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云南省保山市云縣一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.角的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)為銳角三角形,則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值是()A.10 B.8 C.4 D.23.已知點A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()A.(0,1) B. C. D.4.已知向量,且,則的值為()A.1 B.2 C. D.35.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若則()A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.7.在中,角,,所對的邊分別為,,,且邊上的高為,則的最大值是()A.8 B.6 C. D.48.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為,己知A=60°,,則B=()A.45° B.135° C.45°或135° D.以上都不對9.下列各角中,與角終邊相同的角是()A. B. C. D.10.若,,,設(shè),,且,則的值為()A.0 B.3 C.15 D.18二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.函數(shù)的最小正周期為_______.12.已知,,則______.13.設(shè)為等差數(shù)列,若,則_____.14.已知,,若,則______15.102,238的最大公約數(shù)是________.16.已知,且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則_______________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,設(shè).(1)求;(2)若,求.18.某同學(xué)利用暑假時間到一家商場勤工儉學(xué),該商場向他提供了三種付酬方案:第一種,每天支付元,沒有獎金;第二種,每天的底薪元,另有獎金.第一天獎金元,以后每天支付的薪酬中獎金比前一天的獎金多元;第三種,每天無底薪,只有獎金.第一天獎金元,以后每天支付的獎金是前一天的獎金的倍.(1)工作天,記三種付費方式薪酬總金額依次為、、,寫出、、關(guān)于的表達(dá)式;(2)該學(xué)生在暑假期間共工作天,他會選擇哪種付酬方式?19.設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=–10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.(Ⅰ)求{an}的通項公式;(Ⅱ)記{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.20.已知等差數(shù)列的前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求的值.21.如圖,在四棱錐中,底面為矩形,為等邊三角形,且平面平面.為的中點,為的中點,過點,,的平面交于.(1)求證:平面;(2)若時,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】
由,即可判斷.【詳解】,則與的終邊相同,則角的終邊落在第三象限故選:C【點睛】本題主要考查了判斷角的終邊所在象限,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
令,得直線在x、y軸上的截距,求得三角形面積并利用二倍角公式化簡,根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得面積最小值即可.【詳解】令得直線在y軸上的截距為,令得直線在x軸上的截距為,其圍成的三角形面積:,求S的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值,因為為銳角,所以,當(dāng)時取最小值?1,則,故圍成三角形面積最小值為8.故選:B.【點睛】本題考查直線方程與三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用,綜合題性較強(qiáng),屬于中等題.3、B【解析】
先求得直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(,0),由0可得點M在射線OA上.求出直線和BC的交點N的坐標(biāo),①若點M和點A重合,求得b;②若點M在點O和點A之間,求得b;③若點M在點A的左側(cè),求得b>1.再把以上得到的三個b的范圍取并集,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得,三角形ABC的面積為1,由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(,0),由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,可得b>0,故0,故點M在射線OA上.設(shè)直線y=ax+b和BC的交點為N,則由可得點N的坐標(biāo)為(,).①若點M和點A重合,如圖:則點N為線段BC的中點,故N(,),把A、N兩點的坐標(biāo)代入直線y=ax+b,求得a=b.②若點M在點O和點A之間,如圖:此時b,點N在點B和點C之間,由題意可得三角形NMB的面積等于,即,即,可得a0,求得b,故有b.③若點M在點A的左側(cè),則b,由點M的橫坐標(biāo)1,求得b>a.設(shè)直線y=ax+b和AC的交點為P,則由求得點P的坐標(biāo)為(,),此時,由題意可得,三角形CPN的面積等于,即?(1﹣b)?|xN﹣xP|,即(1﹣b)?||,化簡可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.由于此時b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2.兩邊開方可得(1﹣b)1,∴1﹣b,化簡可得b>1,故有1b.綜上可得b的取值范圍應(yīng)是,故選B.【點睛】本題主要考查確定直線的要素,點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用,還考查了運算能力以及綜合分析能力,分類討論思想,屬于難題.4、A【解析】
由,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出,然后將所求代數(shù)式化為,并在分子分母上同時除以,利用弦化切的思想求解.【詳解】由題意可得,即.∴,故選A.【點睛】本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查弦化切思想的應(yīng)用,一般而言,弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面:(1)弦的分式齊次式:當(dāng)分式是關(guān)于角弦的次分式齊次式,分子分母同時除以,可以將分式由弦化為切;(2)弦的二次整式或二倍角的一次整式:先化為角的二次整式,然后除以化為弦的二次分式齊次式,并在分子分母中同時除以可以實現(xiàn)弦化切.5、B【解析】
