新教材 人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 課時練習(xí)題及章末測驗(yàn) 習(xí)題含解析

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

1.不等關(guān)系與不等式....................................................-1-

2.等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)................................................-5-

3.基本不等式.........................................................-11-

4.基本不等式的應(yīng)用...................................................-16-

5.一元二次不等式及其解法.............................................-21-

6.一元二次不等式的應(yīng)用...............................................-27-

章末綜合測驗(yàn)...........................................................-32-

L不等關(guān)系與不等式

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”

B.小明的身高xcm,小華的身高ycm,則小明比小華矮表示為“x>y”

C.某變量x至少是a可表示為

D.某變量y不超過a可表示為“yNa”

C[對于A,x應(yīng)滿足后2000,故A錯；對于B,x,y應(yīng)滿足故B

不正確；C正確；對于D,y與a的關(guān)系可表示為故D錯誤.]

2.設(shè)a=3第一為+1,b=2x-\-x,x?R,則（）

A.a>bB.a<b

C.a^-bD.aWb

C[Va-Z>=y—2jr+l=（x-1）2^0,

aNb.]

3.若aW2且6W—1,則〃=才+療一4a+26的值與一5的大小關(guān)系是（）

A.M>-5B.M<-5

C.般=一5D.不能確定

A\_M=（a-2）2+（^+l）2-5>-5.

故選A.]

4.下面表示“a與5的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是（）

A.a—/?>0B.a—/?<0

C.a—Z?20D.a—Z?WO

[答案]C

5.已知c>l,且x=>c+l--,y=y[c—\lc—1,則x,y之間的大小關(guān)系

是()

A.x>yB.x=y

C.x<yD.x,y的關(guān)系隨c而定

C[用作商法比較，由題意x,y>0,

..x_]c+l—也也+/—1.

yy[c—y[c-lyjc+l+^Jc'"

二、填空題

6.已知a,人為實(shí)數(shù),則(a+3)(a—5)(a+2)(a—4).(填“〉”

或“=”)

<[因?yàn)?a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)=(a2—2a—15)—(a2—2a—8)=一

7<0,所以(a+3)(a—5)〈(a+2)(a—4).]

7.一輛汽車原來每天行駛xkm,如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km,

那么在8天內(nèi)它的行程將超過2200km,用不等式表示為

8(x+19)>2200[因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉矶?9km,所以汽車每

天行駛的路程為(x+19)km,則在8天內(nèi)它的行程為8(x+19)km,因此，不等關(guān)系

“在8天內(nèi)它的行程將超過2200km”可以用不等式8(x+19)〉2200來表示.]

8.當(dāng)川〉1時，序與著一加+1的大小關(guān)系為.

n}>nl—ffl+1[序一(TH—?+l)

=希一i￡-Vm—\=in(ffl—1)+(7?—1)

=(?-1)(ffl+l),

ni>1,故(r—1)(/+1)>0.

'.m>nt-?+l.]

三、解答題

9.有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和

每架飛機(jī)運(yùn)輸效果如下表：

效果方式種類輪船運(yùn)輸量/力飛機(jī)運(yùn)輸量/力

糧食300150

石油250100

現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運(yùn)輸2OOOt糧食和1500t石油.寫出安排輪船艘數(shù)和

飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式.

［解］設(shè)需要安排x艘輪船和y架飛機(jī).

r300^+1507^2000,

250x+100介1500,

則〈

lyGN,

"6x+3y240,

5x+2y230,

即〈

xGN,

10-設(shè)在R且'NT，比較士與1-x的大小?

