滬教版 八年級數(shù)學(xué) 二元一次方程組解法及其應(yīng)用

生二元一次方程組解法及其應(yīng)用涕

s課前測試

【題目】課前測試

如圖所示，用8塊相同的長方形地磚，拼成一個長方形圖案（地磚間的縫隙不計），若長

方形的圖案周長為3米，求每塊地磚的長和寬分別是多少？

【答案】0.45米、0.15米

【解析】試題分析由于長方形圖案周長是3米，我們可以設(shè)長方形地磚的長和寬分別是X、

V,那么第一個方程就是2x+（x+y）=1.5,現(xiàn)在就要想辦法再找一個關(guān)于x和y的方程就

可以解決問題。我們觀察圖案可以發(fā)現(xiàn)：圖案的長可以用2x來表示，也可以用x+3y來表

示，因此就有2x=x+3y,兩個構(gòu)成二元一次方程組求解即可。

解:「長方形的周長為3米，

二1殳每塊長方形地廢的長:為x,變?yōu)閥.

'"）、?=丫-31

依題營得<_，

=

k2>—.T-T1.5

_Bf.v=0.45

1.1=045

言：長方形地語的長為0,45m,寬為0.15m

故答案為：0.45米，0」5米.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，主要通過觀察圖形得到關(guān)于x和y的兩個等量關(guān)

系建立方程組求解。

【難度】3

【題目】課前測試

車間里有90名工人,每人每天能生產(chǎn)螺母24個或螺栓15個,若一個螺栓配兩個螺母，那

么應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

【答案】40人生產(chǎn)螺栓、50人生產(chǎn)螺母

【解析】試題分析:可以設(shè)x人生產(chǎn)螺栓,y人生產(chǎn)螺母，根據(jù)總?cè)藬?shù)可以列方程:x+y=90;

根據(jù)一個螺栓配兩個螺母可以知道螺母的數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍，可以列方程2xl5x=24y,

然后聯(lián)立解這個二元一次方程組即可。

解：設(shè)應(yīng)分配x人生一提桂，y人生戶播學(xué).根據(jù)題字鬲：

Jx-1=90

12xl5.v=24r，

(>=40

y=50

答：應(yīng)分配40人生產(chǎn)擺桂.50人生戶援寫才能使捷桂和矮寫正好配齊.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，首先要讀懂題目的意思，根據(jù)已知的條件分析找

到2個等量關(guān)系，列出方程組求解。

o知識定位

適用范圍滬教版，六年級，成績中等以及中等以下

知識點才既述二元一次方程組是在一元一次方程的基礎(chǔ)上展開進行的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)

同學(xué)們要掌握二元一次方程組的解法以及解應(yīng)用題，充分將數(shù)學(xué)上所學(xué)的知識結(jié)合生活實踐,

從中讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識來源于生活、服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱爰，培養(yǎng)學(xué)生運

用數(shù)學(xué)的意識。

適用對象成績中等以及中等以下

;主意事項大部分學(xué)生試聽這個內(nèi)容主要想聽二元一次方程組的兩種解法代入消元法

和加減消元法。

重點選講：

r----------------------------

①二元一次方程

i

②二元一次方程組及其解法

③二元一次方程組的應(yīng)用

念知識梳理

念知識梳理1:二元一次方程

回顧：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。

根據(jù)以上定義，你能快速的給二元一次方程下個定義嗎？

［曾：工園義;含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做二元一次方程。

二元一次

nsw娟祖盥：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二

元一次方程的解。

&nsT^幅迪觸：二元一次方程的解有無數(shù)個，二元一次方程的解的全體

叫做這個二元一次方程的解集。

⑥知識梳理2:二元一次方程組及其解法

1、由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含

未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做一史就出

［曾：2、在二元一次方程組中，使每個方程都適合的解，叫做二元一狼忌逛恤鼠

解題常用方法—代△消元法、加減消元法

通過“代入”消去一個未知通過將兩個方程相加(或相

數(shù)，將方程式轉(zhuǎn)化為一元一減)消去一個未知數(shù)，將方

次方程，這種方法簡稱“代程式轉(zhuǎn)化為一元一次方程，

入消元法”這種方法簡稱“加減消元法”

解法總結(jié)

