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文檔簡(jiǎn)介
人教A版數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材分析
向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的,是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之
一,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景和深刻的幾何
背景,是解決幾何問題的有力工具.在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用.在本單元中,學(xué)生
將了解向量豐富的實(shí)際背景,理解平面向量及其運(yùn)算的意義,學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算、
平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量
語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)及物理中的一些問題.發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.
1.本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍
(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念
通過力和力的分析等實(shí)例,了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量和向量相等
的含義,理解向量的幾何表示。
(2)向量的線性運(yùn)算
①通過實(shí)例,掌握向量加、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義。
②通過實(shí)例,掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義,以及兩個(gè)向量共線
的含義。
③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。
(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
①了解平面向量的基本定理及其意義。
②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。
③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。
④理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
(4)平面向量的數(shù)量積
①通過物理中“功”等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。
④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直
關(guān)系。
(5)向量的應(yīng)用
經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的
過程,體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,發(fā)展運(yùn)算能力和解決
實(shí)際問題的能力。
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下:
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程安排內(nèi)容
向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來引進(jìn)的新內(nèi)容,為了保證其科學(xué)性,同時(shí)又易于被學(xué)生接受,
根據(jù)向量知識(shí)的發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律,根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)向量?jī)?nèi)容的定位,并考慮到學(xué)
生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來的經(jīng)驗(yàn),本章按照如下次序來編排:
向量的實(shí)際背景及基本概念一向量的線性運(yùn)算一平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一向量的
數(shù)量積一向量應(yīng)用舉例.
課標(biāo)要求的具體化和深廣度分析
①平面向量的實(shí)際背景及基本概念
《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求
通過力和理解向量的概念,掌握
如:用向量a表示向東走了6km,則-a表示
力的分析等實(shí)向量的幾何表示,了解
例,了解向量共線向量
的實(shí)際背景,一輛汽車從A地出發(fā)向西行駛了lOOkw,到
理解平面向量達(dá)B地,可以用向量a表示,那么從B地出發(fā)至UA
和向量相等的達(dá)地應(yīng)如何表示?
含義,理解向向量a,6都是非零向量,下面說法不正確的
量的幾何表是()
示.(A)向量a與6反向,則向量a+6與向量a
的方向可能相同
(B)向量a與6反向,則向量a+6與向量6
的方向可能相同
(C)向量a與6反向,且,卜忖,則向量a+b
與向量a的方向可能相同
(D)向量a與6反向,且,|<W,則向量a+6
與向量a的方向可能相同
②向量的線性運(yùn)算
《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求
①通過實(shí)例,①如:若向量a表示向東走了2協(xié)?,6表示向南①掌握向量的加法與
掌握向量加、走了Tkm,則a-b表示.減法,并理解其幾何意
減法的運(yùn)算,已知下列各式義.
并理解其幾何②掌握實(shí)數(shù)與向量的
@AB+BC+CA;
意義.積的運(yùn)算,理解兩個(gè)向
②通過實(shí)例,量共線的充要條件.
@AB+MB+BO+OM,
掌握向量數(shù)乘③會(huì)進(jìn)行向量的線性
的運(yùn)算,并理運(yùn)算.
?OA+OB+BO+CO,
解其幾何意
義,以及兩個(gè)
@AB-AC+BD-CD-,
向量共線的含
義.其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()
③了解向量的(A)1(B)2(C)3(D)4
線性運(yùn)算性質(zhì)
②已知向量a,滿足
及其幾何意
義.
BC=—5a+66,CD-la—2b,則一定共線的三
點(diǎn)是()
(A)A,B,D(B)A,B,C
(C)B,C,D(D)A,C,D
③如:在AABC中,D,尸分別是1C的中點(diǎn),
BF與CD交于0,設(shè)AB-a,AC-b,用a,b
表示向量X。.
