2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（全國）專題13 隱圓問題3種模型（教師版）

PAGE1PAGE專題13隱圓問題3種模型通用的解題思路：隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：（1）定點(diǎn)定長：當(dāng)遇到同一個端點(diǎn)出發(fā)的等長線段時，通常以這個端點(diǎn)為圓心，等線段長為半徑構(gòu)造輔助圓；（2）定弦定角：當(dāng)遇到動點(diǎn)對定點(diǎn)對定線段所張的角為定值時，通常把張角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造輔助圓。當(dāng)遇到直角時，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點(diǎn)共圓：對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。類型1：定點(diǎn)定長1．（2023?新城區(qū)校級三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所組成的圖形．（1）已知：如圖1，，請利用圓規(guī)畫出過、．三點(diǎn)的圓．若，則．如圖，中，，，．（2）已知，如圖2．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將沿方向平移2個單位長度，點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，求四邊形的面積和的大?。?）如圖3，將邊沿方向平移個單位至，是否存在這樣的，使得直線上有一點(diǎn)，滿足且此時四邊形的面積最大？若存在，求出四邊形面積的最大值及平移距離，若不存在，說明理由．【分析】（1）利用圓的定義知，，三點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理求解．（2）根據(jù)圖形的平移性質(zhì)，判定平移后圖形形狀，繼而確定面積的計(jì)算方式和方法，角度問題也迎刃而解．（3）因角度不變，借助圓周角定點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時角度不變的思想，判斷出點(diǎn)能夠向右移動的最大距離，求出四邊形的最大面積．【解答】（1）以為圓心，為半徑作輔助圓，如圖，，，，故答案為．（2）連接，，如圖，，中，，，．，，．為斜邊中點(diǎn)，，線段平移到之后，，，四邊形為菱形，，，，且，四邊形為直角梯形，，（3）如圖所示，以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角三角形，以為圓心，為半徑作，當(dāng)邊沿方向平移個單位至?xí)r，滿足且此時四邊形的面積最大，直線與相切于點(diǎn)，連接交于，過點(diǎn)作于，則，，，，，，，，，，，，，，，此時直角梯形的最大面積為：．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的平移，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，找到極值點(diǎn)求解．2．（2024?蘭州模擬）綜合與實(shí)踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問題，如圖，在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線），為的中線．【初步嘗試】（1）如圖1，小林同學(xué)發(fā)現(xiàn)：延長至點(diǎn)，使得，連接．始終存在以下兩個結(jié)論，請你在①，②中挑選一個進(jìn)行證明：①；②；【類比探究】（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)：，請你幫他證明；【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，直線與直線相交于點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中存在最大值．若，請直接寫出的最大值．【分析】（1）利用證明，可得，再結(jié)合，即可證得；由全等三角形性質(zhì)可得，再運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)即可證得；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接．利用證得，可得，再由，可證得；（3）延長至，使，設(shè)交于，連接交于，取中點(diǎn)，連接，可證得，利用三角形中位線定理可得，即，利用直角三角形性質(zhì)可得，得出點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的上運(yùn)動，連接并延長交于，可得的長為的最大值，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）證明：①為的中線，，在和中，，，，，；②由①知，，，；（2）證明：延長至點(diǎn)，使得，連接．由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，由（1）②得：，，，在和中，，，，，；（3）如圖3，延長至，使，設(shè)交于，連接交于，取中點(diǎn)，連接，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，即，在和中，，，，即，，，，、分別是、的中點(diǎn)，是的中位線，，即，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的上運(yùn)動，連接并延長交于，的長為的最大值，在中，，，的最大值為．【點(diǎn)評】本題是幾何綜合題，考查了三角形的全等的性質(zhì)與判定，兩直線垂直的判定，三角形中位線定理，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?番禺區(qū)二模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，，．其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)在拋物線第一象限的圖象上，垂足為，軸交直線于點(diǎn)，當(dāng)面積等于4時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，延長與線段的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)為，，三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，求點(diǎn)經(jīng)過的路線長．【分析】（1）利用對稱性，求得和的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；（2）證明和都為等腰直角三角形，利用等面積法求得，再求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解即可；（3）先求得，推出點(diǎn)的運(yùn)動路徑時的中點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到的中點(diǎn)之間的弧長，證明四邊形為正方形，即可求解．【解答】解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，，，代入得，，解得：，拋物線的解析式為．（2）如圖1所示：軸，，拋物線的解析式為，頂點(diǎn)，，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則，，解得：或（舍，，．（3）如圖2所示，是直角三角形，的外心是斜邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，△，其外心是斜邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，得△，其外心是斜邊的中點(diǎn)，即的中點(diǎn)，，，，，由（2）得，，，，，平分，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)在上運(yùn)動，即點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一條線段．