(1)當(dāng)方程組的兩個方程中某一方程的未知數(shù)系數(shù)是絕對值為1的數(shù)時，則優(yōu)先選擇

代入消元法來做；

(2)當(dāng)方程組中兩介方程的某個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，則選擇加減消元

法；

(3)當(dāng)方程組中同一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值均不相等時，可以把兩介方程的兩邊各自

乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，選擇加減消元法求解。

⑥知識梳理3:二元一次方程組的應(yīng)用

籀用二元一次方程組解決實際問題的步驟如下：

數(shù)學(xué)的題

實際同趣

解

方

程

(

組

)

數(shù)學(xué)網(wǎng)題的解

實際例題的答案

念例題精講

【題目】

題型1:二元一次方程

若關(guān)于X、y的方程2x"T+=1是二元一次方程，則m=,n=.

【答案】m=3、n=2

【解析】試題分析：二元一次方程一定滿足有2個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，該

題有x、v兩個未知數(shù)滿足，所以要滿足次數(shù)都是1次。令n-l=l,m-2=l，求出m和n

的值。

解：.■方程2xn"+ym-2=i是關(guān)于人y的二元一次方程，

.■.n-l=l,m-2=l,解得n=2,m=3.

故答室為：3;2.

總結(jié)：本題主要考查二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

題型1變式訓(xùn)練1:二元一次方程

已知（a-2）x+a2-3+y=l是關(guān)于x,y的二元一次方程，則a是值為.

【答案】a/2

【解析】試題分析：二元一次方程一定滿足有2個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，該

題y已滿足，X的次數(shù)是一次，要使X存在，那么它的系數(shù)不能為0即可。

解:依題號1導(dǎo)：a-2=0.

解得aw2.

故答室是：a=2.

總結(jié)：本題主要考查二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】

題型1變式訓(xùn)練2:二元一次方

x=a

若，是方程2x+y=0的一組解，求6a+3b+2的值。

[y=b

【答案】2

【解析】試題分析：把方程的解代入到方程里面，可以得到一個含有a、b的二元一次方程

2a+b=0,到這一步可以觀察與最后所求代數(shù)式的關(guān)系，把6a+3b可以適當(dāng)變形，從而求

出結(jié)果。

解：把卜.'代入方程2x+y=0.i?2a+b=0,

=b

.-.6a+3b+2=3(2a+b)+2=2.

故答室為：2.

總結(jié)：本題解題的關(guān)鍵是把方程的解代入原方程，運用整體代入的方法進行求解。

【難度】3

【題目】

題型2:二元一次方程組及其解法

已知x、y滿足方程組;一?二:，求代數(shù)式(r)L

【答案】-8

【解析】試題分析：方程組利用代入消元法求出x和y的值，再代入代數(shù)式求解。

v-2,1=--l(D

解：方程坦

2x-3j=13②

由①得:x=2y-4③

把③代入②得：4y-8+3y=13,即y=3

把丫=3代入③得:x=2,

則耳式=-8.

總結(jié)：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】

題型2變式訓(xùn)練1:二元一次方程組及其解法

231

—X——y=—

342

解方程組：中

4(x-y)-3(2x+y)=y

JQ----3-

【答案】8

y=-1

【解析】試題分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程再求解。

JS.Y-9I=6(D

t-S.v-2Sr=310

①+②得，37y=37,

解得y=_],

把y=-l代入①得,8x-9x(-1)=6,

解得x=《，

所以，方程組的解是J-.

y=-l

總結(jié)：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵。

【題目】

題型2變式訓(xùn)練2:二元一次方程組及其解法

2%+v=]+3/71

已知方程組<:,的解x、y滿足x+y<l,且m為正數(shù)，求m的取值范圍.

x+2y=l-m

【答案】0<m<|

【解析】試題分析：首先要明白這是關(guān)于x、y的二元一次方程組，所以要把方程里面的m

看作已知量，解出X和y都是含有m的式子，再根據(jù)x+y<l,m為正數(shù)，求出m的取值范

圍。

解：①乂2■②,i?3x=l+7m

1一7加

x=-；——，

n

把x=代入①得"匚也+y=i+3m,

33

1-5Hl

y=F-，

.x+y<1,

——;——~——；——J1

33

-1

丁.