③平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求
①了解平面向①如:某人在靜水中游泳,速度為每小時(shí)3如?,①了解平面向量的基
量的基本定理水流的速度為每小時(shí)4km,如果他要垂直游到對(duì)本定理
及其意義.岸,則他的實(shí)際速度是多少?②理解平面向量的坐
②掌握平面向②如:已知平行四邊形/版的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別標(biāo)的概念
量的正交分解為A(-2,1),B(3,4),C(-1,3),則頂點(diǎn)D③掌握平面向量的坐
及其坐標(biāo)表的坐標(biāo)為.標(biāo)運(yùn)算
示.④理解兩個(gè)向量共線
③如:已知4(0,1),8(3,-4)且點(diǎn)。在乙4。8的
③會(huì)用坐標(biāo)表的充要條件
示平面向量的平分線上,若|。。|=2,則向量反=
加、減與數(shù)乘
運(yùn)算.
④己知向量)=(%/2),而=(4,5),
④理解用坐標(biāo)
表示的平面向
3=(一女,10)且A,B,。三點(diǎn)共線,則
量共線的條
件.k=
④平面向量的數(shù)量積
《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求
①通過物理中①明確平面向量數(shù)量
①如:用兩根夾角為120。角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一
“功”等實(shí)積的定義、數(shù)學(xué)表達(dá)式
例,理解平面?zhèn)€燈具,若燈具的重量為10N,則每根繩子的拉及其幾何意義
向量數(shù)量積的力大小是.②明確向量6在向量a
含義及其物理的方向上的投影
②如:已知點(diǎn)A(知一1),6(2,2),C(—4,6),則
意義.③掌握數(shù)量枳的公式,
②體會(huì)平面向能進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算
而在衣上的投影的值為
量的數(shù)量積與④明確兩向量夾角的
向量投影的關(guān)③如:a=(-3,2),b=(-4,k),若(5a—6)意義,掌握兩向量垂直
系.?(3a-6)=55,求實(shí)數(shù)A的值.的充要條件,能用兩種
③掌握數(shù)量積形式表示向量垂直的
④如:兩單位向量a,6的夾角為60,則兩向量
的坐標(biāo)表達(dá)充要條件.
式,會(huì)進(jìn)行平尸2a+Z>與干3a+2b的夾角為
面向量數(shù)量積換垂直的題
的運(yùn)算.
④能運(yùn)用數(shù)量
積表示兩個(gè)向
量的夾角,會(huì)
用數(shù)量積判斷
兩個(gè)平面向量
的垂直關(guān)系.
⑤向量的應(yīng)用
《標(biāo)準(zhǔn)》表述《標(biāo)準(zhǔn)》要求的具體化和深廣度分析《大綱》相應(yīng)的要求
經(jīng)歷用向量方掌握平面兩點(diǎn)間的距
如圖,在平行四邊形ABC。中,DE=-DC,
法解決某些簡(jiǎn)3離公式、掌握線段的
單的平面幾何AE與BD交于F,用向量的方法證明:定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)
問題、力學(xué)問DF=、DB.公式、平移公式,并能
題與其他一些4熟練運(yùn)用,會(huì)用平面向
實(shí)際問題的過_DEC量數(shù)量積處理長(zhǎng)度、角
程,體會(huì)向量實(shí)際問題度等有關(guān)問題
是一種處理幾........—如:一條河的兩岸平
何問題、物理AB行,河的寬度為
問題等的工0.4Am,一艘船從一岸邊的A處出發(fā)駛向?qū)Π?
具,發(fā)展運(yùn)算已知船速為同=5嗎,水速為同=3%%,
能力和解決實(shí)
際問題的能欲使航行最短,則所用時(shí)間為一
力.
(2)本單元變化之處
①刪繁就簡(jiǎn),降低了知識(shí)的難度
②調(diào)整章節(jié),凸顯了知識(shí)的框架
③貼近生活,重視了知識(shí)的應(yīng)用
(3)人教B版向量一章的教材特點(diǎn)
強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想,明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位
向量具有明確的幾何背景,向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義,因此涉及長(zhǎng)度、
夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決.另外,向量及其運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形
的性質(zhì)緊密相聯(lián),向量的運(yùn)算(包括運(yùn)算律)可以用圖形直觀表示,圖形的一些性質(zhì)也可以用
向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)來表示.例如,平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,而向量的
加法及其交換律(a+》=8+a)又可以表示平行四邊形的性質(zhì)(在平行四邊形AB/7CD中,AD
〃BC,AB/7CD,絲ACB。).這樣,建立了向量運(yùn)算(包括運(yùn)算律)與幾何圖形之間的關(guān)
系后,可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平,向量運(yùn)算(運(yùn)算律)把向量與幾何、代數(shù)有
機(jī)地聯(lián)系在一起.
幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來
代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對(duì)這
些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論,然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)
結(jié)果.如果把解析幾何的方法簡(jiǎn)單地表述為
[形到數(shù)]一一[數(shù)的運(yùn)算]——[數(shù)到形],
則向量方法可簡(jiǎn)單地表述為
[形到向量]一一[向量的運(yùn)算]一一[向量和數(shù)到形].
教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想,并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解
決幾何問題的“三步曲”.為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性,教科書注意引導(dǎo)學(xué)生
在解決具體問題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納,同時(shí)還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的力量無限;如
果沒有運(yùn)算,向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語.
說明:由于我們按照必修1,必修4的順序進(jìn)行教學(xué),因此向量法這種解決問題的方法就
顯得尤其重要,他為今后學(xué)習(xí)解析法奠定了基礎(chǔ)。
二、教學(xué)方式概述
人教B版教材對(duì)教師的教學(xué)方式,教師駕馭課堂的能力,教師把握教材的程度提出了更高的
要求。
講授啟發(fā)式、自主探究式
向量是以往高中課程中已經(jīng)出現(xiàn)的內(nèi)容,新課標(biāo)教材考慮的是通過改進(jìn)呈現(xiàn)方式,提供
直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、
演繹證明、反思與建構(gòu)等思維活動(dòng)的載體,達(dá)到體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育新理念,促使學(xué)生采取積極主
動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí),教師改進(jìn)教學(xué)方式,可以提高教學(xué)質(zhì)量,使學(xué)生打好數(shù)
學(xué)基礎(chǔ),提高數(shù)學(xué)思維能力.
1.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量?jī)?nèi)容
2.加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性,使學(xué)生明確研究向量的基本思路
3.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)向量法的思想實(shí)質(zhì)
掌握向量法的“三步曲”:
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)
化為向量問題:
(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
4.注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比
三、教學(xué)資源概述
教材、教參、多媒體或?qū)嵨锿队皟x、尺規(guī)
四、課時(shí)建議
本單元教學(xué)約需12課時(shí)
2.1平面向量的實(shí)際背景及基本運(yùn)算2課時(shí)
2.2平面向量的線性運(yùn)算2課時(shí)
2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2課時(shí)
2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)
2.5平面向量應(yīng)用舉例2課時(shí)
小結(jié)2課時(shí)
數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計(jì)方案
第一學(xué)時(shí)?第二學(xué)時(shí)
2.1.1向量的概念
一.學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.關(guān)于向量的概念
(1)了解向量產(chǎn)生的物理背景,理解共線向量,相等向量等概念,理解向量的幾何
表示;
(2)經(jīng)歷向量概念的形成過程,體會(huì)由實(shí)例引入概念的方法,并通過實(shí)例,體驗(yàn)用
向量表示點(diǎn)的位置的方法,培養(yǎng)學(xué)生提出問題,分析問題和解決問題的能力.
(3)通過學(xué)習(xí),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問題,物理問題和數(shù)學(xué)問題中的作
用,培養(yǎng)學(xué)生觀察,類比聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和
鉆研精神.
2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算
(1)通過實(shí)例,掌握向量加法,減法,向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義;
(2)讓學(xué)生能由數(shù)的運(yùn)算律類比向量的運(yùn)算律,并結(jié)合圖形驗(yàn)證相關(guān)的運(yùn)算律,
強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的形成過程的認(rèn)識(shí),并正確表述探究的結(jié)果.
(3)通過學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算,初步學(xué)會(huì)用向量的方法解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用
問題.
二.重點(diǎn)難點(diǎn)
1.關(guān)于向量的概念
(1)重點(diǎn)是向量的概念,相等向量的概念和向量的幾何表示;
(2)難點(diǎn)是對(duì)向量概念的理解;
2.關(guān)于向量的線性運(yùn)算
(1)重點(diǎn)是向量的加法運(yùn)算,向量的減法運(yùn)算,向量的數(shù)乘運(yùn)算,法則的理解
及其幾何意義;
(2)難點(diǎn)是對(duì)減法定義的理解及正確運(yùn)用法則,運(yùn)算律進(jìn)行向量的線性運(yùn)算,
并利用向量方法解決幾何問題.
