新教材高中數(shù)學(xué)集合與常用邏輯術(shù)語集合的概念教學(xué)案新人教A版必修第一冊

1.1集合的概念

(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題,

能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合.

教學(xué)重點(diǎn)：1.集合概念的正確理解.2.元素的三性(確定性、互異性、無序性).3.元素與

集合關(guān)系的判定.4.集合常用的兩種表示方法(列舉法、描述法).

教學(xué)難點(diǎn)：L對元素的確定性的理解.2.描述法表示集合.

【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】

知識(shí)點(diǎn)一集合與元素的定義

元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element).

集合：把一些元素組成的里總他叫做集合(set)(簡稱為集).

表示：通常用大寫拉丁字母/,B,G…表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,…表示集

合中的元素.

知識(shí)點(diǎn)二集合中元素的三個(gè)特性

(1)確定性：

(2)互異性;

(3)無序性.

知識(shí)點(diǎn)三元素與集合的關(guān)系

(1)“屬于"：如果a是集合4的元素，就說a屬于集合4記作批ae4

(2)“不屬于"：如果a不是集合力中的元素，就說a不屬于集合兒記作里里.

知識(shí)點(diǎn)四幾個(gè)常用數(shù)集的固定字母表示

知識(shí)點(diǎn)五集合的表示方法

集合常見的表示方法有：一自然語言、.列舉法、因描述法.

(1)自然語言：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?使用此方法時(shí)，只要敘述清楚即可，

如由所有正方形構(gòu)成的集合，就是用自然語言表示的，不能敘述成“正方形”.再如全體實(shí)

數(shù)組成的集合，或?qū)崝?shù)集等.

(2)列舉法：把集合的所有元素絲一一列舉出來,并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的

方法叫做列舉法.

(3)描述法：一般地，設(shè)1是一個(gè)集合，我們把集合/中所有具有共同特征/(X)的元素x

所組成的集合表示為首P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

知識(shí)點(diǎn)六集合的分類

(1)有限集；

(2)無限集.

【新知拓展】

1.元素和集合關(guān)系的判斷

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即

可.此時(shí)應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.

(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有

的特征即可.此時(shí)應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件.

2.集合的三個(gè)特性

(1)描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的

“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣都只是描述性的說明.

(2)整體性：集合是一個(gè)整體，暗含''所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一

旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對象的總體.

(3)廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物，甚

至一個(gè)集合也可以是某集合的一個(gè)元素.

3.使用列舉法表示集合時(shí)需注意的幾點(diǎn)

(D元素之間用“，”隔開；

(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；

(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；

(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須

把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號(hào).

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打"X")

(1)某校高一年級(jí)16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合.()

(2)已知力是一個(gè)確定的集合，a是任一元素，要么要么展4,二者必居其一且只

具其一.()

(3)對于數(shù)集/=｛1,2,x｝,若則x=0.()

(4)集合3y=V,xGR｝與集合｛s|s=/,tGR｝的元素完全相同.()

答案⑴V(2)J(3)X(4)V

2.做一做

(1)下列所給的對象能組成集合的是()

A.“金磚國家”成員國B.接近1的數(shù)

C.著名的科學(xué)家D.漂亮的鮮花

(2)用適當(dāng)?shù)姆?hào)(e,時(shí)填空:

00,0{0},0N,

-2N*,tZ,木—Q,

nR.

答案(1)A(2)莊GG莊莊莊G

題型一正確理解描述法中元素的“代表符號(hào)”

例1分析下列集合中的元素是什么？

4=3尸￥｝,6=｛ygf｝,「=｛（*,y）.

［解］三個(gè)集合都是用描述法表示的.對于集合4其中的元素是x,根據(jù)uy=xn,這

里的x并沒有什么限制，即x可以是任意實(shí)數(shù)，即集合4是由所有實(shí)數(shù)組成的集合，即實(shí)數(shù)

集.對于集合6,其中的元素是片這里的x沒有任何限制，即x可以是任意實(shí)數(shù)，但是通過

“y=f"，元素y有了限制：實(shí)數(shù)的平方，從而6中的元素是非負(fù)實(shí)數(shù).對于集合G從元

素的代表符號(hào)“（x,力”可以看出，其中的元素是有序?qū)崝?shù)對，這些數(shù)對的第一個(gè)數(shù)x沒有

限制，第二個(gè)數(shù)y受條件“y=x?”的限制，因此。中的元素是有序?qū)崝?shù)對，且數(shù)對的第一個(gè)

數(shù)取任意實(shí)數(shù)，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方（從幾何角度講，（x,y）就是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),

從而C中的元素就是拋物線上的點(diǎn)）.

金版點(diǎn)睛

使用描述法表示集合時(shí)要注意：①寫清該集合中元素的代表符號(hào)，如｛XGR|X>1｝不能寫

成5>1｝；②用簡明、準(zhǔn)確的語言進(jìn)行描述，如方程、不等式、幾何圖形等；③不能出現(xiàn)未被

說明的字母，如｛xdZ|x=2〃｝中加未被說明，故此集合中的元素是不確定的；④所有描述的

內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi)，如“｛xCZ|x=2屈，/GN*”不符合要求，應(yīng)將“RGN*”寫進(jìn)“｛｝”

中，即｛xGZ|x=2勿，勿GN*｝；⑤元素的取值（或變化）范圍，從上下文的關(guān)系來看，若xGR是

明確的，則xCR可省略不寫，如集合〃=｛xGR【x<10｝也可表示為〃=｛x|x〈10｝；⑥多層描述

時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語，如“｛xiK—1或x>l｝”等.

