遼寧省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題

Page31遼寧省高二年級10月月考一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.以上都不對2.已知直線，若直線與連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A. B.C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.4.已知直線，相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或 C. D.或5.正方體的棱長為2，P是空間內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的最大值為（

）.A.－8 B. C. D.16.若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示（）A.過點(diǎn)且與平行的直線B.過點(diǎn)且與垂直的直線C.不過點(diǎn)且與平行的直線D.不過點(diǎn)且與垂直的直線7.在直角坐標(biāo)系中，已知，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則正實(shí)數(shù)最小值是A. B.3 C. D.8.已知正方體的棱長為為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.C.點(diǎn)到直線的距離為 D.四點(diǎn)共面10.已知直線，則下列表述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為45°B.當(dāng)實(shí)數(shù)改變時(shí)，直線恒過點(diǎn)C.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，則兩條直線的距離為1D.原點(diǎn)到直線的距離最大值為11.在棱長為2的正方體中，，分別是線段，上的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積是B.線段的長的取值范圍是C.若，分別是線段，中點(diǎn)，則與平面所成的角為D.若，分別是線段，的中點(diǎn)，則與直線所成的角為12.如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的表面上一個(gè)動點(diǎn)，則以下不正確的是（）A.當(dāng)在平面BCC1B1上運(yùn)動時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是C.使直線與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長度為D.若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿意PF平面B1CD1時(shí)，PF長度的最小值是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若向量與平行，則______．14.如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿意，則P到AB的距離為______15.已知，則的最小值為______16.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗，寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一，該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，全部的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知，，，過直線作平面，則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是______四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知直線與直線交于點(diǎn).求：（1）過點(diǎn)且垂直于直線的直線的一般式方程；（2）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的一般式方程.18.如圖，己知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.已知直線的方程為：．（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．20.如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．（1）證明：；（2）在平面內(nèi)尋求一點(diǎn)，使得平面，求此時(shí)二面角的平面角的正弦值.21.如圖，在三棱柱中，，四邊形是菱形，，點(diǎn)D在棱上，且．（1）若，證明：平面平面ABD．（2）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面ABD所成角余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．22.如圖，菱形邊長為2，，E為AB的中點(diǎn).將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐.（1）證明：；（2）當(dāng)二面角在內(nèi)改變時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.遼寧省試驗(yàn)中學(xué)高二年級10月月考一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.以上都不對【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)，逐項(xiàng)推斷作答.【詳解】由，，，知，即，B錯(cuò)誤；又，因此，同理，AD錯(cuò)誤，C正確.故選：C2.已知直線，若直線與連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合方法求出直線的斜率范圍，進(jìn)而求出傾斜角范圍.【詳解】直線，由，解得，即直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，明顯直線的斜率為，直線的斜率為，由于直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，則，即，又，于是，因此或，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量線性運(yùn)算，以為基底表示出，從而確定的取值.【詳解】，，

，，，，.故選：A.4.已知直線，相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩一般式直線相互垂直求的值，留意驗(yàn)證求得的值是否滿意直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€，相互垂直，所以，所以或，當(dāng)，直線不存在，故.故選：A5.正方體的棱長為2，P是空間內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的最大值為（