22

11——XX

［解］(1—x)=一

1+xTT7

當(dāng)x=°時,+=1—X；

2

X1

當(dāng)l+x<0,即x<—1時,--<0,???不一不

1十x

當(dāng)l+x＞。且￡0,即一1＜X＜?；騲＞。時，申〉。,

?1

/.-r-;->1—x,

1十x

11.足球賽期間，某球迷俱樂部一行56人從旅館乘出租車到球場為中國隊(duì)

加油，現(xiàn)有48兩個出租車隊(duì)，/隊(duì)比8隊(duì)少3輛車.若全部安排乘/隊(duì)的車,

每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊(duì)的

車，每輛車坐4人,車不夠，每輛車坐5人,有的車未坐滿.則/隊(duì)有出租車（

A.11輛B.10輛

C.9輛D.8輛

B［設(shè)/隊(duì)有出租車x輛，則方隊(duì)有出租車（x+3）輛，由題意得

〃5xV56,

6x>56,

<

x+<56,

<x+>56,

1

喝

1

x>9~

解得〈o

X<11

1

X>8F.

I5

1

0

而x為正整數(shù)，故x=10.］

12.（多選題）下列條件中，能推出的是（）

ab

A.b>Q>aB.Q>a>b

C.a>Q>bD.a>Z?>0

11I1A—與

ABD［由一得一一］==<。，故ABD均正確.］

ababab

13.一個棱長為2的正方體的卜.底面有一點(diǎn)A,下底面有一點(diǎn)B,則/,6兩

點(diǎn)間的距離d滿足的不等式為.

2WdW2?。圩疃叹嚯x是棱長2,最長距離是正方體的體對角線長2小.故

2W店2?。?/p>

14.（一題兩空）某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)/,8兩類共50件電子器

件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：

產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值（萬元/件）

4類7.5

2

1

8類6

3

今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，最高產(chǎn)值為

________萬元.

20330［設(shè)應(yīng)開發(fā)/類電子器件x件，則開發(fā)8類電子器件(50—x)件，則

Y-V

解得后20.

乙U

由題意，得總產(chǎn)值y=7.5x+6X(50-x)=300+1.5后330,

當(dāng)且僅當(dāng)x=20時，y取最大值330.

所以應(yīng)開發(fā)/類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元.］

15.甲、乙兩車從/地沿同一路線到達(dá)8地，甲車一半時間的速度為a,另一

半時間的速度為左乙車用速度a行走一半路程，用速度力行走另一半路程，若a手b,

試判斷哪輛車先到達(dá)8地？

［解］設(shè)48兩地路程為2s,甲車走完/地到8地的路程所用時間為3則

titi4s

萬a+56=2s,tx=—,

乙車走完力地到占地的路程所用的時間為U,

則t=~+j.

2ab

4sss

乂ti—fe=-T；——7

a-\~bab

sab—sba~\-b—saa~\-b

aba~\-b

_sa—b2

=-:...-,---<0(Va^b,a>0,b>0,s>0),

aba-rb

：.t!<t2,即甲車先到達(dá)B地.

2.等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

、選擇題

1.已知：a,b,c,dGR,則下列命題中必成立的是(

A.若a>b,c>b,則

B.若a>—b,則c—aVc+Z?

,,,,、ab

C.右a>b,c<d貝卜

9cd

D.若4>Z?2,則一aV一6

B[選項(xiàng)A,若a=4,b=2,c=5,顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式

的條件，如己>6>0,cVOVd時，不成立；選項(xiàng)D只有a>Z?>0時才可以.否則

如己=-1,6=0時不成立，故選B.]

2.設(shè)於1>力一1,則下列不等式中恒成立的是（）

1111

A.-<TB.->7

abab

C.）〉2bD.a>l）

1t111

D[A錯，例如<3=2,一時，a此時，—>丁B錯，例如a

=亍廠-2,ab

1,1111151525

=2,時，_=3,7=2,止匕時，C錯，例如a-=~,力=77時r，a9=77，2b

2a2bab'4lblb

=77，此時我2力；由a>l,次1得故D正確.]

lb

3.已知a〉4則下列不等式：①給生②③上>,其中不成立的個數(shù)

aba-ba

是（）

A.0B.1

C.2D.3

D[雖然已知a〉5,但并不知道a,，的正負(fù)，如有2〉一3,但2y（—3”，故

①錯；2>—3=>|>—②錯；若有a=l,b=—2,則手匕=]，故③錯.]