根據(jù)等比數(shù)列中前項和的“片段和”的性質(zhì)求解.【詳解】由題意得,在等比數(shù)列中,成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,∴,解得.故選B.【點睛】設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則仍成等比數(shù)列,即每個項的和仍成等比數(shù)列,應(yīng)用時要注意使用的條件是數(shù)列的公比.利用此結(jié)論解題可簡化運算,提高解題的效率.6、C【解析】
寫出變換后的函數(shù)解析式,,,結(jié)合正弦函數(shù)圖象可分析得:要使函數(shù)有且僅有兩個零點,只需,即可得解.【詳解】由題,根據(jù)變換關(guān)系可得:,函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點,,,根據(jù)正弦函數(shù)圖象可得:,解得:.故選:C【點睛】此題考查函數(shù)圖象的平移和伸縮變換,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.7、D【解析】,這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理:cosA,①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積,bcsinA,即a2=2bcsinA,②將②代入①得:b2+c2=2bc(cosA+sinA),∴=2(cosA+sinA)=4sin(A+),當(dāng)A=時取得最大值4,故選D.點睛:三角形中最值問題,一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.8、A【解析】
利用正弦定理求出的值,再結(jié)合,得出,從而可得出的值?!驹斀狻坑烧叶ɡ淼茫?,,則,所以,,故選:A。【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形,要注意正弦定理所適用的基本情形,同時在求得角時,利用大邊對大角定理或兩角之和不超過得出合適的答案,考查計算能力,屬于中等題。9、B【解析】
給出具體角度,可以得到終邊相同角的表達(dá)式.【詳解】角終邊相同的角可以表示為,當(dāng)時,,所以答案選擇B【點睛】判斷兩角是否是終邊相同角,即判斷是否相差整數(shù)倍.10、B【解析】
首先分別求出向量,然后再用兩向量平行的坐標(biāo)表示,最后求值.【詳解】,,當(dāng)時,,解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
將三角函數(shù)進(jìn)行降次,然后通過輔助角公式化為一個名稱,最后利用周期公式得到結(jié)果.【詳解】,.【點睛】本題主要考查二倍角公式,及輔助角公式,周期的運算,難度不大.12、【解析】
由,然后利用兩角差的正切公式可計算出的值.【詳解】.故答案為:.【點睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值,解題的關(guān)鍵就是弄清所求角與已知角之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì):在等差數(shù)列中若則即可【詳解】故答案為:【點睛】本題主要考查的等差數(shù)列的性質(zhì):若則,這一性質(zhì)是??嫉闹R點,屬于基礎(chǔ)題。14、【解析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式,求出,再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出.【詳解】由得,,解得,.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用.15、34【解析】試題分析:根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法的含義,可得238=2×102+34,102=3×34,所以得兩個數(shù)102、238的最大公約數(shù)是34.故答案為34.考點:輾轉(zhuǎn)相除法.16、5【解析】
試題分析:由題意得,為等差數(shù)列時,一定為等差中項,即,為等比數(shù)列時,-2為等比中項,即,所以.考點:等差,等比數(shù)列的性質(zhì)三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理得,再利用余弦定理的到.(2)將代入等式,化簡得到答案.【詳解】解:(1)由結(jié)合正弦定理得;∴又,∴.(2)由,∴∴,∴∴又∴解得:,.【點睛】本題考查了正弦定理,余弦定理,和差公式,意在考查學(xué)生的計算能力.18、(1),,;(2)第三種,理由見解析.【解析】
(1)三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、,可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式可計算出、、關(guān)于的表達(dá)式;(2)利用(1)中的結(jié)論,計算出、、的值,比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、,它們的前項和分別為、、,第一種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列為常數(shù)列,且,所以;第二種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,所以;第三種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,所以;(2)由(1)知,當(dāng)時,,,,則.因此,該學(xué)生在暑假期間共工作天,選第三種付酬方式較好.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用,涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差,然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式;(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為成等比數(shù)列,所以,即,解得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以;當(dāng)或者時,取到最小值.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.20、(1);(2)4.【解析】
(1)運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d,再由及d求得通項公式即可.(2)利用前n項和公式直接求解即可.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∴,故.(2),∴,解得或(舍去),∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及項數(shù)的求法,考查了前n項和公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.21、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)首先證明平面,由平面平面,可說明,由此可得四邊形為平行四邊形,即可證明平面;(2)延長交于點,過點作交直
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