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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點,則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.23.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.4.正項等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.545.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.26.已知向量,,若,則()A. B. C. D.7.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.78.若復數(shù)()是純虛數(shù),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.10.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.156011.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.12.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則的值等于__________.14.已知全集為R,集合,則___________.15.已知數(shù)列滿足:,,若對任意的正整數(shù)均有,則實數(shù)的最大值是_____.16.如圖,養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理,在線段之間有一觀察站點,到直線,的距離分別為8百米、1百米,則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動點,點滿足,點的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.18.(12分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點P在底面上的射影為的中點G,點E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.20.(12分)已知橢圓:(),與軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標.21.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.22.(10分)在平面直角坐標系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標;(2)設點,若,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關系轉化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當a=1時,與有無數(shù)多個交點,當直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結合求解.2、D【解析】
分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程;當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.3、D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.4、C【解析】
由等差數(shù)列通項公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和,,,解得或(舍),,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質()與前項和的關系.5、C【解析】
推導出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)性質的合理運用,屬于中檔題.6、A【解析】
利用平面向量平行的坐標條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標運算,屬于基礎題.7、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關系求公差,屬于基礎題.8、B【解析】
化簡復數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.9、A【解析】
畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.10、B【解析】
根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項公式和前項和,利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設該數(shù)列為,令,設的前項和為,又令,設的前項和為.易,,進而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.11、A【解析】
將正四面體補成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關鍵在于,巧妙構造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉化,屬于中檔題.12、D【解析】
作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結合即可得到結論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別,本題屬于基礎題.14、【解析】
先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點睛】本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關于關于參數(shù)的關系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當時,證明:對任意的正整數(shù)都有.當時,成立.假設當時結論成立,即,則,即結論對也成立.由數(shù)學歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.16、【解析】
建系,將直線用方程表示出來,再用參數(shù)表示出線段的長度,最后利用導數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點,所在直線分別作為軸,建立平面直角坐標系,則.設直線,即,則,所以,所以,,則,則,當時,,則單調(diào)遞減,當時,,則單調(diào)遞增,所以當時,最短,此時.故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的實際應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設點,,則,代入化簡得到答案.(Ⅱ)分別計算,的極坐標方程為,,取代入計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)設點,,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標方程為:;,故,極坐標方程為:.,故,,故.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,弦長,意在考查學生的計算能力和轉化能力.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證;(2)取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】(1)在等腰梯形中,點E在線段上,且,點E為上靠近C點的四等分點,,,,,點P在底面上的射影為的中點G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由(1)易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.19、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:.轉換為極坐標方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉換為直角坐標方程為:,化為一般式得化為極坐標方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.20、(1)(2)證明見解析;定點坐標為【解析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關問題時,一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體帶入”等解法.21、(1);(2)4.【解析】
(1)利用三角形的面積公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,進而求得,利用同角三角函數(shù)的基本關系式求得.【詳解】(1)在中,由面積公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,為銳角.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面積公式,考查
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