4.若abcKO,且a〉0,b>c,oKO,則（）

A.僅0,c<0B.b>0,c>0

C.b>0,c<0D.0〈c〈5或c〈伙0

D[由a〉0,d<0,且aAoKO,知力c〉0,又.：垃c,.?.0〈，〈力或?！椿?.]

5.若a,b,cGR,a>b,則下列不等式成立的是（）

11

A.~<7B.a>2b?

ab

C.d+]>c2+]D.a\c\>b\c\

C[對A,若a>0>4貝A>0,7<0,

ab

此時工，A不成立；

ab

對B,若a=l,b=—2,則a2<62,

，B不成立；

對C,Vc+1>L且a>6,，至^>丑1恒成立，'C正確；

對D,當(dāng)c=0時,a\c\=b\c\,

；.D不成立.]

二、填空題

6.給出以下四個命題：

①a>6na">"(〃GN*)；②a>|引na">"(〃eN*)；③aV6<0n4>J；④aV

ab

6<0今二其中真命題的序號是_______.

a~ba

②③[①中取a=—l,b=—2,n=2,不成立；②a>1引，得a>0,'.a

>"成立；

③a<b<0,得成立；

ab

@a<b<0,得a—￡><。,且a—5>a,故一^T<~,④不成立.]

a—ba

7.設(shè)x>l,—l<y<0,將x,y,一y按從小到大的順序排列如下：.

y<—y<.x[V—l<y<0,0<—y<l,：.y<—y,又x>l,y<~y<

x]

x

8.若8〈水10,2<水4,貝與的取值范圍是.

x111

2<_<5[rV2<y<4,.\T<—<—

y4y2

Xr

V8<^<10,A2<-<5.］

y

三、解答題

9.(1)已知a<ZKO,求證:

⑵已知a＞b,求證：a力0.

ho6—甘

［證明］⑴由于「一4=

ab

b+ab-a

ab

■:a〈欣0,

b+a〈O,b—a>Q,ab>0,

b-\~ab~a

~~高—〈°'

⑵：

11

r1rt5—a

即:r〈3

而a>b,

/.b—a<0,

ab>0.

10.已知：3＜a+力＜4,0＜力＜1,求下列各式的取值范圍.

⑴a；⑵i(3)

［解］⑴?.,3Va+6V4,0V6V1,

—1<一力<0,

2<a+6+(—6)V4,

即2Va<4.

(2)"：Q<b<\,

又,.?2<aV4,

/.l<a—bV4.

/、1

(3)VO<Z?<1,.*.7>b

b

又???2VaV4,.*.7>2.

b

n.(多選題)設(shè)a,6為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若才一方2=1,則.一一1

什11E

B.右^一一=1,則己一伙1

ba

C.若|—一5|=1,則|a—引<1

D.若|才一引=1,則——引〈1

AD[對于A,由題意a,力為正實(shí)數(shù)，貝!J才一方2=1=>耳一力=-r-7=>a—Z?>0=>

a+b

a>b>0,故a+力a一/?>0.若a—b^l,則一二21na+Z?WlWa-b,這與a-\~b>a

a+b

一力0矛盾，故與一伙1成立.

3

對于B,取特殊值，a=3,b=~,則a—Z?>L

對于C,取特殊值，3=9,6=4時，|a—引>1.

對于D,V|a—B|=L<3>0,b>0,

―,不妨設(shè)力力0.

.二百+ab+6)者——2ab+,

222

/.(a-Z?)(a+aZ?+Z?)>{a—IJ)(a—/?).

3

即a~t)y{a—IJ)>0,

/.1=|a—引>(a—b)3>0,

：.0<a~b<l9

即—一引《L因此D正確.]

,,JIJI..一

12.右a,￡?兩足一下<aV￡<5，則2a—￡的取值范圍是()

A.lnV2Q—￡VOB.—nV2Q—￡VJI

3兀JI

C.—^-<2a—<—D.0<2a—Ji

JIJI

C[V——<Q<—,/.—兀<2aV兀.