，，四邊形為正方形，此時點(diǎn)在上，且；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，此時點(diǎn)在上，即為，且，由題意，，，，，△，，解得，，由勾股定理可得：，即點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長為1．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形外接圓的性質(zhì)，弧長公式，勾股定理，三角函數(shù)解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2021?紅谷灘區(qū)校級模擬）（1）學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，則點(diǎn)、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．（2）問題解決：如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)．（3）問題拓展：拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線交軸于點(diǎn)，連接．①若含角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點(diǎn)與重合，直角頂點(diǎn)在上，另一頂點(diǎn)在上，求的坐標(biāo)；②若含角的直角三角板一個頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個頂點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．（2）由、、、共圓，得出，（3）①先求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)、、、共圓，得出，求出，再求點(diǎn)的坐標(biāo)．②分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時，Ⅱ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時，運(yùn)用點(diǎn)、、、共圓，求出即點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入拋物線求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），，以點(diǎn)為圓心，點(diǎn)、、必在上，是的圓心角，而是圓周角，，（2）如圖2，，點(diǎn)、、、共圓，，，，（3）①如圖3點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個頂點(diǎn)與重合，直角頂點(diǎn)在上，另一頂點(diǎn)在上，點(diǎn)、、、共圓，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，②如圖4，Ⅰ、當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時，直角三角板角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個頂點(diǎn)在上點(diǎn)、、、共圓，，，，把代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)是，Ⅱ、如圖5，當(dāng)?shù)慕堑捻旤c(diǎn)與點(diǎn)重合時，直角三角板角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)在上，另一個頂點(diǎn)在上點(diǎn)、、、共圓，，，，把代入得，點(diǎn)的坐標(biāo)是，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵就是運(yùn)用同弦對的圓周角相等．類型2：定弦定角1．（2022?雁塔區(qū)校級三模）問題提出（1）如圖①，已知為邊長為2的等邊三角形，則的面積為；問題探究（2）如圖②，在中，已知，，求的最大面積；問題解決（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形，其寬米，長米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面上安裝一臺攝像頭進(jìn)行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面區(qū)域，同時為了觀測效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)出發(fā)的觀測角，請你通過所學(xué)知識進(jìn)行分析，在墻面區(qū)域上是否存在點(diǎn)滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【分析】（1）作于，由勾股定理求出的長，即可求出面積；（2）作的外接圓，可知點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)時，的面積最大，求出的長，從而得出答案；（3）以為邊，在矩形的內(nèi)部作一個等腰直角三角形，且，過作于，交于，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長，則以為圓心，為半徑的圓與相交，從而上存在點(diǎn)，滿足，此時滿足條件的有兩個點(diǎn)，過作于，作于，連接，利用勾股定理求出的長，從而解決問題．【解答】解：（1）作于，是邊長為2的等邊三角形，，，的面積為，故答案為：；（2）作的外接圓，，，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)時，的面積最大，，，，，，的最大面積為；（3）存在，以為邊，在矩形的內(nèi)部作一個等腰直角三角形，且，過作于，交于，米，米，米，米，米，，以為圓心，為半徑的圓與相交，上存在點(diǎn)，滿足，此時滿足條件的有兩個點(diǎn)，過作于，作于，連接，米，米，米，米，米，同理（米，的長度為8米或12米．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識，熟練掌握定角定邊的基本模型是解題的關(guān)鍵．2．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）問題提出：（1）如圖①，為等腰三角形，，，是上一點(diǎn)，且平分的面積，則線段的長度為4．問題探究：（2）如圖②，中，，，試分析和判斷的面積是否存在最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會場旁規(guī)劃一個四邊形花圃，滿足米，米，，，主辦方打算過的中點(diǎn)點(diǎn)（入口）修建一條徑直的通道（寬度忽略不計(jì)）其中點(diǎn)（出口）為四邊形邊上一點(diǎn)，通道把四邊形分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休閑觀賞．問是否存在滿足上述條件的通道？若存在，請求出點(diǎn)距出口的距離的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意可知，是的中線，利用等腰三角形的性質(zhì)推出，利用三角函數(shù)求解即可解決問題；（2）當(dāng)?shù)倪吷系母咦畲髸r，三角形的面積最大，即過圓心，連接．求出的最大值即可得出答案；（3）連接，．首先證明，求出，推出的面積是定值，要使得四邊形的面積最大，只要的面積最大即可，因?yàn)闉槎ㄖ担瑸槎ń?，推出?dāng)是等邊三角形時，求出四邊形的面積最大值，然后再求出，構(gòu)建方程解決問題即可．【解答】解：（1）如圖①，平分的面積，，，，，，的長度為4，故答案為：4；（2）存在．如圖②，，都是定值，點(diǎn)在上，并且當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時，的面積最大；連接交于點(diǎn)，則，，，，，，答：的面積最大值是；（3）存在．如圖③，連接，，是的中點(diǎn)，，，又，是等邊三角形，，，，，米，在中，米，為定值，由（2）可知當(dāng)時，即為等邊三角形時的面積最大，此時也為四邊形的最大值的面積不變），；是等邊三角形，，，由，得：，解得：，（米，答：點(diǎn)距出口的距離的長為米．