數(shù)學(xué)：第二章《平面向量教學(xué)設(shè)計》教案

人教A版數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教學(xué)設(shè)計

一、教材分析

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之

一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景和深刻的幾何

背景，是解決幾何問題的有力工具.在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用.在本單元中，學(xué)生

將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量

語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)及物理中的一些問題.發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.

1.本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍

(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等

的含義，理解向量的幾何表示。

(2)向量的線性運(yùn)算

①通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。

②通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線

的含義。

③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。

(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

①了解平面向量的基本定理及其意義。

②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

③會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。

④理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

(4)平面向量的數(shù)量積

①通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直

關(guān)系。

(5)向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的

過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決

實(shí)際問題的能力。

本章知識結(jié)構(gòu)如下:

根據(jù)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程安排內(nèi)容

向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來引進(jìn)的新內(nèi)容，為了保證其科學(xué)性，同時又易于被學(xué)生接受,

根據(jù)向量知識的發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對向量內(nèi)容的定位，并考慮到學(xué)

生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來的經(jīng)驗，本章按照如下次序來編排:

向量的實(shí)際背景及基本概念一向量的線性運(yùn)算一平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一向量的

數(shù)量積一向量應(yīng)用舉例.

課標(biāo)要求的具體化和深廣度分析

①平面向量的實(shí)際背景及基本概念

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

通過力和理解向量的概念，掌握

如：用向量a表示向東走了6km,則-a表示

力的分析等實(shí)向量的幾何表示，了解

例，了解向量共線向量

的實(shí)際背景，一輛汽車從A地出發(fā)向西行駛了lOOkw,到

理解平面向量達(dá)B地，可以用向量a表示，那么從B地出發(fā)至UA

和向量相等的達(dá)地應(yīng)如何表示？

含義，理解向向量a,6都是非零向量，下面說法不正確的

量的幾何表是（）

示.（A）向量a與6反向，則向量a+6與向量a

的方向可能相同

（B）向量a與6反向，則向量a+6與向量6

的方向可能相同

（C）向量a與6反向，且,卜忖，則向量a+b

與向量a的方向可能相同

（D）向量a與6反向，且,|<W，則向量a+6

與向量a的方向可能相同

②向量的線性運(yùn)算

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①通過實(shí)例，①如：若向量a表示向東走了2協(xié)?，6表示向南①掌握向量的加法與

掌握向量加、走了Tkm,則a-b表示.減法，并理解其幾何意

減法的運(yùn)算，已知下列各式義.

并理解其幾何②掌握實(shí)數(shù)與向量的

@AB+BC+CA；

意義.積的運(yùn)算，理解兩個向

②通過實(shí)例，量共線的充要條件.

@AB+MB+BO+OM,

掌握向量數(shù)乘③會進(jìn)行向量的線性

的運(yùn)算，并理運(yùn)算.

?OA+OB+BO+CO,

解其幾何意

義，以及兩個

@AB-AC+BD-CD-,

向量共線的含

義.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為()

③了解向量的(A)1(B)2(C)3(D)4

線性運(yùn)算性質(zhì)

②已知向量a,滿足

及其幾何意

義.

BC=—5a+66,CD-la—2b,則一定共線的三

點(diǎn)是()

(A)A,B,D(B)A,B,C

(C)B,C,D(D)A,C,D

③如：在AABC中，D,尸分別是1C的中點(diǎn),

BF與CD交于0,設(shè)AB-a,AC-b,用a,b

表示向量X。.

③平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①了解平面向①如：某人在靜水中游泳，速度為每小時3如?，①了解平面向量的基

量的基本定理水流的速度為每小時4km,如果他要垂直游到對本定理

及其意義.岸，則他的實(shí)際速度是多少？②理解平面向量的坐

②掌握平面向②如：已知平行四邊形/版的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別標(biāo)的概念

量的正交分解為A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),則頂點(diǎn)D③掌握平面向量的坐

及其坐標(biāo)表的坐標(biāo)為.標(biāo)運(yùn)算

示.④理解兩個向量共線

③如：已知4(0,1),8(3,-4)且點(diǎn)。在乙4。8的

③會用坐標(biāo)表的充要條件

示平面向量的平分線上,若|。。|=2,則向量反=

加、減與數(shù)乘

運(yùn)算.