JIJIJI兀3兀3兀

—~T<￡<7，I.——<—￡<—,z-<2a—B<-z-.又a—￡<0,

乙乙乙乙乙乙

JIJi3兀JI

Q<—,/.2a—J3<—.故一一^-V2Q—]

Qd

13.已知三個不等式：①勖>0；②->]；③A>a〃若以其中的兩個作為條

ab

件，余下的一個作為結(jié)論，則可以組成個正確命題.

3[①②今③，③①n②.(證明略)

由②得如4>°，又由③得bc—ad>0.所以ab>0n①.所以可以組成3個

ab

正確命題.]

14.(一題兩空)已知一1WX+J<4,且2Wx—j<3,則x的取值范圍為

,2=2x-3y的取值范圍為.

17f—lWx+j<417

jW后83WzW8[由J—一°，得lW2x<7,即后j

2=—；(x+力+|(x-y),

11515

—2W—](x+力W],5W](x—y)W萬，

15

??.3W-](x+力+萬(才一力W8,

??.3WzW8.]

15.已知二次函數(shù)y=aV+6x+c滿足以下條件：

(1)該函數(shù)圖象過原點(diǎn)；

(2)當(dāng)x=—1時，y的取值范圍為大于等于1且小于等于2；

(3)當(dāng)x=l時，y的取值范圍為大于等于3且小于等于4；

求當(dāng)x=—2時，y的取值范圍.

[解],二次函數(shù)尸a*+6x+c圖象過原點(diǎn),

c=0,

y=ax+bx.

又,:當(dāng)x=—\時,\Wa—bW2.①

當(dāng)x=l時，3Wa+Z?W4,②

?,?當(dāng)入=-2時，y=4：a—2b.

設(shè)存在實(shí)數(shù)如n,使得

4a-2b=m1a+垃+n(a-垃,

而4a—2b=(TZZ+T?)a+(加一刀)b,

/+刀=4,

?Y解之得力=1,77=3,

m~n=—2,

「?4a—2b=(a+Z?)+3(a—Z?).

由①②可知3Wa+6W4,3W3(a—8)W6,

???3+3W4a—2反4+6.

即6W4a—2Z<10,

故當(dāng)x=—2時，y的取值范圍是大于等于6且小于等于10.

3.基本不等式

一、選擇題

1.設(shè)亡=a+25,s=a+^+l,則力與s的大小關(guān)系是（）

A.s2方B.s>t

C.sWtD.s<t

A[VZ?2+1^227,：.a+2b^a+l）+l.]

2.下列不等式中正確的是（）

4

A.己+-24B.甘+K、4ab

a

CD.x

/x

4

D[a<0,則a+->4不成立，故A錯；

a=l,6=1,a+1）<4ab,故B錯;

H=4,b=16,則故C錯;

乙

由基本不等式可知D項(xiàng)正確.]

3.已知a〉0,力0,則下列不等式中錯誤的是（）

，,、2

A.abWB.abM---

,、2

12

0?ab^a+IJ

D[由基本不等式知A,C正確，由重要不等式知B正確，由正一力得,

/、2,、2

ab^r-^\,ry]，故選D.]

I2Jab（a十b）

4.若a>8>0,則下列不等式成立的是（）

a-\~bi—

A.a>b>~^->yjab

B.a>~~~>y[ab>b

C.a>—^~>b>y[ab

D.a>y[ab>~~^~>b

B[a=gW＞皇＞，薪＞行4=6,因此只有B項(xiàng)正確.]

5.若a＞0,b＞Q,且a+6=4,則下列不等式恒成立的是（）

11B]+MI

A?蔡>5

C.y[ab^2D-才+產(chǎn)1

D[由^/^^^^=2得abWA,

.??曷,故A錯;

,1,1a+b4-,,」

B中，一+%=一廠=一故B錯；

ababab

由之+6=4,得^^<毛"=[=2,故C錯;

92

由2^一2~\倚a+622XU=8,

1」…]

??.)+,2W§,D正確.]

