第6講 三角最值變化多端（含解析）

【例1】設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)=sinx一2cosx取得最大值，則cosθ=.【例2】已知等腰△ABC的腰AB上的中線長為2，則△ABC的周長的最大值是.【例3】f(x)=asinx+cosx(a>0)的圖象向左平移φ個單位長度后，所得的函數(shù)為偶函數(shù)，【例6】在銳角ΔABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBta1.設(shè)當(dāng)x=θ時,函數(shù)f(x)=sin2x一2cos2x取得最大值,則tanθ=.2.已知在△ABC中,BC=4,AO為BC邊上的中線,且OA=AB一AC,則△ABC的面積最大值為.—————4已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且3a2=c2一b2,則tanA.tanB的取值范圍是.5.若在銳角△ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanA+tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值為.________【例1】設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)=sinx一2cosx取得最大值，則cosθ=.【點撥】根據(jù)函數(shù)解析式的特征，直接利用輔助角公式進行合一變形，再利用取最值的條件，即可求出θ角，進而求出cosθ的值.因為當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)取得最大值，所以f(x)max=f(θ)=·sin(θ一φ)=·.【點撥】對所給函數(shù)用輔助角公式變形后，根據(jù)取最值的條件，可以求出角θ一φ的正余弦值，再結(jié)合三角恒等變換進行角的轉(zhuǎn)化，即可求出cosθ的值.因為當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)取得最大值，所以f(x)max=f(θ)=·sin(θ一φ)=·.【點撥】考慮到函數(shù)能取到最值，本題可通過函數(shù)的單調(diào)性求解，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的一種常用方法，故可利用導(dǎo)數(shù)求解.【解法3】因為f(x)=sinx一2cosx，所以f,(x)=cosx+2sinx，又因為當(dāng)x=θ時，f(x)取最大值，故f,(θ)=0，因為tanθ<0，所以θ為第二象限角或第四象限角，當(dāng)θ為第二象限角時，cosθ=-5，sinθ=5，此時f取最大值、i5，當(dāng)θ為第四象限角時，cosθ=5，sinθ=-5，此時f取最小值-，舍去，所以cosθ=-【點撥】本題所給函數(shù)能取到最大值，而柯西不等式是研究函數(shù)最值的一種方法，所以本題可以用柯西不等式求解，再利用柯西不等式取最值的條件求出θ,進而求解.【解法4】由柯西不等式有f(x)=sinx-2cosx當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)tanx=-時等號成立，f(x)取得最大值，因為x=θ時，f(x)取得最大值，所以f(θ)=sinθ-2cosθ>0，所以θ為第二象限角，利用sin2θ+cos2θ=1且tanθ=-解得cosθ=-【點撥】本題兩個變量為sinx與cosx，考慮到sin2θ+cos2θ=1，因此可以利用單位圓分析求解.【解法5】由已知f(x)=sinx-2cosx，令u=c則u22如圖6-1，y的幾何意義為直線v=2u+y的縱截距.當(dāng)直線v=2u+y與圓相切時，如圖6-1，y取最大值．此時直線的斜率為2，易得即tanθ=-此時f(x)取得最大值，且θ為第二象限角.故可求得cosθ=-【點撥】本題把所給函數(shù)兩邊平方，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx與cosx的齊次式，由此求出tanθ,進而求出cosθ的值.【解法6】所以由已知sinθ-2cosθ=·,其中cosθ<0，可知sin2θ-4sinθcosθ+4cos2θ=5，所以化簡4tan2θ+4tanθ+1=0，所以tanθ=-又cosθ<0，所以cosθ=-【賞析】【解法1】、【解法2】都是利用輔助角公式解題，區(qū)別在于角度的轉(zhuǎn)化方式不同.【解法3】利用導(dǎo)數(shù)求最值，是常規(guī)方法.【解法4】根據(jù)表達(dá)式的形式利用柯西不等式求最大值，從而得到等號成立的條件，進而求出tanθ,再求出cosθ.【解法5】先利用“sin2θ+cos2θ=1”，采用換元法，化為直線與圓的位置關(guān)系，再利用數(shù)形結(jié)合求解.【解法6】巧妙地使用“1=sin2θ+cos2θ”,從而使得分母分子同時為齊二次，再轉(zhuǎn)化為tanθ的方程.三角函數(shù)中求未知角的三角函數(shù)值是常見的問題，此類問題的常見解決方法有兩種，一是從角本身出發(fā)，利用三角函數(shù)關(guān)系列出方程求解，當(dāng)然要注意角度的范圍限制；二是向已知角(即三角函數(shù)值已知的角)靠攏，利用已知角將所求角表示出來，再利用三角函數(shù)恒等變換求解.【例2】已知等腰△ABC的腰AB上的中線長為2，則△ABC的周長的最大值是.【點撥】本題屬于等腰三角形的中線問題，首先利用余弦定理，可以找到變量的等量關(guān)系，接下來根據(jù)變量的等量關(guān)系，有三種思路，可以采用三角換元，或判別式，或柯西不等式求周長的最值.