）.A.－8 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)M，連接，取的中點(diǎn)N，連接，則由已知條件可得動點(diǎn)P的軌跡為正方體的外接球，然后由向量的運(yùn)算可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)M，連接，則，則，即，故動點(diǎn)P的軌跡為以M為球心，為半徑的球.由正方體的棱長為2，可知正方體外接球的半徑為，即動點(diǎn)P的軌跡為正方體的外接球.取的中點(diǎn)N，連接，則.由題可知，，則，，則.所以的最D值為，故選：B.6.若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示（）A.過點(diǎn)且與平行的直線B.過點(diǎn)且與垂直的直線C.不過點(diǎn)且與平行的直線D.不過點(diǎn)且與垂直的直線【答案】C【解析】【分析】易知點(diǎn)的坐標(biāo)不在直線上，依據(jù)兩直線方程的一般形式中的系數(shù)相同，但不同，可得直線平行；【詳解】∵點(diǎn)不在直線：上，∴，∴直線不過點(diǎn)，又直線與直線：平行，故選：C.7.在直角坐標(biāo)系中，已知，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則正實(shí)數(shù)的最小值是A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式可解出的范圍，取其最小的正值即可．詳解】解：設(shè)，由得化簡得，，解得或（舍，易知時(shí)，．故的最小值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式以及判別式法求最小值的問題，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理實(shí)力、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．8.已知正方體棱長為為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)二面角的空間向量坐標(biāo)公式表達(dá)平面與平面和平面所成的角，再化簡結(jié)合的取值范圍求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長為3，則，，，設(shè)，則，，由正方體的性質(zhì)可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，，故，又平面與平面和平面所成的角相等，故，即，故，即，.①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋?，又，則，，此時(shí).②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，又，故，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)取最小值.綜上的最小值為.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.C.點(diǎn)到直線的距離為 D.四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示公式、夾角公式，結(jié)合四點(diǎn)共面的性質(zhì)、點(diǎn)到線距離公式逐一推斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：，，所以所以點(diǎn)到直線的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)椋杂?，因此是共線向量，所以四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD10.已知直線，則下列表述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為45°B.當(dāng)實(shí)數(shù)改變時(shí)，直線恒過點(diǎn)C.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，則兩條直線的距離為1D.原點(diǎn)到直線的距離最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，可求出直線斜率，即可推斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，將直線方程整理為，由此可得直線所過定點(diǎn)；C選項(xiàng)，由題可得，后由平行直線距離公式可推斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，依據(jù)直線恒過點(diǎn)推斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線方程為，可得直線斜率為1，則傾斜角為45°，故A正確；B選項(xiàng)，由題可得，則直線過定點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)，因直線與直線平行，則，解得，則直線方程為：，即.則與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，故原點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正方體中，，分別是線段，上的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積是B.線段的長的取值范圍是C.若，分別是線段，的中點(diǎn)，則與平面所成的角為D.若，分別是線段，的中點(diǎn)，則與直線所成的角為【答案】AC【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，對于,利用得到平面，從而故點(diǎn)到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離,近一步轉(zhuǎn)化即可求出三棱錐的體積；對于設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出，通過化簡，求出的最小值即可；對于,求得平面的法向量，利用公式，即可求得；對于，求出，得到的大小即可.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)槔忾L為2，所以,,對于,則所以,又平面,平面，所以平面，又點(diǎn),故點(diǎn)到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離,所以,故正確；對于,設(shè)則，故剛好，，故錯(cuò)誤；對于,若，分別是線段，的中點(diǎn)，則,,取平面的法向量，設(shè)為與平面所成的角，則所以，即與平面所成的角為，故錯(cuò)誤；對于,若，分別是線段，的中點(diǎn)，則,，則,則，則即與直線所成的角為，故正確.故選：12.如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的表面上一個(gè)動點(diǎn)，則以下不正確的是（）A.當(dāng)在平面BCC1B1上運(yùn)動時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是C.使直線與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長度為D.若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿意PF平面B1CD1時(shí)，PF長度的最小值是【答案】CD【解析】分析】A選項(xiàng)，考慮底面積和高均未變，所以體積不變；B選項(xiàng)，找到異面直線所成角即可推斷；C選項(xiàng)，找到P的軌跡，計(jì)算即可；D選項(xiàng)，找到P的軌跡，計(jì)算即可【詳解】A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，到平面的距離為正方體棱長，故四棱錐的體積不變，A選項(xiàng)正確:B選項(xiàng)，與所成角即與所成，當(dāng)在端點(diǎn)時(shí)，所成角最小，為，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，所成角最大為，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由于在正方體表面，的軌跡為對角線，，以及以為圓心2為半徑的圓弧如圖，故的軌跡長度為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所在的平面為如圖所示正六邊形，該正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對應(yīng)邊的中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，此時(shí)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取最小值，此時(shí)，為等腰三角形，故，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若向量與平行，則______．