二、填空題

6.已知a>Z?>c,則［~a~bb~c-與"的大小關(guān)系是

I-----；---；-----一a—c「..

7a~bb-cW---L***a>Z?7>c,

a—b>0,b—c>0,

.I-----:----：-----a~b+b~ca~c

：?yla—bb—cW-=~~?」

7.已知a,6是不相等的正數(shù)，、=氈三便，曠=尸1,則x,y的大小關(guān)系

是.

a+b-\-2\ab.a+b+a+b

x<y[r/9=----『—,y9=a+b=----------.

*/a-\-b>2y[ab(a^ti),.\x<y,*.*0,y>0,/.x<y.]

8.若a〉0,b>0,a+b=2,則下列不等式：①勖Wl；+小W木;③吉

+毋三2；@-+^2,對滿足條件的a,6恒成立的是_______(填序號).

ab

①③④[因?yàn)閍>0,6>0,a+b=29所以a+b=222，^,所以y[彘W1,

即abW3所以①正確；因?yàn)?5+y^)2=a+b+2，^=2+20^W2+a+〃=4,

故②不正確；a+l}=(a+Z?)2—2aZ?^2,所以③正確；2+)=：，+[(己+6)=1+

ab2\ab)

的+,22,所以④正確.]

￡\aUJ

三、解答題

9.已知a，4c為正實(shí)數(shù)，且a+6=l.求證：

11a-\-ba~\-b

［證明］計(jì)廠丁+丁

?ba

=1+L%+1

、b、a、,ba

=2+-+-^2+2--?7=4.

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=8時成立.

b+c-a.c~\-a~b.a+b—c、

10.已知a,b,c為正數(shù)，求證:

［證明］左邊1+5+=—11

aabbcc

b.acacb

=二+二1+匕+二3.

acbc.

?a.b,c為正數(shù),

?4+1>2（當(dāng)且僅當(dāng)a=,時取“=”

如賽2（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取―

cb

尹冷（當(dāng)且僅當(dāng)Ac時取“=”）

從而（+1X污ca）+（1c+力b三6（當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=c時取等號）.

ac.bc.

bacac.b

?七+R+I二+二1+屋十二13N3,

acbc.

,Z?+c—a,c+a~b,a+b—c、

即Qr^^+—^+一^2

11.（多選題）下列不等式不一定成立的是（）

A.x+，22f+2、r-

B.

x

?+3、4、

C.-icD.2—3x一—22

ACD〔A項(xiàng)中，當(dāng)六°時，葉%?！?,?..A錯誤.

正確.

1

C項(xiàng)中,

y]x+4)

|<2,顯然選項(xiàng)C不正確.

當(dāng)x=0時,

4

D項(xiàng)中，取x=l,2-3x-不2,，D錯誤.]

12.已知aNO,6三0,且a+力=2,則（

A.B.

C.a+l/^2D.才+^W3

(a-\~

C[Va^O,Z?20,且a+6=2,=1,

而4=(a+Z?)2=a2+Z?2+2M?W2(a2+Z?2),

Aa2+Z72^2.]

13.（一題兩空）當(dāng)^=時，*+1取得最小值______

X

±12[*.*/,A=2,

當(dāng)且僅當(dāng)f=二，即^=±1時，等號成立.]

X

14.設(shè)a,力為非零實(shí)數(shù)，給出不等式:

^a2+/22^

一工ab；妙三一三9

、ab…a、b'

巳不；叫十二三2.

其中恒成立的不等式是.

①②[由重要不等式才+62>2a6可知①正確；

甘+B百+片+吉+B、甘+甘+2ab

~17=4=4巳4

方+〃2/I7\\7

故②正確；當(dāng)a=b=—1時，不等式的左邊為守=

oAI

一1,右邊為E=—5,可知③不正確；令a=l，'=—1可知④不正確.]

15.已知a,b,c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a-\-b+c>y[ab+yfbc+y[ca.