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)造輔助圓，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，難度較大，屬于中考壓軸題．3．（2023?柯城區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點(diǎn)．（1）使的點(diǎn)有無數(shù)個；（2）若點(diǎn)在軸上，且，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動時，是否有最大值？若有，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明此時最大的理由；若沒有，也請說明理由．【分析】（1）已知點(diǎn)、點(diǎn)是定點(diǎn)，要使，只需點(diǎn)在過點(diǎn)、點(diǎn)的圓上，且弧所對的圓心角為即可，顯然符合條件的點(diǎn)有無數(shù)個．（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，點(diǎn)是（1）中的圓與軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時，同理可求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角．要最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)、點(diǎn)且與軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得最大的點(diǎn)，然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．【解答】解：（1）以為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，交軸于點(diǎn)、．在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，如圖1，則．使的點(diǎn)有無數(shù)個．故答案為：無數(shù)．（2）①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，過點(diǎn)作，垂足為，如圖1．點(diǎn)，點(diǎn)，，．．點(diǎn)為圓心，，．．是等邊三角形，．．點(diǎn)的坐標(biāo)為，．過點(diǎn)作軸，垂足為，連接，如圖1，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．、是與軸的交點(diǎn)，．，，．點(diǎn)為圓心，，．，．，．②當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時，同理可得：．．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有：，、，、、．（3）當(dāng)過點(diǎn)、的與軸相切于點(diǎn)時，最大．理由：可證：，當(dāng)最大時，最大．由得：當(dāng)最小即最小時，最大．所以當(dāng)圓與軸相切時，最大．①當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上時，連接，作軸，垂足為，如圖2．與軸相切于點(diǎn)，．，，．四邊形是矩形．，．．，，，．②當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時，同理可得：．理由：①若點(diǎn)在軸的正半軸上，在軸的正半軸上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，，交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．是的外角，．，．②若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，同理可證得：．綜上所述：當(dāng)點(diǎn)在軸上移動時，有最大值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為和．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)．同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度．構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵．類型3：四點(diǎn)共圓1．（2022?中原區(qū)校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)，，重合），過點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，．求證：點(diǎn)，，在同一條直線上．如下是他們的證明過程（不完整）如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)，連接．，則，（依據(jù)點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，．（依據(jù)又，．同上可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②依據(jù)2指的是．（2）請將證明過程補(bǔ)充完整．（3）善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，，請你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可；（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，四點(diǎn)分別共圓，再說明，可證明結(jié)論；（3）連接，，，利用證明，從而得出結(jié)論．【解答】（1）解：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；（2）解：如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)，連接．，則，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，又，，同上可得點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，，，點(diǎn)，，在同一直線上；（3）證明：如圖，連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，又，，，，．【點(diǎn)評】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．2．（2021?哈爾濱模擬）（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助，則點(diǎn)、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到45．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，，是正方形的邊上兩個動點(diǎn)，滿足．連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若正方形的邊長為2，則線段長度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．（2）由、、、共圓，得出，（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，從而得到，然后求出，取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的長度最?。窘獯稹拷猓海?）如圖1，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)、、必在上，是的圓心角，而是圓周角，，故答案為：45；（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接、．，點(diǎn)、、、共圓，，，，（3）如圖3，在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，取的中點(diǎn)，連接、，則，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的長度最小，最小值．（解法二：可以