在△ACD和△BCD中使用余弦定理，所以思路一：三角換元所以△ABC的周長的最大值為6·.思路二：判別式需求△ABC的周長即4x+y的最大值，設(shè)4x+y=m，將其代入2x2+y2=8中，得到關(guān)于x的方程18x2-8mx+m2-8=0有兩個相等的實數(shù)根時取最值，思路三：柯西不等式，4-x2,，即等號成立.【點撥】本題可以通過作輔助線找到一個等量關(guān)系，然后采用柯西不等式即可求出周長的最值.【解法2】222-x2=8x2+y2，所以所以x+y，當(dāng)且僅當(dāng)，即y2=64x2時，等號成立.所以△ABC的周長的最大值為6·.【賞析】本題依托于等腰三角形的中線，建立變量之間的關(guān)系.三角換元的解題思路適用于已知條件中出現(xiàn)平方和為定值，再依據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)變形，利用有界性求解，要注意換元后的未知數(shù)的取值范圍.利用判別式的解題思路，往往是因為題中含有二次代數(shù)式，可以使用方程有解的思路來解答，這類方法一般要注意題設(shè)轉(zhuǎn)化為方程在什么范圍上有解．注意到此題中恰好是方程有兩個相等實根的情況，利用此法也可方便求解.應(yīng)用柯西不等式的思路，在于對題設(shè)中定值的判定，在解決此類問題中較為快捷.【解法2】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這就要求對題設(shè)中的已知條件的幾何關(guān)系有一定的認(rèn)知，相對于利用余弦定理求解，顯出了幾何關(guān)系之間的巧妙．之后再利用柯西不等式，簡潔明快.【例3】f(x)=asinx+cosx(a>0)的圖象向左平移φ個單位長度后，所得的函數(shù)本為偶函數(shù)，則8sin2φ+a+的最小值為【點撥】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的最值，考慮到待求最值函數(shù)式含有兩個量，因此可以先根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，對變量x賦特殊值0，然后兩邊平方，即可找到變量a與φ的關(guān)系，再利用基本不等式求出函數(shù)最值.【解析】22【點撥】本題先根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)f(x+φ)稍作變形，即可找到變量a與φ的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出函數(shù)最值.【解法2】atanφsin2φ當(dāng)且僅當(dāng)sinφ=時取等號，此時8sin2φ+a+取得最小值8.【點撥】先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由于函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=φ對稱，故x=φ必為極值點，進而，可以找到變量a與φ的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出函數(shù)最值.【解法3】因為f,(x)=acosx一sinx，f(x)的圖象關(guān)于x=φ對稱，所以x=φ必為極值點，a【點撥】本題根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，在定義域內(nèi)取兩個特殊值即可找到變量a與φ的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出函數(shù)最值.【解法4】將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ個單位長度后，(2,(2,(2,(2,(2,(2,(2,(2,.(2,(2,(2,(2,.所以acosφ一sinφ=一acosφ+sinφ,即2acosφ a當(dāng)且僅當(dāng)a=2±3時取等號，此時8sin2φ+a+取得最小值8.【賞析】本題需要根據(jù)已知條件求出tanφ與a之間的關(guān)系，再將8sin2φ+a+統(tǒng)一為φ或a的函數(shù)，最后利用均值不等式求解．在求tanφ與a的方式上幾種解法有所不同，【解法1】利用了f(x)在對稱軸x=0處取得最值；【解法2】利用了f(x)為偶函數(shù)，則其解析式為y=Acos(wx)；【解法3】利用了在對稱軸處取得極值的特點，進而導(dǎo)數(shù)為零；【解法4】則以特殊值為突破ロ.在最值的處理上，化為關(guān)于φ的函數(shù)后，要注意sin2φ的正負(fù).【點撥】本題是向量與三角的綜合應(yīng)用問題，可以結(jié)合向量的幾何意義，把題中所給向量條件轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系，進而求出MA的取值范圍.【解析】△ABC為等邊三角形.如圖64，先固定B，M使得BM=2，然后點C在半徑為1的圓M上運動，將△BMC以B為中心順時針旋轉(zhuǎn)60O，可得△BFM為等邊三角形，連結(jié)AF，可以證明△BMC三△BFA，所以MF=2，AF=1，可知A點的軌跡是圓M繞點B旋轉(zhuǎn)60O后得到的圓F，所以有所以MA的取值范圍是[1,3].【點撥】先根據(jù)向量的關(guān)系得出△ABC為等邊三角形，再結(jié)合余弦定理即可求出MA的取值范圍.【解法2】由上，可得△ABC為等邊三角形.如圖65，△BMC以B為中心順時針旋轉(zhuǎn)60O，所以△MBD是等邊三角形．在△ADM中，AD=CM=1，DM=2.所以MA的取值范圍是[1,3].