橢圓的簡單幾何性質(zhì)同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、必備知識基礎(chǔ)練1.橢圓6x2+y2=6的長軸的頂點坐標(biāo)是()A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1)C.(-6,0),(6,0) D.(0,-6),(0,6)2.焦點在x軸上,長半軸長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x236+y216C.x26+y243.曲線x225+y29=1與xA.有相等的焦距,相同的焦點B.有相等的焦距,不同的焦點C.有不等的焦距,不同的焦點D.以上都不對4.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為(A.13 B.12 C.25.過橢圓x216+y29=1的右焦點F2作直線l,直線l交橢圓于A,B兩點,F1是橢圓的左焦點,則△A.12 B.16 C.47 D.206.(多選題)已知橢圓x2k+8+y29=1的離心率A.-4 B.4 C.-54 D.7.與橢圓y24+x23=1有相同的離心率且長軸長與x8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點與短軸的一個頂點恰好是一個正三角形的三個頂點,且橢圓C二、關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)已知曲線x216-mA.m的取值范圍為(4,16)B.若該橢圓的焦點在y軸上,則m∈(10,16)C.若m=6,則該橢圓的焦距為42D.若橢圓的離心率為63,則m=10.設(shè)橢圓x2m2+y2n2=1的焦點分別為F1(0,2)與F2(0,-2).若此橢圓上存在點P使得△PF1F2為正三角形,則A.4+23 B.27 C.28 D.3611.以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長軸長的最小值為.12.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>參考答案1.D橢圓方程可化為x2+y26=1,焦點在y軸上,長軸頂點的坐標(biāo)為(0,±62.A由題意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+3.B曲線x225+y29=1的焦距為2c=8,而曲線4.B不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),直線l過(0,b),(c,0),則可設(shè)直線l:x∴b2c2=3,a2-c5.B因為x216+y29=1,所以a=4,所以△AF1B的周長為|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=6.BC當(dāng)焦點在x軸上,即當(dāng)k+8>9,即k>1時,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=k+8,b=3,則c=a所以橢圓的離心率e=ca=k-當(dāng)焦點在y軸上,即當(dāng)0<k+8<9,即-8<k<1時,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得b=k+8,a=則c=a2-b2=1-7.x28+y26=1或y28+x26=1所以ca=12,2a=42,解得a又因為所求橢圓焦點既可在x軸上,也可在y軸上,故方程為x28+y268.x212+y所以有tan60°=bc,即b=3c.又因為橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3所以有a-c=3,而a2=b2+c2,三個等式聯(lián)立得b=3c,a-c9.BC由題意16-橢圓的焦點在y軸上,則m-4>16-m>0?10<m<16,故B正確;若m=6,則x210+y22=1,故c=10若橢圓的離心率為63,則1-m-416-m=23或1-10.C由已知可得橢圓的焦點位于y軸上,且|PF1|=|PF2|=|F1F2|=4,所以點P位于短軸的頂點,且|PF1|+|PF2|=2n=8,解得n=4.又橢圓的半焦距c=2,所以m2=n2-c2=12,所以m2+n2=28.故選C.11.4由題意知,當(dāng)橢圓上的點為短軸端點時,三角形面積取得最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立.∴a≥2,∴2a≥4,即橢圓長軸長的最小值為4.12.解設(shè)P(x0,y0),則PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1·PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y因為P(x0,y0)在橢