數(shù)學(xué)：第二章《平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)》教案

人教A版數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之

一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景和深刻的幾何

背景，是解決幾何問(wèn)題的有力工具.在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用.在本單元中，學(xué)生

將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量

語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)及物理中的一些問(wèn)題.發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

1.本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍

(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等

的含義，理解向量的幾何表示。

(2)向量的線性運(yùn)算

①通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。

②通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線

的含義。

③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。

(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

①了解平面向量的基本定理及其意義。

②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。

④理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

(4)平面向量的數(shù)量積

①通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直

關(guān)系。

(5)向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的

過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決

實(shí)際問(wèn)題的能力。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下:

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程安排內(nèi)容

向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來(lái)引進(jìn)的新內(nèi)容，為了保證其科學(xué)性，同時(shí)又易于被學(xué)生接受,

根據(jù)向量知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和學(xué)生的思維規(guī)律，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)向量?jī)?nèi)容的定位，并考慮到學(xué)

生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，本章按照如下次序來(lái)編排:

向量的實(shí)際背景及基本概念一向量的線性運(yùn)算一平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一向量的

數(shù)量積一向量應(yīng)用舉例.

課標(biāo)要求的具體化和深廣度分析

①平面向量的實(shí)際背景及基本概念

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

通過(guò)力和理解向量的概念，掌握

如：用向量a表示向東走了6km,則-a表示

力的分析等實(shí)向量的幾何表示，了解

例，了解向量共線向量

的實(shí)際背景，一輛汽車從A地出發(fā)向西行駛了lOOkw,到

理解平面向量達(dá)B地，可以用向量a表示，那么從B地出發(fā)至UA

和向量相等的達(dá)地應(yīng)如何表示？

含義，理解向向量a,6都是非零向量，下面說(shuō)法不正確的

量的幾何表是（）

示.（A）向量a與6反向，則向量a+6與向量a

的方向可能相同

（B）向量a與6反向，則向量a+6與向量6

的方向可能相同

（C）向量a與6反向，且,卜忖，則向量a+b

與向量a的方向可能相同

（D）向量a與6反向，且,|<W，則向量a+6

與向量a的方向可能相同

②向量的線性運(yùn)算

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①通過(guò)實(shí)例，①如：若向量a表示向東走了2協(xié)?，6表示向南①掌握向量的加法與

掌握向量加、走了Tkm,則a-b表示.減法，并理解其幾何意

減法的運(yùn)算，已知下列各式義.

并理解其幾何②掌握實(shí)數(shù)與向量的

@AB+BC+CA；

意義.積的運(yùn)算，理解兩個(gè)向

②通過(guò)實(shí)例，量共線的充要條件.

@AB+MB+BO+OM,

掌握向量數(shù)乘③會(huì)進(jìn)行向量的線性

的運(yùn)算，并理運(yùn)算.

?OA+OB+BO+CO,

解其幾何意

義，以及兩個(gè)

@AB-AC+BD-CD-,

向量共線的含

義.其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()

③了解向量的(A)1(B)2(C)3(D)4

線性運(yùn)算性質(zhì)

②已知向量a,滿足

及其幾何意

義.

BC=—5a+66,CD-la—2b,則一定共線的三

點(diǎn)是()

(A)A,B,D(B)A,B,C

(C)B,C,D(D)A,C,D

③如：在AABC中，D,尸分別是1C的中點(diǎn),

BF與CD交于0,設(shè)AB-a,AC-b,用a,b

表示向量X。.

③平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①了解平面向①如：某人在靜水中游泳，速度為每小時(shí)3如?，①了解平面向量的基

量的基本定理水流的速度為每小時(shí)4km,如果他要垂直游到對(duì)本定理

及其意義.岸，則他的實(shí)際速度是多少？②理解平面向量的坐

②掌握平面向②如：已知平行四邊形/版的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別標(biāo)的概念

量的正交分解為A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),則頂點(diǎn)D③掌握平面向量的坐

及其坐標(biāo)表的坐標(biāo)為.標(biāo)運(yùn)算

示.④理解兩個(gè)向量共線

③如：已知4(0,1),8(3,-4)且點(diǎn)。在乙4。8的

③會(huì)用坐標(biāo)表的充要條件

示平面向量的平分線上,若|。。|=2,則向量反=

加、減與數(shù)乘

運(yùn)算.

