2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題23 將軍飲馬模型（學(xué)生版）

將軍飲馬模型一、知識導(dǎo)航考情分析：通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對稱點(diǎn)的選擇，動點(diǎn)通常在對稱軸上，而且已知定點(diǎn)中往往有一個與x軸的交點(diǎn).考法主要有以下幾種：1.求取最小值時動點(diǎn)坐標(biāo)2.求最小值.3.求三角形或四邊形周長最小值.模型一：兩定點(diǎn)一動點(diǎn)如圖，A,B為定點(diǎn)，P為l上動點(diǎn)，求AP+BP最小值解析：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A'，連接PA'，則PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB當(dāng)A'、P、B三點(diǎn)共線的時候，PA'+PB=A'B，此時為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）模型二：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)如圖，P為定點(diǎn)，M、N分別為OA和OB上的動點(diǎn)，求△PMN周長最小值解析：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)，則△PMN的周長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP''，當(dāng)P'、M、N、P''共線時，△PMN周長最?。Ｐ腿簝啥c(diǎn)兩動點(diǎn)如圖，P、Q為兩定點(diǎn)，M、N分別為OA、OB上的動點(diǎn)，求四邊形PQMN的最小值.解析：∵PQ是條定線段，∴只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對稱，PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'，當(dāng)P'、M、N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。模型四：一定點(diǎn)兩動點(diǎn)如圖，P為定點(diǎn)，M、N分別為OA、OB上的動點(diǎn)，求PM+MN最小值。解析：作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P'，PM+MN=P'M+MN，過點(diǎn)P'作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）模型五：將軍飲馬有距離例一、如圖，A、D為定點(diǎn)，B、C為直線l上兩動點(diǎn)，BC為定值，求AB+BC+CD最小值？解析：BC為定值，只需求AB+CD最小即可；平移AB至CE,則變成求CE+CD的最小值，基本將軍飲馬的模型例二、如圖，A、D為定點(diǎn)，B、C為直線l1、l2上兩動點(diǎn)，BC⊥l1，求AB+BC+CD最小值？解析：BC為定值，只需求AB+CD最小即可；平移CD至BE，則變成求AB+BE最小，基本將軍飲馬.二、典例精析例一：如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，即可求解；（2）連接、交對稱軸于點(diǎn)，此時的值為最小，即可求解；【解答】解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，則，解得：，拋物線的表達(dá)式為：，函數(shù)的對稱軸為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）連接、交對稱軸于點(diǎn)，此時的值為最小，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，故點(diǎn)；例二：如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，與軸另一交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值；【分析】（1）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時為最小，即可求解；【解答】解：（1）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：，令，則或3，故點(diǎn)；（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時為最小，函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，將、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，故點(diǎn)，，則的最小值為；三、中考真題演練1．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，連接，．

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過程中，當(dāng)?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，的最小值為______．3．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；4．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；5．如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PB＋PC的值最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)M，N，使得且以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．7．已知