[證明]Va>0,b>0,c>0,

等皆,近

亨+等++三仃+匹+5,

即a+b-\-c^y[ab-\-y[bc-\-y[ca.

由于a,b,c不全相等，

??.等號不成立，

a+b-\-c>y[ab-\-y[bc-\-y[ca.

4.基本不等式的應(yīng)用

一、選擇題

1.若a>l,則a+二7的最小值是（）

B.a

D.3

[入>1,...aT>。，...a+￡=aT+￡+lN2-1

Da-

a-l

+1=3.]

2.已知y=x+‘一2(x<0),貝！]/有()

x

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為一4D.最小值為一4

C[VXO,.-.y=-—x2W—2—2=—4,當(dāng)且僅當(dāng)一x二

—,即x=—1時取等號.]

一X

3.設(shè)x>0,則尸3—3x——的最大值是（）

A.3B.一3,\^2

C.3-2^3D.-1

C「.?x>0,...尸？一13x+Jw3—2'/3x.：=3—2小.當(dāng)且僅當(dāng)3x=：且

等號成立.]

14

4.若x>0,y>0,且一+-=1,則x+y的最小值是(

xy

A.3B.6

C.9D.12

C[x+y=(x+力'+"=1+~+y+4

,y,,yAx

=5+-+—^5+2A-?—=5+4=9.

xy\lxy

一1+4-=1

xy

當(dāng)且僅當(dāng)，

y_4^

x~y'

x=3

即「時等號成立，故x+y的最小值為9.]

ly=6

5.已知x>0,y>0,且x+y=8,則(1+x)(1+y)的最大值為()

A.16B.25

C.9D.36

2

廠+7-I

B[(l+,)(l+y)<t

22

_2+x+y2+8

=_2[=式

當(dāng)且僅當(dāng)l+x=l+y,

即x=y=4時，

(1+x)(1+y)取最大值25,故選B.]

二、填空題

6.函數(shù)y=x+-7(xN0)的最小值為______

x十1

［答案］1

7.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72dnN圖中陰影

部分)，上下空白各寬2dm,左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值

是dm2.

56[設(shè)陰影部分的高為

72

xdm,則寬為一dm,四周空白部分的面積是pdE

x

由題意，得y=(x+4)f1+2)—72

(144、/144

=8+2Lr+—>8+2X2A=56(dm2).

,.144

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=12dm時等號成立.]

8.若a,6?R+,滿足a+6+3=a4則a+6的取值范圍是.

(a-\-

a+526[Va+b+3=I——I,

???(a+6)2—4(己+0—1220,解之a(chǎn)+626,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號,]

三、解答題

9.當(dāng)x〈|時，求函數(shù)y=x+3的最大值,

joo

[解]y=-(2x-3)+^+-

、23—2引2

：當(dāng)x〈|時，3-2x>0,

3—2x813—2x?三^=4,當(dāng)且僅當(dāng)三軍=三丁，即x=一

,?2+22

3-2X^'\]O乙X乙O乙X

1355

萬時取等號.于是J<—4+萬=—5,故函數(shù)有最大值一萬.

10.為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程，按合同

規(guī)定在4個月內(nèi)完成.若提前完成，則每提前一天可獲2000元獎金，但要追加

投入費(fèi)用；若延期完成，則每延期一天將被罰款5000元.追加投入的費(fèi)用按以

下關(guān)系計(jì)算：［6太+石巧一H8J千元，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問提前多少

天，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益=所獲獎金一追加費(fèi)用)

［解］設(shè)城建公司獲得的附加效益為y千元，由題意得

(,784118^=118-,784

尸2x-6x+羊

「/,、，7841

=118-［4(^+3)+—z-12］

一x十3

「/,、，784

=130—[45+3)+不

x+筌=130—112=18(千元)，

^130-2-

784

當(dāng)且僅當(dāng)4魚+3)=不，即x=H時取等號.

所以提前n天，能使公司獲得最大附加效益.

x—2x+2

11.若一4〈水1,則y=

2x—2

A.有最小值1B.有最大值1

c.有最小值一1D.有最大值一1

x—2x+211

D卜=2x—2胃l

又—x—1X0..,*一(x—1)>0.