【答案】或【解析】【分析】先求出和的坐標(biāo)，再依據(jù)平面對量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可．【詳解】由，，則，，又向量與平行，即存在使得成立，則有，解得或．故答案為：或．14.如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿意，則P到AB的距離為______【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后依據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，故，則設(shè)，的夾角為，則，故，則點(diǎn)P到AB的距離為.故答案為：15.已知，則的最小值為______【答案】【解析】【分析】由兩點(diǎn)距離公式可將轉(zhuǎn)化為到，的距離和，先求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則即為距離和的最小值，由距離公式求即可.【詳解】，設(shè)在直線上，點(diǎn)，，則，，則,如圖，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則的最小值即為線段長，設(shè)，則，解得，即，故，所以，故答案為：16.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗，寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一，該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，全部的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知，，，過直線作平面，則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是______【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定的幾何體，確定出球心O的位置，求出球半徑，再建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)O到直線距離，進(jìn)而求出最小截面圓半徑作答.【詳解】依題意，四邊形是正方形，令正方形與正方形中心分別為，連接，因?yàn)檎叫闻c正方形在同一平面內(nèi)，且有相同中心，因此它們有相同的外接圓，從而十面體與長方體的外接球相同，球心O是線段的中點(diǎn)，如圖，取中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，則，明顯，又平面，則平面，而平面，平面，即有，平面，則平面，平面與平面有公共點(diǎn)，明顯平面與平面為同一平面，有，而，，在直角梯形中，過作于I，，球O的半徑，過D作平面，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由已知得，即，，，則點(diǎn)到直線的距離有：,球被過直線的平面所截的截面圓最小時(shí)，球心到平面的距離最大，即為點(diǎn)到直線的距離，截得的最小截面圓半徑為，而，則，所以截得的截面圓面積的最小值是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線與直線交于點(diǎn).求：（1）過點(diǎn)且垂直于直線的直線的一般式方程；（2）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的一般式方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立已知直線方程，得交點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)直線垂直于直線設(shè)直線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得的方程；（2）依據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反，探討直線過原點(diǎn)和截距不為零的狀況分別求得直線的方程即可.【小問1詳解】聯(lián)立，解得，所以.由于直線垂直于直線則可設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得.所以直線的一般式方程為.【小問2詳解】解：當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率此時(shí)直線的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)則可設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得，所以直線的方程為，即.綜上所述，直線的一般式方程為或.18.如圖，己知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，由，即可證明；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案.小問1詳解】以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，分別是的中點(diǎn)，可得：，∴，設(shè)平面的的法向量為，則有：，令，則，∴，又平面，∴平面.【小問2詳解】設(shè)平面的的法向量為，又則有：，令，則，所以又，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為.19.已知直線的方程為：．（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點(diǎn)；（2）先令令，再表達(dá)出三角形面積，最終利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).【小問2詳解】設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。藭r(shí)的方程為．20.如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．（1）證明：；（2）在平面內(nèi)尋求一點(diǎn)，使得平面，求此時(shí)二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；（2）依據(jù)四點(diǎn)共面、線面垂直等求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求得二面角的平面角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，、都垂直平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，所以，則，故；【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)，則，由于平面，所以，則，所以，即，又平面，故存在實(shí)數(shù)，且滿意，使得，故，解得，所以設(shè)平面的法向量為，又則，令，則設(shè)平面的法向量為，又則，令，則，所以，所以則二面角的平面角的正弦值為.21.如圖，在三棱柱中，，四邊形是菱形，，點(diǎn)D在棱上，且．（1）若，證明：平面平面ABD．（2）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面ABD所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在或【解析】【分析】(1)取AB的中點(diǎn)O，連接，OC，利用題中的條件得出AB⊥平面，由線