,/m>0,

總結(jié)：本題考查了二元一次方程組的解，先求出二元一次方程組的解，再求出m的取值范

圍。

【難度】4

【題目】題型3:二元一次方程組的應(yīng)用

在矩形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，試求圖中陰影

部分的總面積。

【答案】44cm2

【解析】試題分析：由于長方形的長和寬都是未知，所以設(shè)長為x,寬為y。觀察圖形利用

圖中已給的數(shù)據(jù)列關(guān)于x和y的方程，整體來看矩形ABCD發(fā)現(xiàn)它的長可以用x+3y來表

示，它的寬可以用2y+6=x+y來表示，聯(lián)立解二元一次方程組求解。

解：設(shè)小板:方形的長為x變?yōu)閥,如圖可卻,

x+3y=14,①

x+y-2y=6,即x-y=6,②

①-②得4y=8,y=2，代入②得x=8.

因此,大更形ABCD的寬AD=6+2y=6+2x2=10.

邁形ABCD面積=14x10=140（平方星來：），

陰矍部分與面積=140-6x2x8=44（平方屋米）.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用以及學(xué)生對圖表的閱讀能力，根據(jù)題目的意思找到兩

個等量關(guān)系列出方程組。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:二元一次方程組的應(yīng)用

某市熱帶植物園的門票價格規(guī)定如下表所列，某校七年級（1）、（2）兩個班學(xué)生共103

人去該園參觀，其中七（1）班人數(shù)不少于30人且不多于50人，經(jīng)預(yù)算，若兩班都以班為

單位分別購票，則總共付1950元。

購袈人數(shù)1-50A51~100A100人以上

每人門票價20元18元15元

（1）若兩班學(xué)生合在一起作為一個團體購票，則最多可以節(jié)省門票多少元？

（2）求兩班各有多少名學(xué)生？

【答案】（1）405元；（2）七（1）班48名、七（2）班55名

【解析】試題分析：七（1）班人數(shù)不少于30人且不多于50人，單價是20元；因此也可

以推算出七（2）班人數(shù)在51—100人之間，單價為18元。

解：(1)最多可以節(jié)?。?950-103x15=405(元)

(2)設(shè)七年級(1)比有x名學(xué)生,七年級(2)比有y名字主，

因為下氏人數(shù)不少于30人且不多于50人，

所以依題號，得，.，

[20.V-181=1950

、?=4S

_.

(1=55

香：七年級(1)比有48名學(xué)生，七年級(2)JE有55名學(xué)生.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，注意理解各段票價的意義，這是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:二元一次方程組的應(yīng)用

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個粗細相同的進水管，當(dāng)打開4個

進水管時，需要5小時注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時，需要15個小時才能注滿水池，現(xiàn)

需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個小進水管？

【答案】9

【解析】試題分析：先求出每個進水管1小時的注水量，排水管1小時的排水量。

解：設(shè)每個進水管1小時的注水量力a.排水管1小時的排水量為b,若唱兩小時三善水池萼二-x個進水菖

'(4a-b)x5=(2a-j))xi5①

、(GT)X2=(447-6)*5②

由①得到4a-b=6a-3b,

即a=b③,

把③代入②得：2(ax-a)=5(4a-a),

即2ax=17a,好得:x=8.5,

由于水置不可能半個，所以至少聶9個進水管才能它兩個小時內(nèi)注尚水池.

答：至少開9個進水管.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于要設(shè)進水量和出水量為未知常量。

【難度】3

【題目】興趣篇1

小明的媽媽在菜市場買回3斤蘿卜、2斤排骨，準(zhǔn)備做蘿卜排骨湯。

媽媽："今天買這兩樣菜一共花45元，上月買同重量的這兩樣菜只要36元"；

爸爸："報紙上說了蘿卜的單價上漲50%,排骨單價上漲20%";

小明："爸爸、媽媽，我想知道今天買的蘿卜和排骨的單價分別是多少？"

請你通過列方程(組)求解這天蘿卜、排骨的單價(單位：元/斤).