④己知向量)=(%/2),而=(4,5),

④理解用坐標(biāo)

表示的平面向

3=(一女,10)且A,B,。三點(diǎn)共線，則

量共線的條

件.k=

④平面向量的數(shù)量積

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

①通過物理中①明確平面向量數(shù)量

①如：用兩根夾角為120。角的等長的繩子懸掛一

“功”等實(shí)積的定義、數(shù)學(xué)表達(dá)式

例，理解平面?zhèn)€燈具，若燈具的重量為10N,則每根繩子的拉及其幾何意義

向量數(shù)量積的力大小是.②明確向量6在向量a

含義及其物理的方向上的投影

②如：已知點(diǎn)A(知一1),6(2,2),C(—4,6),則

意義.③掌握數(shù)量枳的公式，

②體會平面向能進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算

而在衣上的投影的值為

量的數(shù)量積與④明確兩向量夾角的

向量投影的關(guān)③如：a=(-3,2),b=(-4,k),若(5a—6)意義，掌握兩向量垂直

系.?(3a-6)=55,求實(shí)數(shù)A的值.的充要條件，能用兩種

③掌握數(shù)量積形式表示向量垂直的

④如：兩單位向量a,6的夾角為60,則兩向量

的坐標(biāo)表達(dá)充要條件.

式，會進(jìn)行平尸2a+Z＞與干3a+2b的夾角為

面向量數(shù)量積換垂直的題

的運(yùn)算.

④能運(yùn)用數(shù)量

積表示兩個向

量的夾角，會

用數(shù)量積判斷

兩個平面向量

的垂直關(guān)系.

⑤向量的應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求

經(jīng)歷用向量方掌握平面兩點(diǎn)間的距

如圖，在平行四邊形ABC。中，DE=-DC,

法解決某些簡3離公式、掌握線段的

單的平面幾何AE與BD交于F,用向量的方法證明：定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)

問題、力學(xué)問DF=、DB.公式、平移公式，并能

題與其他一些4熟練運(yùn)用，會用平面向

實(shí)際問題的過_DEC量數(shù)量積處理長度、角

程，體會向量實(shí)際問題度等有關(guān)問題

是一種處理幾........—如：一條河的兩岸平

何問題、物理AB行，河的寬度為

問題等的工0.4Am,一艘船從一岸邊的A處出發(fā)駛向?qū)Π?

具，發(fā)展運(yùn)算已知船速為同=5嗎，水速為同=3%%,

能力和解決實(shí)

際問題的能欲使航行最短，則所用時間為一

力.

(2)本單元變化之處

①刪繁就簡，降低了知識的難度

②調(diào)整章節(jié)，凸顯了知識的框架

③貼近生活，重視了知識的應(yīng)用

（3）人教B版向量一章的教材特點(diǎn)

強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位

向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、

夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決.另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形

的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用

向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來表示.例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的

加法及其交換律（a+》=8+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形AB/7CD中，AD

〃BC,AB/7CD,絲ACB。）.這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)

系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有

機(jī)地聯(lián)系在一起.

幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來

代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這

些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)

結(jié)果.如果把解析幾何的方法簡單地表述為

［形到數(shù)］一一［數(shù)的運(yùn)算］——［數(shù)到形］，

則向量方法可簡單地表述為

［形到向量］一一［向量的運(yùn)算］一一［向量和數(shù)到形］.

教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解

決幾何問題的“三步曲”.為了使學(xué)生體會向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生

在解決具體問題時及時進(jìn)行歸納，同時還明確使用了“因為有了運(yùn)算，向量的力量無限；如

果沒有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語.

說明：由于我們按照必修1,必修4的順序進(jìn)行教學(xué)，因此向量法這種解決問題的方法就

顯得尤其重要，他為今后學(xué)習(xí)解析法奠定了基礎(chǔ)。

二、教學(xué)方式概述

人教B版教材對教師的教學(xué)方式，教師駕馭課堂的能力，教師把握教材的程度提出了更高的

要求。

講授啟發(fā)式、自主探究式

向量是以往高中課程中已經(jīng)出現(xiàn)的內(nèi)容，新課標(biāo)教材考慮的是通過改進(jìn)呈現(xiàn)方式，提供

直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、

演繹證明、反思與建構(gòu)等思維活動的載體，達(dá)到體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育新理念，促使學(xué)生采取積極主

動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師改進(jìn)教學(xué)方式，可以提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生打好數(shù)

學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)思維能力.

