2)補(bǔ)形法：“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論(1)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心．(4)球(半徑為R)與正方體(棱長(zhǎng)為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R＝a；二是球與正方體的十二條棱相切，此時(shí)2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方體，此時(shí)2R＝eq\r(3)a.專題訓(xùn)練一、單選題1．正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是（

）A． B．3 C． D．2．體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐是陽(yáng)馬，PA=5，AB=3，BC=4，則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為（

）A． B．50π C．100π D．4．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角．則四面體外接球的體積為（

）A． B．C． D．5．過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離是球半徑的一半，且則球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（

）．A． B． C． D．7．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．8．正三棱錐的底面是面積為的正三角形，高為，則其內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．9．已知平面四邊形ABCD中，，現(xiàn)沿BD進(jìn)行翻折，使得A到達(dá)的位置，連接，此時(shí)二面角為150°，則四面體外接球的半徑為（

）A． B． C． D．10．現(xiàn)有一個(gè)側(cè)面展開(kāi)圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個(gè)小球，當(dāng)小球體積最大時(shí)，該圓錐與小球的體積之比是（

）A． B． C． D．11．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．12．已知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，且平面平面BCD，該三棱錐外接球的表面積為(

)A． B． C． D．13．在正方體中，O為底面的中心，E為的中點(diǎn)，若該正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．平面BDEB．平面C．平面平面D．三棱錐的外接球體積為14．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．15．如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，則該“鞠”的表面積為（

）A．cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．29cm216．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（