④己知向量)=(%/2),而=(4,5),

④理解用坐標(biāo)

表示的平面向

3=(一女,10)且A,B,。三點(diǎn)共線，則

量共線的條

件.k=

④平面向量的數(shù)量積

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①通過(guò)物理中①明確平面向量數(shù)量

①如：用兩根夾角為120。角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一

“功”等實(shí)積的定義、數(shù)學(xué)表達(dá)式

例，理解平面?zhèn)€燈具，若燈具的重量為10N,則每根繩子的拉及其幾何意義

向量數(shù)量積的力大小是.②明確向量6在向量a

含義及其物理的方向上的投影

②如：已知點(diǎn)A(知一1),6(2,2),C(—4,6),則

意義.③掌握數(shù)量枳的公式，

②體會(huì)平面向能進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算

而在衣上的投影的值為

量的數(shù)量積與④明確兩向量夾角的

向量投影的關(guān)③如：a=(-3,2),b=(-4,k),若(5a—6)意義，掌握兩向量垂直

系.?(3a-6)=55,求實(shí)數(shù)A的值.的充要條件，能用兩種

③掌握數(shù)量積形式表示向量垂直的

④如：兩單位向量a,6的夾角為60,則兩向量

的坐標(biāo)表達(dá)充要條件.

式，會(huì)進(jìn)行平尸2a+Z＞與干3a+2b的夾角為

面向量數(shù)量積換垂直的題

的運(yùn)算.

④能運(yùn)用數(shù)量

積表示兩個(gè)向

量的夾角，會(huì)

用數(shù)量積判斷

兩個(gè)平面向量

的垂直關(guān)系.

⑤向量的應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

經(jīng)歷用向量方掌握平面兩點(diǎn)間的距

如圖，在平行四邊形ABC。中，DE=-DC,

法解決某些簡(jiǎn)3離公式、掌握線段的

單的平面幾何AE與BD交于F,用向量的方法證明：定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)

問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)DF=、DB.公式、平移公式，并能

題與其他一些4熟練運(yùn)用，會(huì)用平面向

實(shí)際問(wèn)題的過(guò)_DEC量數(shù)量積處理長(zhǎng)度、角

程，體會(huì)向量實(shí)際問(wèn)題度等有關(guān)問(wèn)題

是一種處理幾........—如：一條河的兩岸平

何問(wèn)題、物理AB行，河的寬度為

問(wèn)題等的工0.4Am,一艘船從一岸邊的A處出發(fā)駛向?qū)Π?

具，發(fā)展運(yùn)算已知船速為同=5嗎，水速為同=3%%,

能力和解決實(shí)

際問(wèn)題的能欲使航行最短，則所用時(shí)間為一

力.

(2)本單元變化之處

①刪繁就簡(jiǎn)，降低了知識(shí)的難度

②調(diào)整章節(jié)，凸顯了知識(shí)的框架

③貼近生活，重視了知識(shí)的應(yīng)用

（3）人教B版向量一章的教材特點(diǎn)

強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位

向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長(zhǎng)度、

夾角的幾何問(wèn)題可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到解決.另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形

的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用

向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來(lái)表示.例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的

加法及其交換律（a+》=8+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形AB/7CD中，AD

〃BC,AB/7CD,絲ACB。）.這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)

系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有

機(jī)地聯(lián)系在一起.

幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來(lái)

代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這

些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)

結(jié)果.如果把解析幾何的方法簡(jiǎn)單地表述為

［形到數(shù)］一一［數(shù)的運(yùn)算］——［數(shù)到形］，

則向量方法可簡(jiǎn)單地表述為

［形到向量］一一［向量的運(yùn)算］一一［向量和數(shù)到形］.