三.教學(xué)過程
教本環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
引入新課對(duì)向量全章的概念應(yīng)用讓學(xué)生了解大致
的介紹:通過對(duì)書(1)通過具體的內(nèi)容和小學(xué)習(xí)本
上章前話的解讀,例題1體會(huì)向量的章的重要性
讓學(xué)生體會(huì)向量的概念和幾何表示;
豐富實(shí)際背景,了通過例題2和例題
解向量的研究對(duì)象3鞏固向量的幾何
和研究方法,初步表示,相等,共線
了解向量與幾何代向量等概念
數(shù)之間的關(guān)系.
⑵概念引入與形
成
概念形成1從常見的物理量例1船向南航行
力,位移等了解它100海里和向西航
們的特征是既有大行100海里的位移
小又有方向的量,相等嗎選擇適當(dāng)
建立向量的認(rèn)知基的比例尺用有向
礎(chǔ),自然引出向量線段表示這兩次
航行.
2荽比學(xué)生熟悉的
例2某人從點(diǎn)A出
數(shù)量如溫度,身高,發(fā)向西走200加到
體積,風(fēng)速,時(shí)間,達(dá)8點(diǎn),然后朝西
通過比較,使學(xué)生
偏北方向走
在比較中加深對(duì)概45°
念的認(rèn)識(shí).300m到達(dá)C點(diǎn),
3讓再舉出幾個(gè)既最后又向東走
有大小又有方向的200〃?到達(dá)。點(diǎn).
量,以準(zhǔn)確抓住向⑴按1:10000的
量的特點(diǎn).比例作出向量
表示方法
(3)而衣和麗;
①再次類比數(shù)
的表示方
(2)求。4和AC
法,引出用
有向線段表的值.(精確到
示向量;(幾1m)
何表示)例3在圖中的4x5
②用有向線段的方格紙中有一
的方向和長(zhǎng)
個(gè)向量贏,分別
度分別表示
向量的方向以圖中的格點(diǎn)為
和大小,賦向量的起點(diǎn)和終
予向量的幾點(diǎn)作向量.
何意義;(1)
③提出字母表其
示方法,明中
確書寫上的與
要求,為向
量的運(yùn)算做AB
好準(zhǔn)備.相等的向量有幾
(4)相關(guān)概念辨析個(gè)
①從向量的模
(2)與AB長(zhǎng)度相
引出零向量
和單位向量等的共線向量有
的概念;多少個(gè)
②讓學(xué)生了解
相等向量規(guī)
定的合理
性,可利用
計(jì)算機(jī)演示
向量的平行
移動(dòng),體會(huì)
向量的相
等,體會(huì)向
量與有向線
段之間的關(guān)
系;
③工向量的平
行移動(dòng)體會(huì)
平行向量和
共線向量的
等價(jià)性;
歸納小結(jié):向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用,找相等向量和用向量表示點(diǎn)的位置
作業(yè):P79練習(xí)A,B
2.1.2向量的線性運(yùn)算
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
引入新課1)引入實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備通過實(shí)際例子,使
數(shù)因?yàn)橛辛诉\(yùn)情景1:讓兩個(gè)學(xué)學(xué)生學(xué)會(huì)用向量
算而使數(shù)的威力無生中的甲從教室解決實(shí)際問題的
窮,與數(shù)的運(yùn)算類的某地A位移到方法
比,向量是否也能3地,再從8地位
進(jìn)行運(yùn)算呢從向量移到。地,
的物理背景和數(shù)的乙從A直接到達(dá)
運(yùn)算中應(yīng)該可以得C地,觀察比較.