解題名師北京張建寧【點撥】本題屬于向量與三角的綜合應(yīng)用問題，考慮到托勒密定理，因此本題可以應(yīng)用此定理求MA的取值范圍.【解法3】托勒密定理：在凸四邊形ABCD中，必有AC.BDAB.CD+AD.BC，當(dāng)A,B,C,D四點共圓時取等號.△ABC為等邊三角形.如圖68，當(dāng)點A,M在BC兩側(cè)時，由AM.BCAB.CM+AC.BM可得AM3.如圖69，當(dāng)點A,M在BC同側(cè)時，由AM.BC+AB.CMAC.BM可得AM1.【賞析】【解法1】利用旋轉(zhuǎn)變換得到點A的軌跡為圓，將AM的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為圓上動點與一定點距離的最值問題后得解．【解法2】利用旋轉(zhuǎn)變換將條件“集中”到△AMF（或△AMD）中．利用余弦定理求出取值范圍．【解法3】利用托勒密定理求AM的取值范圍，利用托勒密定理時要注意AM可能成為邊或?qū)蔷€，因此要進行分類討論.【例5】若銳角△ABC滿足|2，則tanC的取值范圍是()【點撥】本題屬于向量與三角函數(shù)綜合問題，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，把向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，再結(jié)合兩角和的正切公式，即可求出tanC的取值范圍.【解析】2c22即2sinA=3sinBcosC=2sin(B+C)，整理得sinBcosC=2cosBsinC，【點撥】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，把向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，再利用兩角和的正切公式，即可求出tanC的取值范圍.【解法2】由條件(AB+AC).BC=AB.BC+AC.BC=3|BC代入得accosB+abcosC=a2，ccosB+bcosC=a，【點撥】根據(jù)題中所給條件，引出輔助線，結(jié)合向量的模長公式及向量數(shù)量積的定義，即可求出tanC的取值范圍.【解法3】2即2DC，又△ABC為銳角三角形，【賞析】正弦和余弦定理是解三角形的重要工具，也是三角形中邊角轉(zhuǎn)化的主要手段，本題在求解中充分借助題設(shè)中的等式,運用向量的數(shù)量積公式將其變?yōu)槿堑仁剑窘夥?】對條件向量等式的等價變形直接得到了三角形邊的關(guān)系，最后借助題設(shè)中的銳角三角形建立不等式，求出tanC的取值范圍．【解法2】直接利用數(shù)量積定義得到三角形邊角關(guān)系，再利用正弦定理得到角的關(guān)系，最后再利用三角形為銳角三角形這一條件，求出tanC的取值范圍．【解法3】另辟蹊徑，作BC邊上的高線，在直角三角形中重新考量tanC，利用直角這一臨界值求出此時tanC的值，便可由銳角三角形的條件求出tanC的取值范圍.【例6】在銳角ΔABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBta【點撥】題中出現(xiàn)三個角，采用消元思想，結(jié)合均值不等式，即可求出tanAtanBtanC的最小值.【解析】角形條件，故舍去）令t=tanBtanC(t>1)，結(jié)合均值不等式得，【點撥】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及三角恒等變換公式進行變形，然后直接利用基本不等式，即可求出tanAtanBtanC的最小值.【解法2】tanAtanBtanC=當(dāng)且僅當(dāng)sinBsinC=2cosBcosC，即tanBtanC=2時等號成立.【點撥】根據(jù)已知條件,把待求最值的式子巧妙轉(zhuǎn)化為tanA,tanB,tanC的關(guān)系式,然后直接利用基本不等式,即可求出tanAtanBtanC的最小值.【解法3】sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，兩邊同除以cosBcosC可得tanB+t所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC2·2tanAtanBtanC，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=2tanBtanC=4時等號成立.所以tanAtanBtanC8.【點撥】根據(jù)題意畫出平面圖形，引一條輔助線，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求出tanAtanBtanC的最小值.【解法4】所以tanAtanBtanC=當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,這時，或【賞析】本題條件為正弦形式,結(jié)論是正切形式,勢必要求進行三角變換,通過切化弦或弦化切,將函數(shù)名統(tǒng)一.條件中同時含有三角形的三個內(nèi)角,也勢必要求運用三角形的內(nèi)角和為180。進行消元,減少未知量.【解法1】到3,都可體現(xiàn)對條件結(jié)構(gòu)的不同認(rèn)識,采用不同的形式進行求解,使之適合基本不等式的運用,可謂精彩紛呈.【解法4】從角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊和高的關(guān)系,再利用基本不等式求解,避開了應(yīng)用三角變換，使問題僅通過三角函數(shù)的定義得以旺現(xiàn),不失為一種巧妙的思路.1.設(shè)當(dāng)x=θ時,函數(shù)f(x)=sin2x-2cos2x