1.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量內(nèi)容

2.加強(qiáng)向量與相關(guān)知識的聯(lián)系性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路

3.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會向量法的思想實(shí)質(zhì)

掌握向量法的“三步曲”：

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題：

（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比

三、教學(xué)資源概述

教材、教參、多媒體或?qū)嵨锿队皟x、尺規(guī)

四、課時建議

本單元教學(xué)約需12課時

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本運(yùn)算2課時

2.2平面向量的線性運(yùn)算2課時

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時

2.4平面向量的數(shù)量積2課時

2.5平面向量應(yīng)用舉例2課時

小結(jié)2課時

數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計方案

第一學(xué)時?第二學(xué)時

2.1.1向量的概念

一.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.關(guān)于向量的概念

(1)了解向量產(chǎn)生的物理背景,理解共線向量,相等向量等概念,理解向量的幾何

表示；

(2)經(jīng)歷向量概念的形成過程,體會由實(shí)例引入概念的方法,并通過實(shí)例,體驗用

向量表示點(diǎn)的位置的方法,培養(yǎng)學(xué)生提出問題，分析問題和解決問題的能力.

(3)通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問題,物理問題和數(shù)學(xué)問題中的作

用，培養(yǎng)學(xué)生觀察,類比聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和

鉆研精神.

2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算

(1)通過實(shí)例，掌握向量加法,減法，向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義；

(2)讓學(xué)生能由數(shù)的運(yùn)算律類比向量的運(yùn)算律，并結(jié)合圖形驗證相關(guān)的運(yùn)算律,

強(qiáng)化對知識的形成過程的認(rèn)識,并正確表述探究的結(jié)果.

(3)通過學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算,初步學(xué)會用向量的方法解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用

問題.

二.重點(diǎn)難點(diǎn)

1.關(guān)于向量的概念

(1)重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念和向量的幾何表示；

(2)難點(diǎn)是對向量概念的理解；

2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算

(1)重點(diǎn)是向量的加法運(yùn)算，向量的減法運(yùn)算，向量的數(shù)乘運(yùn)算，法則的理解

及其幾何意義；

(2)難點(diǎn)是對減法定義的理解及正確運(yùn)用法則，運(yùn)算律進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，

并利用向量方法解決幾何問題.

三.教學(xué)過程

教本環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

引入新課對向量全章的概念應(yīng)用讓學(xué)生了解大致

的介紹：通過對書(1)通過具體的內(nèi)容和小學(xué)習(xí)本

上章前話的解讀，例題1體會向量的章的重要性

讓學(xué)生體會向量的概念和幾何表示；

豐富實(shí)際背景，了通過例題2和例題

解向量的研究對象3鞏固向量的幾何

和研究方法，初步表示，相等，共線

了解向量與幾何代向量等概念

數(shù)之間的關(guān)系.

⑵概念引入與形

成

概念形成1從常見的物理量例1船向南航行

力，位移等了解它100海里和向西航

們的特征是既有大行100海里的位移

小又有方向的量，相等嗎選擇適當(dāng)

建立向量的認(rèn)知基的比例尺用有向

礎(chǔ)，自然引出向量線段表示這兩次

航行.

2荽比學(xué)生熟悉的

例2某人從點(diǎn)A出

數(shù)量如溫度，身高,發(fā)向西走200加到

體積,風(fēng)速，時間,達(dá)8點(diǎn)，然后朝西

通過比較，使學(xué)生

偏北方向走

在比較中加深對概45°

念的認(rèn)識.300m到達(dá)C點(diǎn)，

3讓再舉出幾個既最后又向東走

有大小又有方向的200〃?到達(dá)。點(diǎn).

量，以準(zhǔn)確抓住向⑴按1:10000的

量的特點(diǎn).比例作出向量

表示方法

(3)而衣和麗；

①再次類比數(shù)

的表示方

(2)求。4和AC

法，引出用

有向線段表的值.(精確到

示向量；(幾1m)

何表示)例3在圖中的4x5

②用有向線段的方格紙中有一

的方向和長

個向量贏，分別

度分別表示

向量的方向以圖中的格點(diǎn)為

和大小，賦向量的起點(diǎn)和終

予向量的幾點(diǎn)作向量.