到一些啟發(fā)結(jié)論:前者是位
探究向量加法的定移的合成,兩次
義法則一>一
①教師提出問題:位移的結(jié)
怎么定義任意二個(gè)—
向量的和?(教師果為AC,叩與后
在黑板上畫出二個(gè)者從4點(diǎn)直接
器白由),讓學(xué)生小組到C點(diǎn)的位移近
討論以后,出現(xiàn)兩相同;
種不同定義方式三情景2:觀看事前
角形法則和平行四由學(xué)生做的力的
邊形法則.合成的實(shí)驗(yàn)經(jīng)過
②針對(duì)兩種方式,要求①用二個(gè)互
教師引導(dǎo)學(xué)生理解相垂直的力
它們的本質(zhì)的一致
6=3,工=4
性;
后同時(shí)提出思考
把橡皮條拉長(zhǎng)
問題那種定義更一定的距離0E,
加嚴(yán)密?根據(jù)學(xué)
再撤去聽,尸2,用
生的回答,啟發(fā)
學(xué)生注意到平行一個(gè)力尸作用在
四邊形法則對(duì)于橡皮條上,使橡皮
二個(gè)向量不能構(gòu)沿著相同的方向
成平行四邊形時(shí)伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度,
要增加補(bǔ)充說記錄廠的大小和
明,即二向量共方向;
線時(shí)的向量和如
②改變片,工的大
何?
④最后看書上相小和方向,重復(fù)以
關(guān)內(nèi)容,補(bǔ)充對(duì)上實(shí)驗(yàn),探究尸與
零向量的運(yùn)算規(guī)
的關(guān)系.
定.
(5)向量加法定義③得出結(jié)論:排除
的運(yùn)算律誤差,合力產(chǎn)的方
①請(qǐng)學(xué)生類比
向在以片,尸2為鄰
實(shí)數(shù)加法運(yùn)
算律,猜測(cè)邊的平行四邊形
一下運(yùn)算律的對(duì)角線上,且大
是什么?小等于平行四邊
②由學(xué)生提出形該對(duì)角線的長(zhǎng).
探究的途例4如圖,已知向
徑,并分組量入b,用三角
驗(yàn)證,交流形法則和平行四
作圖思路邊形法則求作向
③教師投影學(xué)量2+5
生設(shè)計(jì),并
根據(jù)情況進(jìn)
行歸納點(diǎn)
評(píng),總結(jié)探
究過程和探
究結(jié)論,讓
學(xué)生有一個(gè)
完整的認(rèn)
識(shí).
(6)應(yīng)用舉例
①通過例5體
會(huì)向量加法
的實(shí)際應(yīng)
用;
②通過例6體
會(huì)向量加法
在幾何中的
應(yīng)用.
例5一架飛機(jī)向南
飛行400府?,然后
改變方向向東飛行
300km,試求飛機(jī)
飛行的路程和位
移.
例6在平面內(nèi)能否
構(gòu)造三個(gè)非零向量
a,b,c使
a+b+c=6.根據(jù)
構(gòu)造結(jié)果還可以
繼續(xù)提出若
.---?■■?—?
AB+BC+CA^Q,
則A三點(diǎn)共線
是否正確
3.關(guān)于向量的減法
運(yùn)算部分教學(xué)內(nèi)容
⑴類比數(shù)的減法
運(yùn)算,提出相反向
量的概念,定義減
法運(yùn)算;
⑵根據(jù)減法的定
義,探索做出兩個(gè)
向量的差的方法,
總結(jié)出向量減法的
三角形法
則;
(3)比較加法和減
法的三角形法則的
區(qū)別
(4)應(yīng)用舉例
①通過例7體
會(huì)向量的加
法和減法的
三角形法則
的混合應(yīng)用;
②通過例8體
會(huì)向量減法
的實(shí)際應(yīng)用.
例7在五邊形
ABCDE中,
若而
BC^b,CD^c,
,DE^d,EA^e,
求作向量
a-c+b-d-e
例8已知一艘船從
A點(diǎn)出發(fā),以
2y/3km/h的速度
向垂直于對(duì)岸的方
向行駛,而船
實(shí)際行駛速度為
4km/h,求河水的
流速的大小.
