廣東省揭陽市普寧二中實驗學校2022-2023學年高一下學期期末考試數學試卷（含答案）

廣東省揭陽市普寧二中實驗學校2022-2023學年高一（下）期末數學試卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，3，5}2．（5分）在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知復數z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i，z2＝m+i，其中i為虛數單位，m∈R，若z1為純虛數，則下列說法正確的是（）A．m＝±1 B．復數z2在復平面內對應的點在第一象限 C．|z2|＝2 D．|z1|2＝|z2|24．（5分）在空間中，下列說法正確的是（）A．垂直于同一直線的兩條直線平行 B．垂直于同一直線的兩條直線垂直 C．平行于同一平面的兩條直線平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行5．（5分）有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學中任取3人，至少有1名女生的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知實數a，b∈（1，+∞），且log2a+logb3＝log2b+loga2，則（）A． B． C． D．8．（5分）如圖（1）所示，已知球的體積為36π，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示．則在圖（1）所示的幾何體中，下列結論中正確的是（）A．CD與BE是異面直線 B．異面直線AB與CD所成角的大小為45° C．由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為3π D．球面上的點到底座底面DEF的最大距離為二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）設復數，則下列命題中正確的是（）A．的虛部是 B． C．復平面內z與分別對應的兩點之間的距離為1 D．（多選）10．（5分）廣東某高校為傳承粵語文化，舉辦了主題為“粵唱粵美好”的校園粵語歌手比賽在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分．根據兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（）A．A組打分的眾數為47 B．B組打分的中位數為75 C．A組的意見相對一致 D．B組打分的均值小于A組打分的均值（多選）11．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，點N在該正方體的棱上運動，則下列說法正確的是（）A．當N為棱AA1中點時，MN∥B1D B．當N為棱AA1中點時，MN與平面ABC1D1所成角為30° C．有且僅有三個點N，使得B1N∥平面AMD1 D．有且僅有四個點N，使得MN與B1C所成角為60°（多選）12．（5分）設函數，已知f（x）在[0，π]上有且僅有4個零點，則（）A．ω的取值范圍是 B．y＝f（x）的圖象與直線y＝1在（0，π）上的交點恰有2個 C．y＝f（x）的圖象與直線y＝﹣1在（0，π）上的交點恰有2個 D．f（x）在上單調遞減三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）某機構組織填寫關于環(huán)境保護的知識答卷，從中抽取了7份試卷，成績分別為68，83，81，81，86，90，88，則這7份試卷成績的第80百分位數為．14．（5分）若一個平面圖形的斜二測直觀圖是一個等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，則原圖的面積為．15．（5分）已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一個根，則m+n＝．16．（5分）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖，這是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內的一點，則（+）?（+）的最小值為．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知復數z＝1+i（i是虛數單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實數．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數，求實數m的值．18．（12分）某校組織高一年級1000名學生參加了跳繩比賽活動，以每個學生的跳繩個數作為最終比賽成績．現(xiàn)從中隨機抽取50名學生的比賽成績作為樣本，整理數據并按比賽成績[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]分組進行統(tǒng)計，得到比賽成績的頻數分布表，記比賽成績大于或等于160的為“優(yōu)秀”．比賽成績[80，100）[100，120）[120，140）[140，160）[160，180）[180，200]人數410216315（1）估計該校高一年級學生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數；（2）從樣本比賽成績在[120，140）和[160，180）的學生中隨機抽取2人，求兩人比賽成績都為“優(yōu)秀”的概率．19．（12分）如圖，在四邊形OBCD中，，，，且．