何意義；(1)

③提出字母表其

示方法，明中

確書寫上的與

要求，為向

量的運(yùn)算做AB

好準(zhǔn)備.相等的向量有幾

(4)相關(guān)概念辨析個

①從向量的模

（2）與AB長度相

引出零向量

和單位向量等的共線向量有

的概念；多少個

②讓學(xué)生了解

相等向量規(guī)

定的合理

性，可利用

計算機(jī)演示

向量的平行

移動，體會

向量的相

等，體會向

量與有向線

段之間的關(guān)

系；

③工向量的平

行移動體會

平行向量和

共線向量的

等價性；

歸納小結(jié)：向量的簡單應(yīng)用，找相等向量和用向量表示點(diǎn)的位置

作業(yè):P79練習(xí)A,B

2.1.2向量的線性運(yùn)算

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

引入新課1）引入實(shí)驗準(zhǔn)備通過實(shí)際例子，使

數(shù)因為有了運(yùn)情景1：讓兩個學(xué)學(xué)生學(xué)會用向量

算而使數(shù)的威力無生中的甲從教室解決實(shí)際問題的

窮，與數(shù)的運(yùn)算類的某地A位移到方法

比，向量是否也能3地，再從8地位

進(jìn)行運(yùn)算呢從向量移到。地，

的物理背景和數(shù)的乙從A直接到達(dá)

運(yùn)算中應(yīng)該可以得C地，觀察比較.

到一些啟發(fā)結(jié)論：前者是位

探究向量加法的定移的合成，兩次

義法則一＞一

①教師提出問題：位移的結(jié)

怎么定義任意二個—

向量的和？（教師果為AC,叩與后

在黑板上畫出二個者從4點(diǎn)直接

器白由），讓學(xué)生小組到C點(diǎn)的位移近

討論以后，出現(xiàn)兩相同；

種不同定義方式三情景2:觀看事前

角形法則和平行四由學(xué)生做的力的

邊形法則.合成的實(shí)驗經(jīng)過

②針對兩種方式，要求①用二個互

教師引導(dǎo)學(xué)生理解相垂直的力

它們的本質(zhì)的一致

6=3,工=4

性；

后同時提出思考

把橡皮條拉長

問題那種定義更一定的距離0E,

加嚴(yán)密？根據(jù)學(xué)

再撤去聽,尸2，用

生的回答，啟發(fā)

學(xué)生注意到平行一個力尸作用在

四邊形法則對于橡皮條上，使橡皮

二個向量不能構(gòu)沿著相同的方向

成平行四邊形時伸長相同的長度，

要增加補(bǔ)充說記錄廠的大小和

明，即二向量共方向；

線時的向量和如

②改變片,工的大

何？

④最后看書上相小和方向，重復(fù)以

關(guān)內(nèi)容，補(bǔ)充對上實(shí)驗，探究尸與

零向量的運(yùn)算規(guī)

的關(guān)系.

定.

(5)向量加法定義③得出結(jié)論：排除

的運(yùn)算律誤差，合力產(chǎn)的方

①請學(xué)生類比

向在以片,尸2為鄰

實(shí)數(shù)加法運(yùn)

算律，猜測邊的平行四邊形

一下運(yùn)算律的對角線上，且大

是什么？小等于平行四邊

②由學(xué)生提出形該對角線的長.

探究的途例4如圖，已知向

徑，并分組量入b,用三角

驗證，交流形法則和平行四

作圖思路邊形法則求作向

③教師投影學(xué)量2+5

生設(shè)計，并

根據(jù)情況進(jìn)

行歸納點(diǎn)

評，總結(jié)探

究過程和探

究結(jié)論，讓

學(xué)生有一個

完整的認(rèn)

識.

(6)應(yīng)用舉例

①通過例5體

會向量加法

的實(shí)際應(yīng)

用；

②通過例6體

會向量加法

在幾何中的

應(yīng)用.

例5一架飛機(jī)向南

飛行400府?，然后

改變方向向東飛行

300km,試求飛機(jī)

飛行的路程和位

移.

例6在平面內(nèi)能否

構(gòu)造三個非零向量

a,b,c使

a+b+c=6.根據(jù)

構(gòu)造結(jié)果還可以

繼續(xù)提出若

.---?■■?—?