教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解

決幾何問(wèn)題的“三步曲”.為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生

在解決具體問(wèn)題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納，同時(shí)還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限；如

果沒(méi)有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語(yǔ).

說(shuō)明：由于我們按照必修1,必修4的順序進(jìn)行教學(xué)，因此向量法這種解決問(wèn)題的方法就

顯得尤其重要，他為今后學(xué)習(xí)解析法奠定了基礎(chǔ)。

二、教學(xué)方式概述

人教B版教材對(duì)教師的教學(xué)方式，教師駕馭課堂的能力，教師把握教材的程度提出了更高的

要求。

講授啟發(fā)式、自主探究式

向量是以往高中課程中已經(jīng)出現(xiàn)的內(nèi)容，新課標(biāo)教材考慮的是通過(guò)改進(jìn)呈現(xiàn)方式，提供

直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、

演繹證明、反思與建構(gòu)等思維活動(dòng)的載體，達(dá)到體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育新理念，促使學(xué)生采取積極主

動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師改進(jìn)教學(xué)方式，可以提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生打好數(shù)

學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)思維能力.

1.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量?jī)?nèi)容

2.加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路

3.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)向量法的思想實(shí)質(zhì)

掌握向量法的“三步曲”：

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為向量問(wèn)題：

（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；

（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比

三、教學(xué)資源概述

教材、教參、多媒體或?qū)嵨锿队皟x、尺規(guī)

四、課時(shí)建議

本單元教學(xué)約需12課時(shí)

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本運(yùn)算2課時(shí)

2.2平面向量的線性運(yùn)算2課時(shí)

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時(shí)

2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)

2.5平面向量應(yīng)用舉例2課時(shí)

小結(jié)2課時(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計(jì)方案

第一學(xué)時(shí)?第二學(xué)時(shí)

2.1.1向量的概念

一.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.關(guān)于向量的概念

(1)了解向量產(chǎn)生的物理背景,理解共線向量,相等向量等概念,理解向量的幾何

表示；

(2)經(jīng)歷向量概念的形成過(guò)程,體會(huì)由實(shí)例引入概念的方法,并通過(guò)實(shí)例,體驗(yàn)用

向量表示點(diǎn)的位置的方法,培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

(3)通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作

用，培養(yǎng)學(xué)生觀察,類比聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和

鉆研精神.

2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算

(1)通過(guò)實(shí)例，掌握向量加法,減法，向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義；

(2)讓學(xué)生能由數(shù)的運(yùn)算律類比向量的運(yùn)算律，并結(jié)合圖形驗(yàn)證相關(guān)的運(yùn)算律,

強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程的認(rèn)識(shí),并正確表述探究的結(jié)果.

(3)通過(guò)學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算,初步學(xué)會(huì)用向量的方法解決幾何問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用

問(wèn)題.

二.重點(diǎn)難點(diǎn)

1.關(guān)于向量的概念

(1)重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念和向量的幾何表示；

(2)難點(diǎn)是對(duì)向量概念的理解；

2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算

(1)重點(diǎn)是向量的加法運(yùn)算，向量的減法運(yùn)算，向量的數(shù)乘運(yùn)算，法則的理解

及其幾何意義；

(2)難點(diǎn)是對(duì)減法定義的理解及正確運(yùn)用法則，運(yùn)算律進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，

并利用向量方法解決幾何問(wèn)題.

三.教學(xué)過(guò)程

教本環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

引入新課對(duì)向量全章的概念應(yīng)用讓學(xué)生了解大致

的介紹：通過(guò)對(duì)書(1)通過(guò)具體的內(nèi)容和小學(xué)習(xí)本

上章前話的解讀，例題1體會(huì)向量的章的重要性

讓學(xué)生體會(huì)向量的概念和幾何表示；

豐富實(shí)際背景，了通過(guò)例題2和例題

解向量的研究對(duì)象3鞏固向量的幾何

和研究方法，初步表示，相等，共線

了解向量與幾何代向量等概念

數(shù)之間的關(guān)系.