（1）用，表示；（2）點P在線段AC上，且，求與的夾角θ的余弦值．20．（12分）已知函數的部分圖像如圖所示．（1）求函數f（x）的解析式；（2）將函數f（x）的圖像向左平移個單位，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數g（x）的圖像，若關于x的方程g（x）﹣m＝0在區(qū)間上有兩個不同的實數解，求實數m的范圍．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知c＝2b，a＝3，D是邊BC上一點．（1）求bcosC+2bcosB的值；（2）若．①求證：AD平分∠BAC；②求△ABC面積的最大值及此時AD的長．22．（12分）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E、F分別為PB、PD的中點，平面AEF與棱PC的交點為G．（1）求異面直線AE與PF所成角的大??；（2）求平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角的大??；（3）求點G的位置．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}，則A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，3，5}【解答】解：集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈Z}，B＝{x|5x2﹣4x﹣1≤0}＝[﹣，1]，則A∩B＝{1}．故選：A．2．（5分）在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：①在△ABC中，當時，則A＝或，∴充分性不成立，②當時，則，∴必要性成立，∴是的必要不充分條件，故選：B．3．（5分）已知復數z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i，z2＝m+i，其中i為虛數單位，m∈R，若z1為純虛數，則下列說法正確的是（）A．m＝±1 B．復數z2在復平面內對應的點在第一象限 C．|z2|＝2 D．|z1|2＝|z2|2【解答】解：∵z1＝（m2﹣1）+（m2+2m﹣3）i為純虛數，∴，解得m＝﹣1，故A錯誤，∴z1＝﹣4i，z2＝﹣1+，復數z2在復平面內對應的點（﹣1，）在第二象限，故B錯誤，|z2|＝，故C正確，，故D錯誤．故選：C．4．（5分）在空間中，下列說法正確的是（）A．垂直于同一直線的兩條直線平行 B．垂直于同一直線的兩條直線垂直 C．平行于同一平面的兩條直線平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行【解答】解：垂直于同一直線的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，C不正確；根據線面垂直的性質可知：D正確；故選：D．5．（5分）有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學中任取3人，至少有1名女生的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該5位同學中任取3人，基本事件總數n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件個數m＝＝9．∴至少有1名女生的概率為P＝＝．故選：D．6．（5分）如圖所示，△ABC中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得：＝+，＝，＝+，＝，∴＝+，故選：A．7．（5分）已知實數a，b∈（1，+∞），且log2a+logb3＝log2b+loga2，則（）A． B． C． D．【解答】解：∵logb2＜logb3，∴l(xiāng)og2a+logb2＜log2b+loga2，即log2a﹣loga2＜log2b﹣logb2，∵函數在（0，+∞）上單調遞增，∴l(xiāng)og2a＜log2b，即a＜b，故排除選項C、D；∵log2b＞log3b，∴l(xiāng)og2a+logb3＞log3b+loga2，即log2a﹣loga2＞log3b﹣logb3，∵函數在（0，+∞）上單調遞增，∴l(xiāng)og2a＞log3b，又∵，∴，即，故，故選：B．8．（5分）如圖（1）所示，已知球的體積為36π，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示．則在圖（1）所示的幾何體中，下列結論中正確的是（）A．CD與BE是異面直線 B．異面直線AB與CD所成角的大小為45° C．由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為3π D．球面上的點到底座底面DEF的最大距離為【解答】解：取DF，EF中點N，M，連接AB，BC，AC，BM，MN，CN，如圖，因△BEF為正三角形，則BM⊥EF，而平面BEF⊥平面DFE，平面BEF∩平面DFE＝EF，BM?平面BEF，于是得BM⊥平面DFE，同理CN⊥平面DFE，即BM∥CN，，因此，四邊形BCNM是平行四邊形，有BC∥NM∥DE，則直線CD與BE在同一平面內，故A不正確；由選項A，同理可得AB∥DF，則異面直線AB與CD所成角等于直線DF與CD所成角60°，故B不正確；由選項A知，，同理可得AB＝AC＝3，正△ABC外接圓半徑，由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面圓是△ABC的外接圓，此截面面積為3π，故C正確；體積為36π的球半徑R，由得R＝3，由選項C知，球心到平面ABC的距離，由選項A，同理可得點A到平面DFE的距離為，即平面ABC與平面DFE的距離為，所以球面上的點到底座底面DEF的最大距離為，故D不正確．