AB+BC+CA^Q,

則A三點(diǎn)共線

是否正確

3.關(guān)于向量的減法

運(yùn)算部分教學(xué)內(nèi)容

⑴類比數(shù)的減法

運(yùn)算，提出相反向

量的概念，定義減

法運(yùn)算；

⑵根據(jù)減法的定

義，探索做出兩個

向量的差的方法，

總結(jié)出向量減法的

三角形法

則；

(3)比較加法和減

法的三角形法則的

區(qū)別

(4)應(yīng)用舉例

①通過例7體

會向量的加

法和減法的

三角形法則

的混合應(yīng)用；

②通過例8體

會向量減法

的實(shí)際應(yīng)用.

例7在五邊形

ABCDE中,

若而

BC^b,CD^c,

，DE^d,EA^e，

求作向量

a-c+b-d-e

例8已知一艘船從

A點(diǎn)出發(fā)，以

2y/3km/h的速度

向垂直于對岸的方

向行駛,而船

實(shí)際行駛速度為

4km/h,求河水的

流速的大小.

歸納小結(jié)：使學(xué)生理解并掌握向量加法的就幾何意義。

作業(yè)1：P83練習(xí)A,B

作業(yè)2：P85練習(xí)A,B

數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計方案

第三學(xué)時?第四學(xué)時

§2.1.4數(shù)乘向量(新教改B版教材)

教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握向量數(shù)乘運(yùn)算法則，并理解其幾何意義；

(2)讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類比向量運(yùn)算律，并且驗證強(qiáng)化

對知識的形成過程的認(rèn)識，正確表示結(jié)果；

(3)初步學(xué)會用向量的方法解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

重點(diǎn)：向量的數(shù)乘運(yùn)算法則的理解及幾何意義。

難點(diǎn)：正確運(yùn)用法則解決幾何問題。

教學(xué)過程:

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

環(huán)節(jié)

（1）前兩節(jié)我們介紹了解了向

量的加法和減法，其中“加法”

我們要牢固掌握“三角形法則”

和“平行四邊形法則”；

例如：平面內(nèi)有向量a和人：

和f》師生互答

ab

①當(dāng)順次首尾連結(jié)

與

時:，

復(fù)習(xí)和向量即生/圖的帚示；（副板教師講解復(fù)習(xí)舊知識，

提問書）結(jié)合引出新知識

②當(dāng)重合起點(diǎn)或終點(diǎn)時，圖略，

復(fù)習(xí)師生互答復(fù)習(xí)舊知識

和向量應(yīng)用“平行四邊形法則”

提問求得；與引出新知識

而且向量的減法我們可以看成教師講解

一個向量加上另一個向量的等

結(jié)合

模、反向、或記住口訣“連結(jié)

終點(diǎn)，指向被減”直接由代數(shù)

形式求得結(jié)果。

例如：AB~AC=CB

（2）下面我們來看這么一道

題：

1.例：已知如圖向量:為非零

向量，試用作圖方式表示；+a

->TT

+〃和一〃+（—〃）

a

（投影）

函瞬學(xué)彈概念及首先我們抓住學(xué)生通過對

性痂它的特點(diǎn)，；+老師利用向量加

1.向量數(shù)乘（實(shí)數(shù)和向量相乘）

a+a是區(qū)別法的講解，能夠

的定義：

于一般情況下很自然地接受向

實(shí)數(shù);1和向量。的乘積是

的三個相同的量和實(shí)數(shù)相乘的

定理

一個向量，記作癡，且加的向量的加法，

這樣一種從一般

形成長冽=4a.顯然順次連結(jié)

的加法到乘法的

（而且我們可以根據(jù)剛才首尾，我們依

運(yùn)算

變換,通過觀察、

的例題總結(jié)出這樣的結(jié)論：）照加法規(guī)律可

率的比較、抽象、概

癡（a/0）的方向以很容易的得

形成［當(dāng)4>0時，與。同方向;到3：的幾何括出實(shí)數(shù)與向量

［當(dāng)丸<0時,與a反方向.

相乘的幾何表示

及證表示

當(dāng)

這一點(diǎn)學(xué)生是與代數(shù)表示法。

明/1=0或。=0時,0。=0或；10=0.

