2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（廣東專用）專題08 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題（教師版）

PAGE1PAGE專題08反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題通用的解題思路：K值的幾何意義利用K值求圖形的面積．2.反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合利用反比例函數(shù)的性質(zhì)與幾何圖形的性質(zhì)綜合考查，同時考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，注意分類討論．1．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，與位于平面直角坐標(biāo)系中，，，，若，反比例函數(shù)恰好經(jīng)過點C，則．【答案】【分析】過點C作軸于點D，由題意易得，然后根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：過點C作軸于點D，如圖所示：

∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∴，∴點，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東深圳·中考真題）如圖，已知直角三角形中，，將繞點點旋轉(zhuǎn)至的位置，且在的中點，在反比例函數(shù)上，則的值為．【答案】【分析】連接，作軸于點，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形，從而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得．【詳解】解：連接，作軸于點，由題意知，是中點，，，，是等邊三角形，，，，，，，，在反比例函數(shù)上，．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D1，已知點，且a、b滿足，的邊與y軸交于點E，且E為的中點，雙曲線經(jīng)過C、D兩點．(1)，；(2)求反比例函數(shù)解析式；(3)以線段為對角線作正方形（如圖2），點T是邊上一動點，M是的中點，，交于N，當(dāng)點T在上運動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．【答案】(1)(2)(3)，不發(fā)生改變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值即可；（2）設(shè)，由，可知，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可；（3）連接、、，易證，故，推出，根據(jù)斜邊上的中線得到，由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，解得：，故答案為：；（2）由（1）可知：，，E為中點，，設(shè)，∵∴，∵點先向右移動1個單位，再向下移動2個單位，得到點，∴點先向右移動1個單位，再向下移動2個單位，得到點，，∵雙曲線經(jīng)過C、D兩點，，，∴，∴；（3）的值不發(fā)生改變，理由：如圖，連接、、，∵M(jìn)是的中點，，∴是線段的垂直平分線，，四邊形是正方形，，在與中，，（），，，，四邊形中，，而，所以，，

因為，四邊形內(nèi)角和為，所以，，∴，即的值不發(fā)生改變．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，四邊形的內(nèi)角和，直角三角形的性質(zhì)等知識點，有一定的難度，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點并能靈活運用．題型一K值的幾何意義1．（2024·廣東深圳·一模）如圖，A是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點A作軸于點，點在軸上，且，則的值為．

【答案】【分析】此題考查了求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，設(shè)點A的坐標(biāo)為，利用得到，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，點A在第二象限，，，，，是反比例函數(shù)的圖象上一點，，故答案為：．2．（2024·廣東深圳·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的底邊在軸的正半軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，延長交軸于點，若，的面積為，則的值為．

【答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，反比例函數(shù)幾何意義，過點作于點，證明，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)推出，進(jìn)而得到，推出的面積，進(jìn)而得到，根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義得到進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】解：過點作于點，

，，，等腰三角形，，，，，，的面積為，的面積為，即，，，故答案為：．3．（2024·廣東廣州·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點B，作直徑，函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，D為y軸上任意一點，則的面積為．【答案】5【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，切線的性質(zhì)；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，由切線的性質(zhì)可得軸，再根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可．【詳解】解：∵點C在函數(shù)的圖象上，∴，∵與軸相切于點，∴軸，∴軸，∴，故答案為：5．題型二反比例函數(shù)與三角形的綜合問題1．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點A，將向右平移得到'，雙曲線交邊于點，交邊于點D．

(1)求k，a的值；(2)求點D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出k的值，然后把點的坐標(biāo)代入解析式求出a的值；（2）根據(jù)平移可得，設(shè)的坐標(biāo)為，過C點作軸于點E，即，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）解：把點代入得：，當(dāng)時，，（2）設(shè)的坐標(biāo)為，過C點作軸于點E，由平移可得，，即，則∴，解得：，∴坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴點D的坐標(biāo)為．

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東茂名·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形一腰分別與x軸交于A點，與y軸交于B點，已知、．

(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)若頂點C恰好在反比例函數(shù)的圖像上時，求k值；(3)把沿x軸向右平移a個單位后，點B恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）過點C作x軸的垂線，垂足為H．先證（AAS）得，，從而有，于是根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）將點B向右平移a個單位后，得到，把代入，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式，把，分別代入得解得：，∴；（2）解：過點C作x軸的垂線，垂足為H．

由題意可得：，．∴．∵軸．∴∴∴∵在和中∴（）∴，∵，∴∵點C在反比例函數(shù)圖象上∴把，代入中，解得．（3）由（2）可知，反比例函數(shù)解析式為，將點B向右平移a個單位后，得到把代入中，則．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)數(shù)反比例函數(shù)的解析式，求自變量的值，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)數(shù)反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．題型三反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題1．（2023·廣東佛山·二模）如圖，已知平行四邊形中，點O為坐標(biāo)原點，點，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．