歸納小結(jié):使學(xué)生理解并掌握向量加法的就幾何意義。
作業(yè)1:P83練習(xí)A,B
作業(yè)2:P85練習(xí)A,B
數(shù)學(xué)學(xué)科必修4模塊第二單元教學(xué)設(shè)計(jì)方案
第三學(xué)時(shí)?第四學(xué)時(shí)
§2.1.4數(shù)乘向量(新教改B版教材)
教學(xué)目標(biāo):(1)掌握向量數(shù)乘運(yùn)算法則,并理解其幾何意義;
(2)讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類比向量運(yùn)算律,并且驗(yàn)證強(qiáng)化
對(duì)知識(shí)的形成過程的認(rèn)識(shí),正確表示結(jié)果;
(3)初步學(xué)會(huì)用向量的方法解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
重點(diǎn):向量的數(shù)乘運(yùn)算法則的理解及幾何意義。
難點(diǎn):正確運(yùn)用法則解決幾何問題。
教學(xué)過程:
教學(xué)
教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
(1)前兩節(jié)我們介紹了解了向
量的加法和減法,其中“加法”
我們要牢固掌握“三角形法則”
和“平行四邊形法則”;
例如:平面內(nèi)有向量a和人:
和f》師生互答
ab
①當(dāng)順次首尾連結(jié)
與
時(shí):,
復(fù)習(xí)和向量即生/圖的帚示;(副板教師講解復(fù)習(xí)舊知識(shí),
提問書)結(jié)合引出新知識(shí)
②當(dāng)重合起點(diǎn)或終點(diǎn)時(shí),圖略,
復(fù)習(xí)師生互答復(fù)習(xí)舊知識(shí)
和向量應(yīng)用“平行四邊形法則”
提問求得;與引出新知識(shí)
而且向量的減法我們可以看成教師講解
一個(gè)向量加上另一個(gè)向量的等
結(jié)合
模、反向、或記住口訣“連結(jié)
終點(diǎn),指向被減”直接由代數(shù)
形式求得結(jié)果。
例如:AB~AC=CB
(2)下面我們來看這么一道
題:
1.例:已知如圖向量:為非零
向量,試用作圖方式表示;+a
->TT
+〃和一〃+(—〃)
a
(投影)
函瞬學(xué)彈概念及首先我們抓住學(xué)生通過對(duì)
性痂它的特點(diǎn),;+老師利用向量加
1.向量數(shù)乘(實(shí)數(shù)和向量相乘)
a+a是區(qū)別法的講解,能夠
的定義:
于一般情況下很自然地接受向
實(shí)數(shù);1和向量。的乘積是
的三個(gè)相同的量和實(shí)數(shù)相乘的
定理
一個(gè)向量,記作癡,且加的向量的加法,
這樣一種從一般
形成長(zhǎng)冽=4a.顯然順次連結(jié)
的加法到乘法的
(而且我們可以根據(jù)剛才首尾,我們依
運(yùn)算
變換,通過觀察、
的例題總結(jié)出這樣的結(jié)論:)照加法規(guī)律可
率的比較、抽象、概
癡(a/0)的方向以很容易的得
形成[當(dāng)4>0時(shí),與。同方向;到3:的幾何括出實(shí)數(shù)與向量
[當(dāng)丸<0時(shí),與a反方向.
相乘的幾何表示
及證表示
當(dāng)
這一點(diǎn)學(xué)生是與代數(shù)表示法。
明/1=0或。=0時(shí),0。=0或;10=0.
容易理解并接發(fā)展學(xué)生的理性
2.實(shí)數(shù)和向量相乘所滿足的運(yùn)
受的,而一W+
算率:思維的能力。
(1)(/i+〃)a=/Ui+〃Q;(—a)也是兩對(duì)于數(shù)乘向
(2)%(〃a)=(A/z)?;個(gè)和:等模反量的計(jì)算法則,
(3)A(a+b)=Aa+Ab(分向的向量的證明要求不是很
配率).和。這時(shí)我們高,學(xué)生們只需
(以上各運(yùn)算律證明方法會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng)有要理解、掌握、
見后面,(3)的證明類似于例非零實(shí)數(shù)和非
并且能夠靈活運(yùn)
1,略,由學(xué)生自己證明)零向量相乘時(shí)
用該法則解答、
我們只需相應(yīng)
證明題就可以了
擴(kuò)大或縮小向
量的線段長(zhǎng)
度,“例如3?