［跟蹤訓(xùn)練1］試分析集合｛（x,y）|y=x+l｝的元素，并能從幾何角度解釋這個(gè)集合.

解集合中的元素是有序?qū)崝?shù)對，且第二個(gè)實(shí)數(shù)等于第一個(gè)實(shí)數(shù)加1.

從幾何角度：該集合就是一次函數(shù)尸x+1的圖象，即直線y=x+l.

題型二判斷元素與集合的關(guān)系

例2已知集合力={x|才=H+〃?斕，m,〃WZ}.

（1）判斷0,（1+V2）2,與力的關(guān)系；

（2）若汨，照￡力，試探究ME,小+矛2與力的關(guān)系.

［解］⑴易知0=0+0X*,且0WZ,

所以0G4

因?yàn)椋?+/+=3+2班,且3,2WZ,

所以（1+m）2G4

因?yàn)閁F正茄%H+當(dāng)

*巽，所叼/4

（2）因?yàn)殂?，X2^Af所以可設(shè)矛1=如+鏡〃1,汝=破+也小，且如，〃i,nh,ngZ,

所以X\X2=（砌+啦〃i）（德+$加=血血+鏡（版〃i+加1加+2〃也=（0您+2〃i加+班（以刀1

+面〃2）.因?yàn)槔?龍+2/?imeZ,nknx+nhn-z^Z,所以汨照￡4

因?yàn)檐?及=（勿i+/）（m+〃2）,0+/%￡Z,〃I+〃2￡Z,所以M+X2￡/.

金版點(diǎn)睛

該問題是判斷所給的元素是否具有集合A中元素的特征，用自然語言理解為：所給元素

是否能寫成“整數(shù)+整數(shù)的貶倍”的形式.可以看出，問題的實(shí)質(zhì)是正確解讀集合的表示方法

（描述法）.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知集合4=xezU—ez，試判斷一2,2與{的關(guān)系.

解解法一：易知4={-3,0,1,2,4,5,6,9},

所以一2陣力,2w4

解法二：當(dāng)x=-20寸，4=%Z,所以一2陣4

3—x5

6

當(dāng)x=2時(shí)，xWZ且;;一=6SZ,所以2G/1.

3—x

題型三含參問題探究

例3集合/f=34f—8x+16=0},若集合力只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)4的值，并用列

舉法表示集合A.

［解］①當(dāng)衣=0時(shí)，原方程為16-8x=0,

：.x=2,此時(shí)/={2}.

②當(dāng)20時(shí)，若集合/中只有一個(gè)元素，

則方程收-8*+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根.

即4=64—64%=0,即一=1,

從而小=及=4,

集合/={4}.

綜上所述，實(shí)數(shù)％的值為。或1.當(dāng)4=0時(shí)，/={2}；

當(dāng)k=1時(shí),A={4}.

金版點(diǎn)睛

對于含參問題，隨著參數(shù)值的變化，問題的解發(fā)生變化，所以這類問題往往需要分類討

論.通過分類，把復(fù)雜的問題簡單化，從而蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

［跟蹤訓(xùn)練3］把本例條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，求實(shí)數(shù)4的取值范圍

的集合.

解由題意可知方程在f—8x+16=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.

發(fā)0,

解得k<\且k于0.

/=64-644>0,

???實(shí)數(shù)4的取值范圍的集合為{用在<1且*#0}.

題型四集合中的新定義問題

例4已知集合力={1,2,4},則集合8={（x,y）\x^A,⑷中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.6

C.8D.9

［解析］根據(jù)已知條件，列表如下：

由上表可知，8中的元素有9個(gè)，故選D.

［答案］D

金版點(diǎn)睛

本例借助表格語言，運(yùn)用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達(dá)問題清晰，明了；

列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，此方

法通常配合圖表（含樹形圖）使用.

［跟蹤訓(xùn)練4］定義4*6={z|z=xy,xG/,y6臍，設(shè)4={1,2},B—{0,2},則集合4*8

中的所有元素之和為（）

A.0B.2

C.3D.6

答案D

解析根據(jù)已知條件，列表如下：

根據(jù)集合中元素的互異性，可由上表知4*6={0,2,4},故其中所有元素之和為0+2+4

=6,故選D.

1.下列所給的對象不能組成集合的是（）

A.我國古代的四大發(fā)明

B.二元一次方程”+尸1的解

C.某班年齡較小的同學(xué)

D.平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)

答案C

解析C項(xiàng)中“年齡較小的同學(xué)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，故選C.

2.已知集合［含有三個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)aS4時(shí)，有6—?jiǎng)t@為（）

A.2B.2或4

C.4D.0

答案B

解析集合力中含有三個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)aC4有6—當(dāng)a=2G4時(shí)，6-a=4

...a=2；當(dāng)a=464時(shí)，6—a=2W4,.'.a—4；