⑵概念引入與形

成

概念形成1從常見(jiàn)的物理量例1船向南航行

力，位移等了解它100海里和向西航

們的特征是既有大行100海里的位移

小又有方向的量，相等嗎選擇適當(dāng)

建立向量的認(rèn)知基的比例尺用有向

礎(chǔ)，自然引出向量線段表示這兩次

航行.

2荽比學(xué)生熟悉的

例2某人從點(diǎn)A出

數(shù)量如溫度，身高,發(fā)向西走200加到

體積,風(fēng)速，時(shí)間,達(dá)8點(diǎn)，然后朝西

通過(guò)比較，使學(xué)生

偏北方向走

在比較中加深對(duì)概45°

念的認(rèn)識(shí).300m到達(dá)C點(diǎn)，

3讓再舉出幾個(gè)既最后又向東走

有大小又有方向的200〃?到達(dá)。點(diǎn).

量，以準(zhǔn)確抓住向⑴按1:10000的

量的特點(diǎn).比例作出向量

表示方法

(3)而衣和麗；

①再次類比數(shù)

的表示方

(2)求。4和AC

法，引出用

有向線段表的值.(精確到

示向量；(幾1m)

何表示)例3在圖中的4x5

②用有向線段的方格紙中有一

的方向和長(zhǎng)

個(gè)向量贏，分別

度分別表示

向量的方向以圖中的格點(diǎn)為

和大小，賦向量的起點(diǎn)和終

予向量的幾點(diǎn)作向量.

何意義；(1)

③提出字母表其

示方法，明中

確書寫上的與

要求，為向

量的運(yùn)算做AB

好準(zhǔn)備.相等的向量有幾

(4)相關(guān)概念辨析個(gè)

①?gòu)南蛄康哪?/p>

（2）與AB長(zhǎng)度相

引出零向量

和單位向量等的共線向量有

的概念；多少個(gè)

②讓學(xué)生了解

相等向量規(guī)

定的合理

性，可利用

計(jì)算機(jī)演示

向量的平行

移動(dòng)，體會(huì)

向量的相

等，體會(huì)向

量與有向線

段之間的關(guān)

系；

③工向量的平

行移動(dòng)體會(huì)

平行向量和

共線向量的

等價(jià)性；

歸納小結(jié)：向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用，找相等向量和用向量表示點(diǎn)的位置

作業(yè):P79練習(xí)A,B

2.1.2向量的線性運(yùn)算

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

引入新課1）引入實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備通過(guò)實(shí)際例子，使

數(shù)因?yàn)橛辛诉\(yùn)情景1：讓兩個(gè)學(xué)學(xué)生學(xué)會(huì)用向量

算而使數(shù)的威力無(wú)生中的甲從教室解決實(shí)際問(wèn)題的

窮，與數(shù)的運(yùn)算類的某地A位移到方法

比，向量是否也能3地，再?gòu)?地位

進(jìn)行運(yùn)算呢從向量移到。地，

的物理背景和數(shù)的乙從A直接到達(dá)

運(yùn)算中應(yīng)該可以得C地，觀察比較.

到一些啟發(fā)結(jié)論：前者是位

探究向量加法的定移的合成，兩次

義法則一＞一

①教師提出問(wèn)題：位移的結(jié)

怎么定義任意二個(gè)—

向量的和？（教師果為AC,叩與后

在黑板上畫出二個(gè)者從4點(diǎn)直接

器白由），讓學(xué)生小組到C點(diǎn)的位移近

討論以后，出現(xiàn)兩相同；

種不同定義方式三情景2:觀看事前

角形法則和平行四由學(xué)生做的力的

邊形法則.合成的實(shí)驗(yàn)經(jīng)過(guò)

②針對(duì)兩種方式，要求①用二個(gè)互

教師引導(dǎo)學(xué)生理解相垂直的力

它們的本質(zhì)的一致

6=3,工=4

性；

后同時(shí)提出思考

把橡皮條拉長(zhǎng)

問(wèn)題那種定義更一定的距離0E,

加嚴(yán)密？根據(jù)學(xué)