是將]的線段
擴(kuò)大為。的三
倍”,并且應(yīng)注
意所乘的常數(shù)
是正數(shù)時(shí)得到
的新向量方向
不變,負(fù)數(shù)時(shí)
變?yōu)楹驮蛄?/p>
相反即可。若
原向量已有非
零實(shí)系數(shù),那
么實(shí)系數(shù)相乘
再作系數(shù)。
并且:特殊地,
當(dāng)實(shí)數(shù)0和一
個(gè)向量相乘
時(shí),得到的仍
為一個(gè)向量,
且模為0,即
“零向量”。
(因?yàn)榱阆蛄?/p>
的方向不固定
且模為0,所以
我們不能以一
個(gè)固定方向的
箭頭或一個(gè)點(diǎn)
來表示它,所
以“零向量”
沒有幾何表示
方法,它的代
數(shù)形式為6。)
1.計(jì)算下列各式:例3作圖通過分段
(1)(—2)x—fl;
2是學(xué)生需要鍛設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)
應(yīng)用⑵2(0+方)一3(0-力);煉的能力之生體會(huì)解題思
(3)(4+〃)(〃一b)—(/l_//)(〃+萬).
舉例一,督促學(xué)生路的形成過
解:
應(yīng)用畫好,其次是程,培養(yǎng)學(xué)生
(1)(-2)
舉例=(-2x—;注意回顧和正獨(dú)立思考分
2
=(-i)a=-a確使用向量加析、解決問題
法法則,亦可的能力
(2)2(a+b)-3(a-b)以使用相似先
=2a+2b-3a+3b
?
=(2。-3。)+(2)+3歷得到線段長(zhǎng)度
=-a+5b
的關(guān)系,判斷
(3)(A+〃)(a—b)—(4—〃)(“+b)
=a(Q-b)+〃(a-b)-〃a+b)方向,從而得
+〃(。+力
=Au—Ab+/M—jub—AM到結(jié)論
一4))
=2jua-2Ab
例2.設(shè)x是未知向量,解方程:
5(x+a)+3(x-Z>)=0.
解:原式可變形為:
5X+5G+3X-3)=0
sx=-5a+3b
53,
x=——a+-b
88
(例1和例2所需要注意的是書
寫格式要正確,箭頭不要丟掉)
例3.如圖所示,已知
04'=304,0=3薪,說明向量
而與防的關(guān)系.
解:因?yàn)?/p>
OB=OA+AI
=3OA+3AB
=3(涼+嘉)
->
=30B
所以而'與方共線且方向
相同,長(zhǎng)度是否的3倍.
布置書后練習(xí)A組題目和B組
鞏固所學(xué)知識(shí)
1,2小題.學(xué)生獨(dú)立完成
作業(yè)方法
三.教學(xué)資源建議:
可以參閱之前向量這一部分的參考資料,結(jié)合新教材B版的
自有的參考資料共同完成。
四.教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議:
本節(jié)內(nèi)容介紹的是向量與實(shí)數(shù)相乘的相關(guān)內(nèi)容,其中包括定
義、性質(zhì)以及運(yùn)算法則,對(duì)于這一部分的內(nèi)容我覺得關(guān)鍵是在于讓
學(xué)生能夠從理解的角度認(rèn)可并掌握實(shí)數(shù)與向量相乘的幾何圖形表
Zp*o
課文一開始的引入是從圖形的放大和縮小是否能使用向量的
手段進(jìn)行解決這個(gè)問題入手的,是從向量和實(shí)數(shù)相乘的用法的角
度切入的,可能相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)這個(gè)問題不怎么感興趣。而從
向量的數(shù)乘是向量加法的一種特殊情況入手不僅復(fù)習(xí)回顧了前面
向量的加減運(yùn)算,而且從加法的特例(即幾個(gè)相同的向量相加)
入手,使得學(xué)生能自然地接受幾何表示,不會(huì)覺得很突兀。其次
牢記實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是向量,而不是數(shù),也比較重要,尤其
是當(dāng)向量為零或?qū)崝?shù)為零時(shí),是講解的重點(diǎn)。并且對(duì)于代數(shù)形式,
稍加歸納總結(jié)即可。運(yùn)算率可以讓學(xué)生自己來證明。最后就是在
解題的過程中,要強(qiáng)調(diào)格式的正確性,因?yàn)槭歉咧械男轮R(shí),初
中沒有接觸過,所以正確的格式要堅(jiān)持強(qiáng)調(diào)。
§2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)
算
一(新教改B版教
材)
教學(xué)目標(biāo):使學(xué)生掌握平面向量共線的條件及簡(jiǎn)單的證明過程,會(huì)使用
該定理解題,掌握軸上向量的定義方法,會(huì)計(jì)算向量的坐標(biāo),
利用向量的坐標(biāo)解題。
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn):重點(diǎn)是平行向量基本定理;
難點(diǎn)是平行向量基本定理的應(yīng)用.