）A． B．24 C． D．17．如圖，在正四棱臺(tái)中，，，若半徑為的球與該正四棱臺(tái)的各個(gè)面均相切，該球的表面積（

）A． B． C． D．二、填空題18．半徑為的球面上有，，，四點(diǎn)，且直線，，兩兩垂直，若，，的面積之和為72，則此球體積的最小值為_(kāi)_____．19．用半徑為1的半圓形紙板卷成一個(gè)圓錐筒，則該圓錐筒內(nèi)切球的體積是______.20．如圖所示的多面體是由一個(gè)正方體沿著各棱的中點(diǎn)截去八個(gè)三棱錐后剩下的部分，這個(gè)多面體的各棱長(zhǎng)均為2，則該多面體外接球的表面積為_(kāi)__________.21．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中記載的鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的四面體．如圖所示的為一個(gè)鱉臑的正視圖和側(cè)視圖，已知為直角三角形，且D為BC的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，若此鱉臑的體積為，則其外接球的體積為_(kāi)_____．22．已知直四棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，直四棱柱的體積為，則球的半徑為_(kāi)__________.23．在我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在塹堵中，，，鱉臑的體積為，若，則陽(yáng)馬外接球的表面積為_(kāi)_______．24．已知點(diǎn)M，N，P，Q在同一個(gè)球面上，，，，若四面體MNPQ體積的最大值為10，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)_____________.25．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》把上下兩個(gè)面平行且均為矩形的六面體稱為芻童，已知芻童ABCD—中四邊形?四邊形及四邊形都是正方形，，則芻童ABCD—外接球的表面積為_(kāi)__________.26．如圖，在四棱錐中，ABCD為矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在AD上，當(dāng)取得最小值時(shí)，，則此時(shí)四棱錐的外接球面積為_(kāi)_____．27．如圖，等腰與矩形所在平面垂直，且，則四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．28．已知長(zhǎng)方體，，點(diǎn)P為空間一點(diǎn)，滿足，，則四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．參考答案：1．B【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則其外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，所以正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是.故選：B2．C【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則該正方體的體積為，該正方體外接球的直徑為，所以，，所以，該球的體積為.故選：C.3．B【解析】【分析】連接AC，BD，交于，取PC中點(diǎn)O，連接，則可證明平面ABCD，即O為該四棱錐的外接球的球心，在中，求得PC的值，進(jìn)而可求得外接球半徑R，代入公式，即可求得答案.【詳解】連接AC，BD，交于，取PC中點(diǎn)O，連接，如圖所示因?yàn)榉謩e為PC，AC的中點(diǎn)，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O(shè)到A,B,C,D的距離都相等，又，所以O(shè)為該四棱錐的外接球的球心，在中，，，所以，所以該四棱錐的外接球的半徑，所以該陽(yáng)馬的外接球的表面積.故選：B4．C【解析】【分析】根據(jù)題中線面位置關(guān)系，可以確定四面體的外接球球心為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求解出外接球的半徑，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算體積，即可求解.【詳解】由題意，在四棱錐中，平面，可得即為直線與平面所成的角，所以，所以為等腰直角三角形，故，在中，可得，又由，，，，可得，所以，可得，取的中點(diǎn)，可得，即外接球的半徑為，所以四面體外接球的體積為.故選：C.5．D【解析】【分析】由，求得的外接圓半徑為，再由，求得球的半徑，即可求解球的體積．【詳解】因?yàn)椋缘耐饨訄A半徑為．設(shè)球半徑為，則，所以，．故選：D．6．C【解析】【分析】求出球心到底面ABC的距離和球的半徑，從而確定三棱錐的高的最大值為3，利用椎體體積公式求出體積的最大值.【詳解】球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．7．A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，則由題意可得，從而可求得，作出軸截面如圖，利用與相似可求出，從而可求出圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，其軸截面如圖所示，設(shè)為內(nèi)切球球心，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以，得，即，所以，所以，因?yàn)椤?，所?所以，得，所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為，故選：A8．D【解析】【分析】利用等體積法來(lái)求內(nèi)切球半徑，可先畫(huà)出正三棱錐的圖形，由底面積和高可得正三棱錐體積，根據(jù)正三角形性質(zhì)可知邊長(zhǎng)，結(jié)合高可得側(cè)面三角形的高，即可得到正三棱錐表面積，再由得到，進(jìn)而求解.【詳解】如圖，為底面正三角形的中心，平面，，則正三棱錐的體積為，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，所以，則，所以，，所以，所以正三棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故選：D9．C【解析】【分析】取BD的中點(diǎn)E，連接，，依題意可得即為二面角的平面角且，即可外接圓的圓心為，設(shè)外接圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)，分別作平面，平面的垂線，交于點(diǎn)，則即為四面體外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可.【詳解】解：取BD的中點(diǎn)E，連接，，因?yàn)榧?，所以，，即為二面角的平面角，且，所以外接圓的圓心為，設(shè)外接圓的圓心為，則，過(guò)點(diǎn)，分別作平面，平面的垂線，交于點(diǎn)，則即為四面體外接球的球心.因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，即，則.在中，，連接，則即為外接球的半徑，則，即，故選：C.10．A【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，求得母線與底面半徑的關(guān)系，利用當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時(shí)，小球體積最大，求得小球的半徑，可得答案.【詳解】由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，設(shè)圓錐母線為l，底面半徑為R，則，所以，可知圓錐軸截面為正三角形，圓錐高為,又由當(dāng)小球是圓錐的內(nèi)切球時(shí)，小球體積最大，軸截面如圖示：設(shè)此時(shí)小球半徑為r，則有，即，故，，所以，故選：A11．C【解析】【分析】畫(huà)出該幾何體的直觀圖后，再去求該幾何體外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】依據(jù)題給三視圖，可得該幾何體直觀圖如下設(shè)M為BD中點(diǎn)，則，，，，平面平面由，，可知為直角三角形，又由平面平面，可知三棱錐外接球球心位于直線上，設(shè)三棱錐外接球半徑為R，則，解之得則三棱錐外接球的表面積為故選：C12．B【解析】【分析】可將三棱錐D－ABC補(bǔ)為正三棱柱，根據(jù)正三棱柱外接球求法即可得結(jié)果．