容易理解并接發(fā)展學(xué)生的理性

2.實(shí)數(shù)和向量相乘所滿足的運(yùn)

受的，而一W+

算率：思維的能力。

（1）（/i+〃）a=/Ui+〃Q；（—a）也是兩對于數(shù)乘向

（2）%（〃a）=（A/z）?;個和：等模反量的計算法則，

（3）A（a+b）=Aa+Ab（分向的向量的證明要求不是很

配率）.和。這時我們高，學(xué)生們只需

（以上各運(yùn)算律證明方法會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)有要理解、掌握、

見后面，（3）的證明類似于例非零實(shí)數(shù)和非

并且能夠靈活運(yùn)

1,略，由學(xué)生自己證明）零向量相乘時

用該法則解答、

我們只需相應(yīng)

證明題就可以了

擴(kuò)大或縮小向

量的線段長

度，“例如3?

是將］的線段

擴(kuò)大為。的三

倍”，并且應(yīng)注

意所乘的常數(shù)

是正數(shù)時得到

的新向量方向

不變，負(fù)數(shù)時

變?yōu)楹驮蛄?/p>

相反即可。若

原向量已有非

零實(shí)系數(shù)，那

么實(shí)系數(shù)相乘

再作系數(shù)。

并且：特殊地，

當(dāng)實(shí)數(shù)0和一

個向量相乘

時，得到的仍

為一個向量，

且模為0,即

“零向量”。

（因為零向量

的方向不固定

且模為0,所以

我們不能以一

個固定方向的

箭頭或一個點(diǎn)

來表示它，所

以“零向量”

沒有幾何表示

方法，它的代

數(shù)形式為6。）

1.計算下列各式：例3作圖通過分段

(1)(—2)x—fl；

2是學(xué)生需要鍛設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)

應(yīng)用⑵2(0+方)一3(0-力)；煉的能力之生體會解題思

(3)(4+〃)(〃一b)—(/l_//)(〃+萬).

舉例一，督促學(xué)生路的形成過

解：

應(yīng)用畫好，其次是程，培養(yǎng)學(xué)生

(1)(-2)

舉例=(-2x—；注意回顧和正獨(dú)立思考分

2

=(-i)a=-a確使用向量加析、解決問題

法法則，亦可的能力

（2）2（a+b）-3（a-b）以使用相似先

=2a+2b-3a+3b

?

=（2。-3。）+（2）+3歷得到線段長度

=-a+5b

的關(guān)系，判斷

（3）（A+〃）（a—b）—（4—〃）（“+b）

=a（Q-b）+〃（a-b）-〃a+b）方向，從而得

+〃（。+力

=Au—Ab+/M—jub—AM到結(jié)論

一4））

=2jua-2Ab

例2.設(shè)x是未知向量，解方程：

5（x+a）+3（x-Z>）=0.

解:原式可變形為：

5X+5G+3X-3）=0

sx=-5a+3b

53,

x=——a+-b

88

（例1和例2所需要注意的是書

寫格式要正確,箭頭不要丟掉）

例3.如圖所示，已知

04'=304,0=3薪，說明向量

而與防的關(guān)系.

解:因為

OB=OA+AI

=3OA+3AB

=3（涼+嘉）

->

=30B

所以而'與方共線且方向

相同,長度是否的3倍.

布置書后練習(xí)A組題目和B組

鞏固所學(xué)知識

1,2小題.學(xué)生獨(dú)立完成

作業(yè)方法

三.教學(xué)資源建議:

可以參閱之前向量這一部分的參考資料，結(jié)合新教材B版的

自有的參考資料共同完成。

四.教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議：

本節(jié)內(nèi)容介紹的是向量與實(shí)數(shù)相乘的相關(guān)內(nèi)容，其中包括定

義、性質(zhì)以及運(yùn)算法則,對于這一部分的內(nèi)容我覺得關(guān)鍵是在于讓

學(xué)生能夠從理解的角度認(rèn)可并掌握實(shí)數(shù)與向量相乘的幾何圖形表

Zp*o

課文一開始的引入是從圖形的放大和縮小是否能使用向量的

手段進(jìn)行解決這個問題入手的，是從向量和實(shí)數(shù)相乘的用法的角

度切入的，可能相當(dāng)一部分學(xué)生對這個問題不怎么感興趣。而從

向量的數(shù)乘是向量加法的一種特殊情況入手不僅復(fù)習(xí)回顧了前面

向量的加減運(yùn)算，而且從加法的特例（即幾個相同的向量相加）

入手，使得學(xué)生能自然地接受幾何表示，不會覺得很突兀。其次

牢記實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是向量,而不是數(shù),也比較重要，尤其

是當(dāng)向量為零或?qū)崝?shù)為零時，是講解的重點(diǎn)。并且對于代數(shù)形式,

稍加歸納總結(jié)即可。運(yùn)算率可以讓學(xué)生自己來證明。最后就是在

解題的過程中，要強(qiáng)調(diào)格式的正確性，因為是高中的新知識，初

中沒有接觸過，所以正確的格式要堅持強(qiáng)調(diào)。

§2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)

算

一（新教改B版教

材）

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握平面向量共線的條件及簡單的證明過程,會使用

該定理解題，掌握軸上向量的定義方法,會計算向量的坐標(biāo),

利用向量的坐標(biāo)解題。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是平行向量基本定理；

難點(diǎn)是平行向量基本定理的應(yīng)用.

教學(xué)內(nèi)容安排:

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

環(huán)節(jié)

在學(xué)習(xí)向量概念的時候，我

們已經(jīng)定義了什么是向量共線

（即平行）.而我們要知道向量的

師生互答

共線和平行是同一個含義,它與

與

復(fù)習(xí)直線的平行、重合不同,兩個向復(fù)習(xí)舊知識，

教師講解

提問量的基線是同一條直線或兩條引出新知識

平行直線時，向量都稱為共線結(jié)合

（或平行）向量，〈因為向量是自

由的＞°它的表示方法是力

而且由于零向量覺得方向不定，

所以可以把零向量認(rèn)為成和任

一向量平行的向量。

同學(xué)們要

1.平行向量基本定理：學(xué)生通過

如果肪，貝IJ?！ㄞk；反牢記基本定對老師利用向

之，如果。//4且6力0,貝IJ存在

理，而且這樣量加法的講

唯一一個實(shí)數(shù)2,使得

以來實(shí)數(shù)與這解，能夠很自

（這樣我們給出的這個平

條軸上的向量然地接受向量

行向量的基本定理,根據(jù)它就可

建立起----對和實(shí)數(shù)相乘的

以判斷兩個向量是否共線了，實(shí)

應(yīng)的關(guān)系，至

定理際上,給出的這種判斷方法是一這樣一種從一

此,我們就可

形成種代數(shù)的判斷方法,后面在學(xué)習(xí)般的加法到乘

了坐標(biāo)后我們在判斷是否共線

定理以用數(shù)值來表法的變換，通

時也是根據(jù)這種方法來判斷

形成小向里.給我過觀察、比較、

的.）

們奠定了向量

定理抽象、概括出

2.單位向量：

形成的數(shù)量化的基向量的坐標(biāo)表

給定一個非零向量。，與。

礎(chǔ)，也是我們

同方向且長度等于1的向量,叫示，為以后向

做向量。的單位向量.將來平面向量量平面的坐標(biāo)

如果。的單位向量記作，

空間向量數(shù)量做好準(zhǔn)備，是

由數(shù)乘向量的定義可

化的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)非常

知:或

那么我們重要的坐標(biāo)表

二.軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算：

由數(shù)軸上兩點(diǎn)示的引理。另

（對于數(shù)軸定義的回憶）

的距離可以用一方面有助于

規(guī)定了方向和長度單位的

直線叫做*gf7cA->B

右邊的點(diǎn)的坐發(fā)展學(xué)生的理

已知軸/.取單位向量e,使標(biāo)減去左邊點(diǎn)性思維的能

e的方向與/同方向，根據(jù)向量

的坐標(biāo)這種方力，從簡單的

平行的條件，對軸上任意向量

法來計算兩點(diǎn)向量的知識開

a,一定存在唯一實(shí)數(shù)%，使

間的距離，所始，逐步深入，

a-xe.

以以這兩點(diǎn)為為平面向量的

反過來，任意給定一個實(shí)

數(shù)了,我們總能作一個向量起終點(diǎn)的向量基本定理做好

a=xe,使它的長