【答案】蘿卜3元/斤，排骨18元/斤

【解析】試題分析：設(shè)上月蘿卜的單價是x元/斤，排骨的單價是y元/斤，表示出今天這兩

種菜的單價，然后根據(jù)等量關(guān)系列方程。

解：役上月蕈卜的單價是x元/尸.排管的單價y元/尸.根據(jù)題字得:

3.V-2.1=36

\3(1-50°O)A-2(1-20°O)I=45'

解得：J'-2.

v=15

這天蘿卜的單價是(1+50%)x=(1+50%)x2=3(元/斤),

這天排售的單價是(1+20%)y=(1+20%)xl5=18(元/斤),

有這天蘿卜的聿價是3元/F,排等白聿斤'是18元/尸.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，學(xué)會利用圖中的已知條件、等量關(guān)系列方程。

【難度】3

【題目】興趣篇2

遼南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某汽車公司計劃裝運A、B、C三種蘋果去外地銷售，按規(guī)定

每輛汽車只能裝同一種蘋果，且必須裝滿，下表所示為裝運A、B、C三種蘋果的重量及利

潤。

蘋曇品種ABC

每輛汽車運轉(zhuǎn)量(噸)211.5

每噸羊臭可獲利潤(萬元)574

(1)用10量汽車裝運B、C兩種蘋果13噸到甲地銷售，問裝運B、C兩種蘋果的汽車各

多少量？

(2)公司計劃用20輛汽車裝運A、B兩種蘋果36噸到乙地銷售(每種蘋果不少于1車)，

則利潤是多少？

【答案】(1)裝運B蘋果的汽車4輛，裝運C蘋果的汽車6輛

(2)188萬元

【解析】試題分析：利潤=售價-進價，理解表格數(shù)據(jù)，找出等量關(guān)系列方程。

解：(1)設(shè)裝B蘋果的三x里,裝(:蘋果的主y衰，

則x+y=10,x+1.5y=13,

解1屋x=4,y=6,

裝運B蘋果的汽車4輛,C蘋果的汽車6輛:

(2)設(shè)裝A蘋果的主a璃，裝B蘋果的三b病.

則a+b=20,2a+b=36,

解得a=16,b=4,

則利潤為10x16+7x4=188.

故利潤為188萬元.

爸：(1)裝運B蘋果的汽主4里,C蘋果的汽主6班(2)利涓為188萬元.

總結(jié)：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、利潤的計算。難度不大，關(guān)鍵在于分析和理解。

【難度】3

【題目】備選試題1

乂+-1

解方程組：23

%+y=4：

x=-1

【答案】

y=5

【解析】試題分析：先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程再求解。

解：

3A-2.T=7(D

受理信

2.Y-2,T=S?

②-①得:-x=l,

x=-l,

把x=-l代入①中得:y=5

二方程組的解為：｛"二T

總結(jié)：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】

備選試題2

x+y=3

如果關(guān)于x、y的方程組。的解是負數(shù)，求a的取值范圍是（）

x-Zy=a-Z

A.-4<a<5B.a>5C.a<-4D.無角軍

【答案】D

【解析】試題分析：用a的代數(shù)式分別表示x和y,然后根據(jù)x和y都是負數(shù)求解a的取值

范圍。

解:將x=3-y代入第二個方程用a表示y得:y=-=^由于y<0;則a>5:

將y=3-x代入第二個方程用a表示x得:x=■由于x<0；則a<-4;綜臺以上a無解.

故選：D.

總結(jié)：本題考查了解二元一次方程組，根據(jù)x和y的取值范圍確定a的取值范圍。

【難度】3

【題目】備選試題3

x-y=k+2

方程組\,的解適合方程x+y=2,求k的值。

x+6y=k.

【答案】1

【解析】試題分析：這是關(guān)于x、y的二元一次方程組，所以把k看作是常量，常規(guī)的方法

是把x、y解出來分別用k表示，然后代入方程x+y=2求出k的值。但是細心觀察一下，

兩個方程做一個加法，可以直接得至”+y=k+l,所以k+l=2,這樣更方便。

"卜一if-2①

解：4，，

.V-31?=2②

①+②得，x+y=k+l,

由題意得,k+1=2,

解答.k=l,

總結(jié)：本題考查了二元一次方程組的解，掌握加減消元法是解本題的關(guān)鍵。

【難度】3

【題目】

備選試題4

在某濃度的鹽水中加入一杯水后，得到新鹽水，它的濃度為20%,又在新鹽水中加入與前

述一杯水的重量相等的純鹽合，鹽水濃度變?yōu)?3；%,那么原來鹽水的濃度是.

【答案】25%

【解析】試