【詳解】如圖，根據(jù)幾何關(guān)系，可將三棱錐D－ABC補(bǔ)為正三棱柱ABC－EFD，則三棱錐的外接球?yàn)樵撜庵耐饨忧?，設(shè)、分別為該正三棱柱上、下底面外接圓圓心，則外接球球心為中點(diǎn)O，根據(jù)正弦定理得等邊三角形EFD外接圓半徑，則外接球半徑，則外接球表面積為．故選：B．13．B【解析】【分析】作圖，由可判斷A；根據(jù)為等腰三角形和勾股定理可證明平面，然后可判斷B；由平面可判斷C；由墻腳型可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體可得外接球半徑，然后可判斷D.【詳解】解：如圖，對(duì)于A選項(xiàng)，易知．從而平面BDE，所以O(shè)C不可能與平面BDE平行，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，易知，所以．又，，，故，．所以平面．而，所以平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知平面，而AD與平面BDE相交，所以平面BDE不可能與平面垂直，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則，從而，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B14．A【解析】【分析】球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，且均為圓弧，分別求其長(zhǎng)度可得結(jié)果.【詳解】如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面面和面上；另一類在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面、面和面上.在面上，交線為弧且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)?，則,同理，所以，故弧EF的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條.在面上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為,，所以弧FG的長(zhǎng)為,這樣的弧也有三條.于是，所得的曲線長(zhǎng)為故選：A.15．D【解析】【分析】由于，所以可以把四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“鞠”的直徑，求出體對(duì)角線長(zhǎng)，從而可求出該“鞠”的表面積【詳解】因?yàn)椤熬稀北砻嫔系乃膫€(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足cm，cm，cm，所以可以把四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是“鞠”的直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，“鞠”的半徑為，則，由題意得,所以，即，所以該“鞠”的表面積為，故選：D16．C【解析】【分析】由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑的方程，解方程求得，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：.如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心在上，連接，，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，則，，即，解得：，圓錐的外接球的表面積為.故選：C.17．C【解析】【分析】作正棱臺(tái)的軸截面.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，利用勾股定理得到，解得，從而可求出該球的表面積.【詳解】如圖，作該正棱臺(tái)的軸截面.其中E，F(xiàn)，M，N分別是AB，CD，，的中點(diǎn)，H，K是MN，EF的中點(diǎn)，G是內(nèi)切球的球心，H，K是內(nèi)切球和上、下底面的切點(diǎn)，Q是內(nèi)切球和側(cè)面的切點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，由正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)可以得到，，，，易得，，，，，且，所以，即，解得，從而可知該球的表面積.故選：C.18．【解析】【分析】設(shè)，，，則有，以、、為鄰邊可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，此時(shí)可知，然后由可得答案.【詳解】設(shè)，，，則有，以、、為鄰邊可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，此時(shí)可知．由可得所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴此球體積的最小值為．故答案為：19．【解析】【分析】根據(jù)題意得圓錐的母線長(zhǎng)是1，根據(jù)半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，得到圓錐底面的半徑，再利用軸截面的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)乘以三角形內(nèi)切圓半徑的一半，求得圓錐內(nèi)切球的半徑，利用球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】圓錐筒的母線長(zhǎng)是1.設(shè)圓錐筒的底面半徑是，內(nèi)切球的半徑是，則，.由，.故該圓錐筒內(nèi)切球的體積是，故答案為：.20．【解析】【分析】把該多面體補(bǔ)形為正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的中心即為多面體的外接球球心，求得球心到多面體頂點(diǎn)的距離即為所求外接球的半徑，由球體的表面積公式可求得答案.【詳解】解：把該多面體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示，則正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的中心即為多面體的外接球球心，球心到多面體頂點(diǎn)的距離為，∴所求外接球的半徑，其表面積.故答案為：.21．【解析】【分析】先畫(huà)出鱉臑的直觀圖，再依據(jù)該直觀圖的結(jié)構(gòu)特征求得其外接球的半徑，進(jìn)而求得其外接球的體積.【詳解】由正視圖和側(cè)視圖可知該鱉臑的直觀圖如圖所示，，Q為ON的中點(diǎn)，，平面OMN設(shè)，則，，，．所以該鱉臑的體積為．由，得．因?yàn)槠渫饨忧虻闹睆綖?，所以外接球的體積為．故答案為：22．【解析】【分析】首先利用余弦定理求出，從而得到，即可求出底面四邊形的面積，再根據(jù)柱體的體積公式求出直四棱柱的高，再求出底面四邊形外接圓的半徑，最后根據(jù)外接球的半徑計(jì)算可得；【詳解】解：如圖，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，由于，，，四點(diǎn)共圓，所以，又可知為等邊三角形，則.而直四棱柱的體積為，故直四棱柱的高.又四邊形外接圓半徑，故球的半徑為.故答案為：23．【解析】【分析】陽(yáng)馬(四棱錐)所在的三棱柱為直三棱柱，則兩個(gè)幾何體的外接球是同一個(gè)球，則求直三棱柱外接球半徑即可.由等體積法得出三棱錐的體積為2，并由此求出直三棱柱的高，根據(jù)幾何關(guān)系找到外接球球心，求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】陽(yáng)馬(四棱錐)所在的三棱柱為直三棱柱，則兩個(gè)幾何體的外接球是同一個(gè)球．由于三棱錐與三棱錐等底同高，∴這兩個(gè)三棱錐的體積相等，即三棱錐的體積為2．，，△的面積為，∴，如圖，分別為直三棱柱上下底面外接圓圓心，則中點(diǎn)O為外接球球心，OB即為外接球半徑R，Rt的外接圓半徑為，則，∴陽(yáng)馬外接球的表面積為．故答案為：．24．【解析】【分析】由三個(gè)邊長(zhǎng)可知，垂直，可知球心的位置在過(guò)中點(diǎn)與面垂直的直線上，作出圖形，利用直角三角形得到關(guān)于半徑的方程，即可得解．【詳解】設(shè)四面體外接球半徑為,由題意，，，，故,故，則球心在過(guò)中點(diǎn)與面垂直的直線上，當(dāng)四面體MNPQ體積的最大值時(shí)，可知其高恰好過(guò)球心，如圖：由四面體的最大體積為10，即,可得，在△中，，，得，該球