故選：C．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）設復數，則下列命題中正確的是（）A．的虛部是 B． C．復平面內z與分別對應的兩點之間的距離為1 D．【解答】解：∵，∴＝﹣i，故的虛部是﹣，故選項A錯誤；∵z+＝1，|z|＝＝1，∴z+＝|z|，即選項B正確；復平面內z與分別對應的兩點之間的距離為＝，故選項C錯誤；z2+＝（+i）2+﹣i＝+i﹣+﹣i＝0，故選項D正確；故選：BD．（多選）10．（5分）廣東某高校為傳承粵語文化，舉辦了主題為“粵唱粵美好”的校園粵語歌手比賽在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分．根據兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（）A．A組打分的眾數為47 B．B組打分的中位數為75 C．A組的意見相對一致 D．B組打分的均值小于A組打分的均值【解答】解：由折線圖可知，小組A打分的分值為：42，47，45，46，50，47，50，47，則小組A打分的分值的眾數為47，故選項A正確；小組B打分的分值按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75中間數為66，故中位數為66，故選項B錯誤；小組A的打分成績比較均勻，波動更小，故A小組意見相對一致，故選項C正確；小組A的打分分值的均值（42+47+45+46+50+47+50+47）×＝46.7，而小組B的打分分值的均值（55+36+70+66+75+68+68+62+58）×＝62，所以小組B打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故選項D錯誤．故選：AC．（多選）11．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，點N在該正方體的棱上運動，則下列說法正確的是（）A．當N為棱AA1中點時，MN∥B1D B．當N為棱AA1中點時，MN與平面ABC1D1所成角為30° C．有且僅有三個點N，使得B1N∥平面AMD1 D．有且僅有四個點N，使得MN與B1C所成角為60°【解答】解：對于A，∵B1D∩平面A1B1BA＝B1，MN?平面A1B1BA，且B1?MN，∴當N為棱AA1中點時，MN與B1D異面，故A錯誤；對于B，如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，設AB＝2，則A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），N（2，0，1），M（2，1，2），∴＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），＝（0，1，1），設＝（x，y，z）為平面ABC1D1的法向量，則，取x＝1，得＝（1，0，1），記MN與平面ABC1D1所成角為θ，則sinθ＝＝＝，∵θ∈[0，]，∴θ＝，故B正確；對于C，記C1D1中點為N，AB中點為P，連接B1N，B1P，ND，DP，由正方體性質得DN∥PB1∥AD1，MD1∥DP∥NB1，又B1N∩DN＝N，MD1∩AD1＝D1，B1N?平面B1NDP，DN?平面B1NDP，∴平面B1NDP∥平面AMD1，∴當點N為C1D1中點或AB中點或與D重合時滿足題意，故C正確；對于D，如圖，CD1，B1D1，AC，AB1與B1C的夾角都是60°，∴當MN與CD1，B1D1，AC，AB1之一平行時，滿足題意，即N為BB1，AA1，A1D1，B1C1中點時，滿足題意，故D正確．故選：BCD．（多選）12．（5分）設函數，已知f（x）在[0，π]上有且僅有4個零點，則（）A．ω的取值范圍是 B．y＝f（x）的圖象與直線y＝1在（0，π）上的交點恰有2個 C．y＝f（x）的圖象與直線y＝﹣1在（0，π）上的交點恰有2個 D．f（x）在上單調遞減【解答】解：當x∈[0，π]時，ωx﹣∈[﹣，πω﹣]，因為f（x）在[0，π]上有且僅有4個零點，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數y＝cosx在上有且僅有4個零點，且，則在上，y＝cosx出現(xiàn)兩次最大值，此時函數y＝cosx的大致圖象如圖示：即y＝f（x）在（0，π）上兩次出現(xiàn)最大值1，即ωx﹣取0，2π時，y＝f（x）取最大值，故y＝f（x）的圖象與直線y＝1在（0，π）上的交點恰有2個，故B正確；由于當x∈（0，π）時，ωx﹣∈[﹣，πω﹣]，，當ωx﹣＝﹣π時，y＝f（x）取最小值﹣1，由于ωx﹣是否取到3π不確定，故y＝f（x）的圖象與直線y＝﹣1在（0，π）上的交點可能是1個或2個，故C錯誤；當時，，因為，所以，，故的值不一定小于π，所以f（x）在上不一定單調遞減．故選：AB．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）某機構組織填寫關于環(huán)境保護的知識答卷，從中抽取了7份試卷，成績分別為68，83，81，81，86，90，88，則這7份試卷成績的第80百分位數為88．【解答】解：這組數據為68，81，81，83，86，88，90，因為7×80%＝5.6，所以這7份試卷成績的第80百分位數為88．故答案為：88．14．（5分）若一個平面圖形的斜二測直觀圖是一個等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，則原圖的面積為．【解答】解：根據題意，直觀圖△O'A'B′是一個等腰直角三角形，O'A＝O'B＝2，則其面積S′＝×2×2＝2，故原圖的面積S＝2S′＝4，故答案為：4．15．