(1)求k的值及直線的函數(shù)表達(dá)式：(2)求四邊形的周長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，可以求得k的值，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得點B的坐標(biāo)，從而可以求得直線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題目中各點的坐標(biāo)，可以求得平行四邊形各邊的長，從而可以求得平行四邊形的周長．【詳解】（1）解：依題意有：點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，∴，又∵軸，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∴，∴，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：如圖，作CD⊥OA于點D，

∵，∴，在平行四邊形中，，，∴四邊形的周長為：，即四邊形的周長為6+2．【點睛】本題考查求反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是通過平行四邊形的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo)．2．（2023·廣東佛山·三模）如圖，以平行四邊形的頂點O為原點，邊所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，頂點A、C的坐標(biāo)分別是，過點A的反比例函數(shù)的圖象交于D．(1)點B的坐標(biāo)為______．(2)點D是的中點嗎？請說明理由；(3)連接，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)理由見解析(3)四邊形的面積為【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出B點坐標(biāo)；（2）由點A的坐標(biāo)進(jìn)可得出反比例函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可求出D點坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）由（2）知點D為的中點，的面積平行四邊形的面積，即可求出四邊形的面積．．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，A、C的坐標(biāo)分別是，∴，∴點B的坐標(biāo)為：；（2）解：把點代入反比例函數(shù)得：，∴反比例函數(shù)的解析式為：；設(shè)直線的解析式為：，把點代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，解方程組得：或（不合題意，舍去），∴點D的坐標(biāo)為：，即點D為的中點；（3）解：如圖，連接，點D為的中點，的面積平行四邊形的面積，∴四邊形的面積平行四邊形的面積的面積；四邊形的面積為．題型四反比例函數(shù)與矩形的綜合問題1．（2023·廣東肇慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點A、D在坐標(biāo)軸上，其坐標(biāo)分別為，，對角線軸．(1)求直線對應(yīng)的函數(shù)解析式(2)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點M，請判斷這個反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點B，并說明理由．【答案】(1)；(2)點B不在反比例函數(shù)圖象上，理由見解析．【分析】本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定：（1）過點D作，垂足為E．先證明，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，從而可求得的長，故此可得到點C的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，將點C，D的坐標(biāo)代入求解即可；（2）過點D作，過點B作．先證明，從而可求得點B的坐標(biāo)，然后再求得反比例反函數(shù)比例系數(shù)k的值，然后根據(jù)點B的坐標(biāo)是否符合函數(shù)解析式進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）如圖所示：過點D作，垂足為E．∵軸，∴．∴．又∵為矩形，∴．∴．又∵，∴．∴，即，解得．又∴,∴．設(shè)直線的解析式為，將點，的坐標(biāo)代入得：解得．∴直線的解析式為．（2）解：過點D作，過點B作．∵．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，，∴中點M的坐標(biāo)為．∴．∵，∴點B不在反比例函數(shù)圖象上．2．（2023·廣東云浮·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在坐標(biāo)軸上，且，連接．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段的中點D，并與分別交于點E、F．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過E、F兩點．(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點P是x軸上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)表達(dá)式為，一次函數(shù)的解析式為(2)【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式可得，從而可得反比例函數(shù)表達(dá)式；再求出點、坐標(biāo)可用待定系數(shù)法解得一次函數(shù)的解析式；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時最?。蟪鲋本€的解析式后令，即可得到點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：四邊形為矩形，∴，，，．∴由中點坐標(biāo)公式可得點坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段的中點，，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．在中，令，則；令，則．∴點和點F的坐標(biāo)為，．把，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為．（2）解：作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時最小．如圖．由坐標(biāo)可得對稱點，設(shè)直線的解析式為，代入點、坐標(biāo)，得：，解得：．∴直線的解析式為，在中，令，則．點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點，中點坐標(biāo)公式，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短路徑問題（將軍飲馬）．解題關(guān)鍵在于牢固掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、將軍飲馬解題模型．3．（2023·廣東清遠(yuǎn)·三模）如圖，在矩形中，，，F(xiàn)是上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點E．(1)當(dāng)F為的中點時，求該反比例函數(shù)的解析式和點E的坐標(biāo)．(2)當(dāng)k為何值時，的面積最大，最大面積是多少？【答案】(1)，(2)時，最大為【分析】（1）先利用坐標(biāo)與圖形求得點F坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解k值即可求解；（2）易得，，利用坐標(biāo)與圖形和三角形的面積公式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：在矩形中，，，∴，∵F為的中點，∴，∵點F在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴該函數(shù)的解析式為，把代入中，得，∴；（2）解：由題意知E，F(xiàn)兩點坐標(biāo)分別為，，∴，∵在邊上，不與A，B重合，∴，則，∴當(dāng)時，S有最大值，最大值為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023·廣東汕頭·三模）如圖，雙曲線的圖像經(jīng)過矩形的邊的中點，若且四邊形的面積為．