教學(xué)內(nèi)容安排:
教學(xué)
教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
環(huán)節(jié)
在學(xué)習(xí)向量概念的時(shí)候,我
們已經(jīng)定義了什么是向量共線
(即平行).而我們要知道向量的
師生互答
共線和平行是同一個(gè)含義,它與
與
復(fù)習(xí)直線的平行、重合不同,兩個(gè)向復(fù)習(xí)舊知識(shí),
教師講解
提問量的基線是同一條直線或兩條引出新知識(shí)
平行直線時(shí),向量都稱為共線結(jié)合
(或平行)向量,〈因?yàn)橄蛄渴亲?/p>
由的>°它的表示方法是力
而且由于零向量覺得方向不定,
所以可以把零向量認(rèn)為成和任
一向量平行的向量。
同學(xué)們要
1.平行向量基本定理:學(xué)生通過
如果肪,貝IJ?!ㄞk;反牢記基本定對(duì)老師利用向
之,如果。//4且6力0,貝IJ存在
理,而且這樣量加法的講
唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得
以來實(shí)數(shù)與這解,能夠很自
(這樣我們給出的這個(gè)平
條軸上的向量然地接受向量
行向量的基本定理,根據(jù)它就可
建立起----對(duì)和實(shí)數(shù)相乘的
以判斷兩個(gè)向量是否共線了,實(shí)
應(yīng)的關(guān)系,至
定理際上,給出的這種判斷方法是一這樣一種從一
此,我們就可
形成種代數(shù)的判斷方法,后面在學(xué)習(xí)般的加法到乘
了坐標(biāo)后我們?cè)谂袛嗍欠窆簿€
定理以用數(shù)值來表法的變換,通
時(shí)也是根據(jù)這種方法來判斷
形成小向里.給我過觀察、比較、
的.)
們奠定了向量
定理抽象、概括出
2.單位向量:
形成的數(shù)量化的基向量的坐標(biāo)表
給定一個(gè)非零向量。,與。
礎(chǔ),也是我們
同方向且長(zhǎng)度等于1的向量,叫示,為以后向
做向量。的單位向量.將來平面向量量平面的坐標(biāo)
如果。的單位向量記作,
空間向量數(shù)量做好準(zhǔn)備,是
由數(shù)乘向量的定義可
化的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)非常
知:或
那么我們重要的坐標(biāo)表
二.軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算:
由數(shù)軸上兩點(diǎn)示的引理。另
(對(duì)于數(shù)軸定義的回憶)
的距離可以用一方面有助于
規(guī)定了方向和長(zhǎng)度單位的
直線叫做*gf7cA->B
右邊的點(diǎn)的坐發(fā)展學(xué)生的理
已知軸/.取單位向量e,使標(biāo)減去左邊點(diǎn)性思維的能
e的方向與/同方向,根據(jù)向量
的坐標(biāo)這種方力,從簡(jiǎn)單的
平行的條件,對(duì)軸上任意向量
法來計(jì)算兩點(diǎn)向量的知識(shí)開
a,一定存在唯一實(shí)數(shù)%,使
間的距離,所始,逐步深入,
a-xe.
以以這兩點(diǎn)為為平面向量的
反過來,任意給定一個(gè)實(shí)
數(shù)了,我們總能作一個(gè)向量起終點(diǎn)的向量基本定理做好
a=xe,使它的長(zhǎng)
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