廣東省深圳市育才中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

廣東省深圳市育才中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．右邊莖葉圖記錄了甲、乙兩組各十名學(xué)生在高考前體檢中的體重（單位：）.記甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為，則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù),若存在，且，使成立，則以下對實(shí)數(shù)的推述正確的是（）A． B． C． D．3．已知在中，兩直角邊，，是內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，則（）A． B． C．3 D．4．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次比賽成績（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動員平均成績相同，則成績較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動員成績的方差為A．2 B．4 C．6 D．86．終邊在軸上的角的集合（）A． B．C． D．7．已知等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,,則()A．140 B．280 C．168 D．568．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是A． B． C． D．9．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則角的值為（）A． B． C． D．10．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E為線段AC上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算__________．12．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時(shí)，左邊增加了_____項(xiàng)．13．已知，若數(shù)列滿足，，則等于________14．在中，已知，，，則角__________．15．把數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個(gè)數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．16．若，則=_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個(gè)根、，求的取值范圍及的值．18．已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值．19．已知向量是夾角為的單位向量，，（1）求；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，與平行？20．在中，三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大?。唬?）若，求，的值.（其中）21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x1＝64，乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為x2＝66，則x1<x2；甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y1＝＝65，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y2＝＝66.5，則y1<y2.2、A【解析】

先根據(jù)的圖象性質(zhì)，推得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)條件分析求解．【詳解】解：是把的圖象中軸下方的部分對稱到軸上方，函數(shù)在上遞減；在上遞增．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位而得，在，上遞減，在，上遞增，若存在，，，，使成立，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)、反正切函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)的圖象的平移．圖象可由的圖象向左、向右平移個(gè)單位得到，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），因?yàn)椤螪AB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點(diǎn)睛：本題主要考察平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．4、B【解析】

根據(jù)大邊對大角定理知邊長為所對的角不是最大角，只需對其他兩條邊所對的利用余弦定理，即這兩角的余弦值為正，可求出的取值范圍．【詳解】由題意知，邊長為所對的角不是最大角，則邊長為或所對的角為最大角，只需這兩個(gè)角為銳角即可，則這兩個(gè)角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來決定，并利用余弦定理結(jié)合余弦值的符號來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其關(guān)系如下：為銳角；為直角；為鈍角.5、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績波動性小，較為穩(wěn)定（方差較?。约壮煽兊姆讲顬閟1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．6、D【解析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.【詳解】A項(xiàng)，是終邊在軸正半軸的角的集合；B項(xiàng)，是終邊在軸的角的集合；C項(xiàng)，是終邊在軸正半軸的角的集合；D項(xiàng)，是終邊在軸的角的集合；綜上，D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，其前項(xiàng)之和為，故選A.8、B【解析】試題分析：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為（-1,1），半徑，弦心距為．因?yàn)閳A截直線所得弦長為4，所以．故選B．9、C【解析】

利用正弦定理，求得，再利用余弦定理，求得，即可求解．【詳解】在，因?yàn)?，由正弦定理可化簡得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地考慮用哪個(gè)定理更合適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

由題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，，以及直線的方程，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L為1，所以，，，，則直線的方程為，整理得，因?yàn)镋為線段AC上一動點(diǎn)，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，最大值為.即的取值范圍為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，利用建立坐標(biāo)系的方法求解即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

采用分離常數(shù)法對所給極限式變形，可得到極限值.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查分離常數(shù)法求極限，難度較易.12、.【解析】

分析題意，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明方法得到時(shí)，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當(dāng)時(shí)，左邊，由此將其對時(shí)的式子進(jìn)行對比，得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，觀察可知，增加的項(xiàng)數(shù)是，故答案是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應(yīng)式子中的量，認(rèn)真分析，明確哪些項(xiàng)是添的，得到結(jié)果.13、【解析】

根據(jù)首項(xiàng)、遞推公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，求出的值，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期數(shù)列，求出周期，利用數(shù)列的周期性可以求出的值.【詳解】，所以數(shù)列是以5為周期的數(shù)列，因?yàn)?0能被5整除，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的周期性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】

先由正弦定理得到角A的大小，再由三角形內(nèi)角和為得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角形正弦定理得到：，故得到或，因?yàn)楣实玫焦蚀鸢笧?【點(diǎn)睛】在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.15、【解析】

利用第m行共有個(gè)數(shù)，前m行共有個(gè)數(shù)，得的位置即可求解【詳解】因?yàn)榈趍行共有個(gè)數(shù)，前m行共有個(gè)數(shù)，所以應(yīng)該在第11行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，所以的位置為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個(gè)數(shù)成等差是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題16、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），見解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以；當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)圖象的畫法，以及方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合能力，以及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）由（2）求得的表達(dá)式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進(jìn)而求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．∴①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝1；②當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；設(shè)f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數(shù)m的最大值為1．【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查裂項(xiàng)求和法，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）1；（2）﹣6【解析】

（1）利用單位向量的定義，直接運(yùn)算即可；（2）利用，有，得出，然后列方程求解即可【詳解】解：（1）；（2）當(dāng)，則存在實(shí)數(shù)使，所以不共線，得，【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的定義，注意列方程運(yùn)算即可，屬于簡單題20、（1）；（2）4，6【解析】

（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出的值，即可確定出的度數(shù)；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算得到一個(gè)等式，記作①，把的度數(shù)代入求出的值,記作②,然后利用余弦定理表示出，把及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相應(yīng)的值代入，開方求出的值,由②③可知與為一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)解,求出方程的解,根據(jù)大于，可得出，的值.【詳解】（1）已知等式，利用正弦定理化簡得，整理得，即，，則.（2）由，得，①又由（1），②由余弦定理得，將及①代入得，，，③由②③可知與為一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，解此方程，并由大于，可得.【點(diǎn)睛】以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題