(1)求雙曲線的解析式；(2)求點的坐標(biāo)：(3)若點為軸上一動點，使得為以為底邊的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)【答案】(1)(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，(3)點的坐標(biāo)為或【分析】（1）如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，可得的坐標(biāo)，分別表示出的面積，根據(jù)，，可求出點橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）設(shè)，可得，在中，根據(jù)勾股定理可的的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解；（3）根據(jù)題意，分類討論，以為底，作的垂直平分線，運用相似三角形求出與軸的交點，由此即求出的直線解析式，再根據(jù)與軸的交點，圖形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，設(shè)矩形的長，寬，

∴，，，∵分別是邊中點，∴，，∴，，，∴，∵，∴，即，則∵點在反比例函數(shù)圖像上，且反比例函數(shù)圖像在第一象限，∴，∴，∴，∴雙曲線的解析式為．（2）解：設(shè)，∵，∴∴①，在中，根據(jù)勾股定理得：，即②，聯(lián)立①②解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）解：①當(dāng)時，以為底邊的等腰三角形，∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∵，，∴點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，且，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，設(shè)所在直線的解析式為，，，∴，解得，，∴直線的解析式是為，∵直線與軸交于點，∴令，得，∴點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，以為底邊的等腰三角形，∴作的垂直平分線，交軸于點，交于點，交軸于點，如圖所示，

∴，，，，，∴，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，設(shè)所在直線的解析式為，，，∴，解得，，∴直線的解析式是為，∵直線與軸交于點，∴令，得，∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題的關(guān)鍵．題型五反比例函數(shù)與菱形的綜合問題1．（2023·廣東江門·二模）如圖，已知，，，，過作軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點，連接，．(1)證明：四邊形為菱形；(2)求此反比例函數(shù)的解析式．【答案】(1)見解析；(2)；【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過點作軸于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，求得，待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；【詳解】（1）證明：由題意得，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在中，，，四邊形是菱形；（2）解：過點作軸于，則四邊形是矩形，，，四邊形是菱形，，，，反比例函數(shù)的圖象于點，，，此反比例函數(shù)的解析式為；【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點C在x軸負(fù)半軸上，四邊形為菱形，反比例函數(shù)經(jīng)過點，反比例函數(shù)經(jīng)過點B，且交邊于點D，連接．(1)求直線的表達(dá)式；(2)連接，求的面積；(3)如圖2，P是y軸負(fù)半軸上的一個動點，過點P作y軸的垂線，交反比例函數(shù)于點N．在點P運動過程中，直線上是否存在點E，使以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點N的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出，得出，根據(jù)菱形性質(zhì)得出，求出點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，然后用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）根據(jù)B點坐標(biāo)求出k的值，再求出點D坐標(biāo)，然后利用求出結(jié)果即可；（3）分兩種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點N的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過點，∴，解得：，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為．（2）解：連接，如圖所示：∵，∴，∴，令，解得：或，∴點D的橫坐標(biāo)為，∴，∴．（3）解：存在；理由如下：當(dāng)四邊形為平行四邊形時，如圖所示：∴，即，解得：，把代入得：，∴；當(dāng)四邊形為平行四邊形時，如圖所示：∵，軸，∴軸，∴此時，把代入得，，∴此時；綜上分析可知，點N的坐標(biāo)為或時，以B，D，E，N為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，畫出相關(guān)圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．題型六反比例函數(shù)與正方形的綜合問題1．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點C，已知點，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點恰好落在y軸點處，過點C作軸于點D，作軸于點E．(1)求證：四邊形為正方形；(2)求反比例函數(shù)的解析式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，待定系數(shù)法等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解題是解題的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形為矩形，再證明，得出從而得證；（2）先得出點C的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）證明：∵軸于點D，作軸于點E．，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴四邊形為正方形；（2）設(shè)正方形的邊長為a，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點，把點代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式：．2．（2024·廣東廣州·一模）如圖，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且，，反比例函數(shù)，在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點．(1)求點的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式：(2)若點為直線上的一動點（不與點重合），在軸上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點的坐標(biāo)為；(2)存在，或或【分析】（1）過點作軸于點，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求出、，求出