再撤去聽(tīng),尸2，用

生的回答，啟發(fā)

學(xué)生注意到平行一個(gè)力尸作用在

四邊形法則對(duì)于橡皮條上，使橡皮

二個(gè)向量不能構(gòu)沿著相同的方向

成平行四邊形時(shí)伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度，

要增加補(bǔ)充說(shuō)記錄廠的大小和

明，即二向量共方向；

線時(shí)的向量和如

②改變片,工的大

何？

④最后看書上相小和方向，重復(fù)以

關(guān)內(nèi)容，補(bǔ)充對(duì)上實(shí)驗(yàn)，探究尸與

零向量的運(yùn)算規(guī)

的關(guān)系.

定.

(5)向量加法定義③得出結(jié)論：排除

的運(yùn)算律誤差，合力產(chǎn)的方

①請(qǐng)學(xué)生類比

向在以片,尸2為鄰

實(shí)數(shù)加法運(yùn)

算律，猜測(cè)邊的平行四邊形

一下運(yùn)算律的對(duì)角線上，且大

是什么？小等于平行四邊

②由學(xué)生提出形該對(duì)角線的長(zhǎng).

探究的途例4如圖，已知向

徑，并分組量入b,用三角

驗(yàn)證，交流形法則和平行四

作圖思路邊形法則求作向

③教師投影學(xué)量2+5

生設(shè)計(jì)，并

根據(jù)情況進(jìn)

行歸納點(diǎn)

評(píng)，總結(jié)探

究過(guò)程和探

究結(jié)論，讓

學(xué)生有一個(gè)

完整的認(rèn)

識(shí).

(6)應(yīng)用舉例

①通過(guò)例5體

會(huì)向量加法

的實(shí)際應(yīng)

用；

②通過(guò)例6體

會(huì)向量加法

在幾何中的

應(yīng)用.

例5一架飛機(jī)向南

飛行400府?，然后

改變方向向東飛行

300km,試求飛機(jī)

飛行的路程和位

移.

例6在平面內(nèi)能否

構(gòu)造三個(gè)非零向量

a,b,c使

a+b+c=6.根據(jù)

構(gòu)造結(jié)果還可以

繼續(xù)提出若

.---?■■?—?

AB+BC+CA^Q,

則A三點(diǎn)共線

是否正確

3.關(guān)于向量的減法

運(yùn)算部分教學(xué)內(nèi)容

⑴類比數(shù)的減法

運(yùn)算，提出相反向

量的概念，定義減

法運(yùn)算；

⑵根據(jù)減法的定

義，探索做出兩個(gè)

向量的差的方法，

總結(jié)出向量減法的

三角形法

則；

(3)比較加法和減

法的三角形法則的

區(qū)別

(4)應(yīng)用舉例

①通過(guò)例7體

會(huì)向量的加

法和減法的

三角形法則

的混合應(yīng)用；

②通過(guò)例8體

會(huì)向量減法

的實(shí)際應(yīng)用.

例7在五邊形

ABCDE中,

若而

BC^b,CD^c,

，DE^d,EA^e，

求作向量

a-c+b-d-e

例8已知一艘船從

A點(diǎn)出發(fā)，以

2y/3km/h的速度

向垂直于對(duì)岸的方

向行駛,而船

實(shí)際行駛速度為

4km/h,求河水的

流速的大小.

歸納小結(jié)：使學(xué)生理解并掌握向量加法的就幾何意義。

作業(yè)1：P83練習(xí)A,B

作業(yè)2：P85練習(xí)A,B

數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計(jì)方案

第三學(xué)時(shí)?第四學(xué)時(shí)

§2.1.4數(shù)乘向量(新教改B版教材)

教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握向量數(shù)乘運(yùn)算法則，并理解其幾何意義；

(2)讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類比向量運(yùn)算律，并且驗(yàn)證強(qiáng)化

對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程的認(rèn)識(shí)，正確表示結(jié)果；

(3)初步學(xué)會(huì)用向量的方法解決幾何問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