（5分）已知1+2i是方程x2﹣mx+2n＝0（m，n∈R）的一個根，則m+n＝．【解答】解：將x＝1+2i代入方程x2﹣mx+2n＝0，有（1+2i）2﹣m（1+2i）+2n＝0，即1+4i﹣4﹣m﹣2mi+2n＝0，即（﹣3﹣m+2n）+（4﹣2m）i＝0，由復數相等的充要條件，得，解得m＝2，n＝，故．故答案為：．16．（5分）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖，這是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內的一點，則（+）?（+）的最小值為．【解答】解：如圖所示，以該正八邊形的中心O為原點，過O與AB平行的直線為x軸，如圖建立平面直角坐標系，再設M，N分別為AB，EF的中點，易知N（），M（0，﹣1），再設P（x，y），而（+）?（+）＝＝4＝4（）＝4[]，（當且僅當x＝y(tǒng)＝0取等號），故所求的最小值為：．故答案為：．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知復數z＝1+i（i是虛數單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實數．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數，求實數m的值．【解答】解：（1）∵z＝1+i（i是虛數單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，∴，解得p＝q＝2．（2）由（1）可得，（p+qi）?（m2+2mi）＝（2+2i）?（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，∵（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數，∴，解得m＝2．18．（12分）某校組織高一年級1000名學生參加了跳繩比賽活動，以每個學生的跳繩個數作為最終比賽成績．現(xiàn)從中隨機抽取50名學生的比賽成績作為樣本，整理數據并按比賽成績[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180），[180，200]分組進行統(tǒng)計，得到比賽成績的頻數分布表，記比賽成績大于或等于160的為“優(yōu)秀”．比賽成績[80，100）[100，120）[120，140）[140，160）[160，180）[180，200]人數410216315（1）估計該校高一年級學生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數；（2）從樣本比賽成績在[120，140）和[160，180）的學生中隨機抽取2人，求兩人比賽成績都為“優(yōu)秀”的概率．【解答】解：（1）由頻數分布表可知，樣本比賽成績大于或等于160的學生有3+15＝18人，所以估計該校高一年級學生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數為1000×＝360人；（2）設“兩人比賽成績都為‘優(yōu)秀’”為事件M，記比賽成績在[120，140）的學生為A1，A2，比賽成績在[160，180）的學生為B1，B2，B3，則從這5個學生中隨機抽取2人的樣本空間Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，M＝{（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，所以，由古典概型得P（M）＝；綜上，估計該校高一年級學生比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數為360，兩人比賽成績都為優(yōu)秀的概率為．19．（12分）如圖，在四邊形OBCD中，，，，且．（1）用，表示；（2）點P在線段AC上，且，求與的夾角θ的余弦值．【解答】解：（1）＝++＝﹣+2+＝﹣+2；（2）＝+，＝＝+＝+，＝﹣，＝+＝﹣++＝﹣，?＝（﹣+2）?（﹣）＝+×4＝，||＝＝，||＝＝．cos＜，＞＝＝．20．（12分）已知函數的部分圖像如圖所示．（1）求函數f（x）的解析式；（2）將函數f（x）的圖像向左平移個單位，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數g（x）的圖像，若關于x的方程g（x）﹣m＝0在區(qū)間上有兩個不同的實數解，求實數m的范圍．【解答】解：（1）由已知函數f（x）＝（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象得，解得，∴；（2）由題意可知，g（x）＝，g（x）﹣m＝0在區(qū)間上有兩個不同的實數解，則直線y＝m與函數g（x）＝有兩個不同的交點，令，則g（x）對稱軸為x＝，∵，∴當k＝0，x＝符合題意，即兩個交點關于x＝對稱，∴，g（0）＝1，∴m的取值范圍為[1，）．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知c＝2b，a＝3，D是邊BC上一點．（1）求bcosC+2bcosB的值；（2）若．①求證：AD平分∠BAC；②求△ABC面積的最大值及此時AD的長．【解答】解：（1）因為c＝2b，a＝3，所以bcosC+2bcosB＝bcosC+ccosB＝b?+c?＝＝a＝3，所以bcosC+2bcosB的值為3；（2）①證明：因為，所以，由a＝3知，BD＝2，DC＝1，設∠BAD＝α，∠DAC＝β，∠ADB＝θ，在△ABD中，由正弦定理得，＝，即＝，所以sinα＝，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，所以sinβ