重點(diǎn)：向量的數(shù)乘運(yùn)算法則的理解及幾何意義。

難點(diǎn)：正確運(yùn)用法則解決幾何問(wèn)題。

教學(xué)過(guò)程:

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

（1）前兩節(jié)我們介紹了解了向

量的加法和減法，其中“加法”

我們要牢固掌握“三角形法則”

和“平行四邊形法則”；

例如：平面內(nèi)有向量a和人：

和f》師生互答

ab

①當(dāng)順次首尾連結(jié)

與

時(shí):，

復(fù)習(xí)和向量即生/圖的帚示；（副板教師講解復(fù)習(xí)舊知識(shí)，

提問(wèn)書）結(jié)合引出新知識(shí)

②當(dāng)重合起點(diǎn)或終點(diǎn)時(shí)，圖略，

復(fù)習(xí)師生互答復(fù)習(xí)舊知識(shí)

和向量應(yīng)用“平行四邊形法則”

提問(wèn)求得；與引出新知識(shí)

而且向量的減法我們可以看成教師講解

一個(gè)向量加上另一個(gè)向量的等

結(jié)合

模、反向、或記住口訣“連結(jié)

終點(diǎn)，指向被減”直接由代數(shù)

形式求得結(jié)果。

例如：AB~AC=CB

（2）下面我們來(lái)看這么一道

題：

1.例：已知如圖向量:為非零

向量，試用作圖方式表示；+a

->TT

+〃和一〃+（—〃）

a

（投影）

函瞬學(xué)彈概念及首先我們抓住學(xué)生通過(guò)對(duì)

性痂它的特點(diǎn)，；+老師利用向量加

1.向量數(shù)乘（實(shí)數(shù)和向量相乘）

a+a是區(qū)別法的講解，能夠

的定義：

于一般情況下很自然地接受向

實(shí)數(shù);1和向量。的乘積是

的三個(gè)相同的量和實(shí)數(shù)相乘的

定理

一個(gè)向量，記作癡，且加的向量的加法，

這樣一種從一般

形成長(zhǎng)冽=4a.顯然順次連結(jié)

的加法到乘法的

（而且我們可以根據(jù)剛才首尾，我們依

運(yùn)算

變換,通過(guò)觀察、

的例題總結(jié)出這樣的結(jié)論：）照加法規(guī)律可

率的比較、抽象、概

癡（a/0）的方向以很容易的得

形成［當(dāng)4>0時(shí)，與。同方向;到3：的幾何括出實(shí)數(shù)與向量

［當(dāng)丸<0時(shí),與a反方向.

相乘的幾何表示

及證表示

當(dāng)

這一點(diǎn)學(xué)生是與代數(shù)表示法。

明/1=0或。=0時(shí),0。=0或；10=0.

容易理解并接發(fā)展學(xué)生的理性

2.實(shí)數(shù)和向量相乘所滿足的運(yùn)

受的，而一W+

算率：思維的能力。

（1）（/i+〃）a=/Ui+〃Q；（—a）也是兩對(duì)于數(shù)乘向

（2）%（〃a）=（A/z）?;個(gè)和：等模反量的計(jì)算法則，

（3）A（a+b）=Aa+Ab（分向的向量的證明要求不是很

配率）.和。這時(shí)我們高，學(xué)生們只需

（以上各運(yùn)算律證明方法會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)有要理解、掌握、

見(jiàn)后面，（3）的證明類似于例非零實(shí)數(shù)和非

并且能夠靈活運(yùn)

1,略，由學(xué)生自己證明）零向量相乘時(shí)

用該法則解答、

我們只需相應(yīng)

證明題就可以了

擴(kuò)大或縮小向

量的線段長(zhǎng)

度，“例如3?

是將］的線段

擴(kuò)大為。的三

倍”，并且應(yīng)注

意所乘的常數(shù)

是正數(shù)時(shí)得到

的新向量方向

不變，負(fù)數(shù)時(shí)

變?yōu)楹驮蛄?/p>

相反即可。若

原向量已有非

零實(shí)系數(shù)，那

么實(shí)系數(shù)相乘

再作系數(shù)。

并且：特殊地，

當(dāng)實(shí)數(shù)0和一

個(gè)向量相乘

時(shí)，得到的仍

為一個(gè)向量，

且模為0,即

“零向量”。

（因?yàn)榱阆蛄?/p>

的方向不固定

且模為0,所以

我們不能以一

個(gè)固定方向的

箭頭或一個(gè)點(diǎn)

來(lái)表示它，所

以“零向量”

沒(méi)有幾何表示

方法，它的代

數(shù)形式為6。）

1.計(jì)算下列各式：例3作圖通過(guò)分段

(1)(—2)x—fl；

2是學(xué)生需要鍛設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)

應(yīng)用⑵2(0+方)一3(0-力)；煉的能力之生體會(huì)解題思

(3)(4+〃)(〃一b)—(/l_//)(〃+萬(wàn)).

舉例一，督促學(xué)生路的形成過(guò)

解：

應(yīng)用畫好，其次是程，培養(yǎng)學(xué)生

(1)(-2)

舉例=(-2x—；注意回顧和正獨(dú)立思考分

2

=(-i)a=-a確使用向量加析、解決問(wèn)題

法法則，亦可的能力

（2）2（a+b）-3（a-b）以使用相似先

=2a+2b-3a+3b

?

=（2。-3。）+（2）+3歷得到線段長(zhǎng)度

=-a+5b

的關(guān)系，判斷

（3）（A+〃）（a—b）—（4—〃）（“+b）

=a（Q-b）+〃（a-b）-〃a+b）方向，從而得

+〃（。+力

=Au—Ab+/M—jub—AM到結(jié)論

一4））

=2jua-2Ab

例2.設(shè)x是未知向量，解方程：

5（x+a）+3（x-Z>）=0.

解:原式可變形為：

5X+5G+3X-3）=0

sx=-5a+3b

53,

x=——a+-b

88

（例1和例2所需要注意的是書

寫格式要正確,箭頭不要丟掉）

例3.如圖所示，已知

04'=304,0=3薪，說(shuō)明向量

而與防的關(guān)系.

解:因?yàn)?/p>

OB=OA+AI

=3OA+3AB

=3（涼+嘉）

->

=30B

所以而'與方共線且方向

相同,長(zhǎng)度是否的3倍.

布置書后練習(xí)A組題目和B組

鞏固所學(xué)知識(shí)

1,2小題.學(xué)生獨(dú)立完成

作業(yè)方法

三.教學(xué)資源建議:

可以參閱之前向量這一部分的參考資料，結(jié)合新教材B版的

自有的參考資料共同完成。

四.教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議：

本節(jié)內(nèi)容介紹的是向量與實(shí)數(shù)相乘的相關(guān)內(nèi)容，其中包括定

義、性質(zhì)以及運(yùn)算法則,對(duì)于這一部分的內(nèi)容我覺(jué)得關(guān)鍵是在于讓

學(xué)生能夠從理解的角度認(rèn)可并掌握實(shí)數(shù)與向量相乘的幾何圖形表

Zp*o

課文一開(kāi)始的引入是從圖形的放大和縮小是否能使用向量的

手段進(jìn)行解決這個(gè)問(wèn)題入手的，是從向量和實(shí)數(shù)相乘的用法的角

度切入的，可能相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題不怎么感興趣。而從

向量的數(shù)乘是向量加法的一種特殊情況入手不僅復(fù)習(xí)回顧了前面

向量的加減運(yùn)算，而且從加法的特例（即幾個(gè)相同的向量相加）

入手，使得學(xué)生能自然地接受幾何表示，不會(huì)覺(jué)得很突兀。其次

牢記實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是向量,而不是數(shù),也比較重要，尤其

是當(dāng)向量為零或?qū)崝?shù)為零時(shí)，是講解的重點(diǎn)。并且對(duì)于代數(shù)形式,

稍加歸納總結(jié)即可。運(yùn)算率可以讓學(xué)生自己來(lái)證明。最后就是在

解題的過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)格式的正確性，因?yàn)槭歉咧械男轮R(shí)，初

中沒(méi)有接觸過(guò)，所以正確的格式要堅(jiān)持強(qiáng)調(diào)。

§2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)

算

一（新教改B版教

材）

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握平面向量共線的條件及簡(jiǎn)單的證明過(guò)程,會(huì)使用

該定理解題，掌握軸上向量的定義方法,會(huì)計(jì)算向量的坐標(biāo),

利用向量的坐標(biāo)解題。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是平行向量基本定理；

難點(diǎn)是平行向量基本定理的應(yīng)用.

教學(xué)內(nèi)容安排:

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

在學(xué)習(xí)向量概念的時(shí)候，我

們已經(jīng)定義了什么是向量共線

（即平行）.而我們要知道向量的

師生互答

共線和平行是同一個(gè)含義,它與

與

復(fù)習(xí)直線的平行、重合不同,兩個(gè)向復(fù)習(xí)舊知識(shí)，

教師講解

提問(wèn)量的基線是同一條直線或兩條引出新知識(shí)

平行直線時(shí)，向量都稱為共線結(jié)合

（或平行）向量，〈因?yàn)橄蛄渴亲?/p>

由的＞°它的表示方法是力

而且由于零向量覺(jué)得方向不定，

所以可以把零向量認(rèn)為成和任

一向量平行的向量。

同學(xué)們要

1.平行向量基本定理：學(xué)生通過(guò)

如果肪，貝IJ。〃辦；反牢記基本定對(duì)老師利用向

之，如果。//4且6力0,貝IJ存在

理，而且這樣量加法的講

唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得

以來(lái)實(shí)數(shù)與這解，能夠很自

（這樣我們給出的這個(gè)平

條軸上的向量然地接受向量

行向量的基本定理,根據(jù)它就可

建立起----對(duì)和實(shí)數(shù)相乘的

以判斷兩個(gè)向量是否共線了，實(shí)

應(yīng)的關(guān)系，至

定理際上,給出的這種判斷方法是一這樣一種從一

此,我們就可

形成種代數(shù)的判斷方法,后面在學(xué)習(xí)般的加法到乘

了坐標(biāo)后我們?cè)谂袛嗍欠窆簿€

定理以用數(shù)值來(lái)表法的變換，通

時(shí)也是根據(jù)這種方法來(lái)判斷

形成小向里.給我過(guò)觀察、比較、

的.）

們奠定了向量

定理抽象、概括出

2.單位向量：

形成的數(shù)量化的基向量的坐標(biāo)表

給定一個(gè)非零向量。，與。

礎(chǔ)，也是我們

同方向且長(zhǎng)度等于1的向量,叫示，為以后向

做向量。的單位向量.將來(lái)平面向量量平面的坐標(biāo)

如果。的單位向量記作，

空間向量數(shù)量做好準(zhǔn)備，是

由數(shù)乘向量的定義可

化的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)非常

知:或

那么我們重要的坐標(biāo)表

二.軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算：

由數(shù)軸上兩點(diǎn)示的引理。另

（對(duì)于數(shù)軸定義的回憶）

的距離可以用一方面有助于

規(guī)定了方向和長(zhǎng)度單位的

直線叫做*gf7cA->B

右邊的點(diǎn)的坐發(fā)展學(xué)生的理

已知軸/.取單位向量e,使標(biāo)減去左邊點(diǎn)性思維的能

e的方向與/同方向，根據(jù)向量

的坐標(biāo)這種方力，從簡(jiǎn)單的

平行的條件，對(duì)軸上任意向量

法來(lái)計(jì)算兩點(diǎn)向量的知識(shí)開(kāi)

a,一定存在唯一實(shí)數(shù)%，使

間的距離，所始，逐步深入，

a-xe.

以以這兩點(diǎn)為為平面向量的

反過(guò)來(lái)，任意給定一個(gè)實(shí)

數(shù)了,我們總能作一個(gè)向量起終點(diǎn)的向量基本定理做好

a=xe,使它的長(zhǎng)