故尸[-x—十—L卜—1.

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=」，即x=0時等號成立.]

x~\

21

12.已知x>0,y>0,且-+-=1,若x+2y>序恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

xy

()

A."W—2，^或/22，^B./W—4或勿22

C.12V/V4D.—2yJ~2<2<\y2

「「2,1

D[Vjr>0,y>0且一+-=1,

xy

：.x+2y=(x+2y)(|2j+1^、=4+4-y+-x

^4+2A/---=8,當(dāng)且僅當(dāng)”=C

NXyXy

即x=4,y=2時取等號，

...x+2y的最小值為8,要使X+2_/>R2恒成立，

只需x+2y的最小值大于nf恒成立，

即8〉序，解得一2鏡〈成2位」

13.(一題兩空)若x〉0,y>0,且x+4y=l,則盯的最大值為,-+

X

工的最小值為.

y

得9[1=*+4介2也片=4"\/五

，xyW右，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=J時等號成立.

1b2

-+-=[^+->|(x+4y)=5+—+->5+2AI—*-=5+4=9.]

Xy\xy)Xy\lxy

14.(一題兩空)若實(shí)數(shù)x,y滿足*+/+盯=1,則燈的最大值是,

x+y的最大值是-

：[,.,/+/+盯三2xy+xy=3xy,，3才7<1,即

<JoJ

*+y+燈=(x+y”一秒=1,(x+y)2=xy+lW^^^+1./.|(,￥+y)2<l.

；.x+y<￥^，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=乎時等號成立.]

15.在下面等號右側(cè)兩個分?jǐn)?shù)的分母方塊處，各填上一個正整數(shù)，并且使這

1Q

兩個正整數(shù)的和最小，1=幣+百，試求這兩個數(shù).

1Q

[解]設(shè):+廠1，&，?N*,

a+6=(a+6)?l=(a+0[]+?

b9a

=1+9+”

b9a

>10+2

a~b

=10+2X3=16,

當(dāng)且僅當(dāng)仁當(dāng)即Q3a時等號成立.

,91,9

/.a=4,b=12.

又LzjX+L

這兩個數(shù)分別是4,12.

5.一元二次不等式及其解法

、選擇題

1.不等式9f+6x+lW0的解集是(

111

A.jxxW—~B.Jx—^

ooo

1

C.0D.4xx=~~

D[(3X+1)2W0,

3x+1=0,x=—]

o

2.若集合4={x|(2x+l)(x—3)<0},8={x|x?N*,xW5},則NA8等于()

A.{1,2,3}B.{1,2}

C.{4,5}D.{1,2,3,4,5}

B(2x+l)(x—3)〈0,.\-1<K3,

又x?N*且后5,則x=l,2.]

3.若o〈《i,則不等式d)(T〈o的解集為()

11fl—

A.<x-<XtB.<xX〉：或水t'

一〕f1

C.jxx〈：或x〉方>D.jx>

D[V0<t<l,.?"〈；，I.解集為<xKx<；>.]

4.一元二次方程a*+，x+c=0的兩根為一2,3,a<Q,那么af+，x+c>0的

解集為（）

A.{川太〉3或水一2}B.{引;?>2或點(diǎn)-3}

C.U|-2<X3}D.{x|-3<X2}

bc

C[由題意知，-2+3=-—,—2X3=-,:?b=—a,c=—&a,

aa

ax+bx-\-c>0,BPaV——ax——6a>0,

Va<0,???*—x—6〈0,

.1(x—3)(x+2)〈0,?\—2<x(3.]

5.在R上定義運(yùn)算：aQb=ab+2a+b,則滿足x。(x—2)<0的實(shí)數(shù)x

的取值范圍為()

A.Q<x<2B.-2<x<l

C.xV—2或x>lD.-l<x<2

B[根據(jù)給出的定義得，x。(x—2)=x(x—2)+2x+(x—2)=V+x—2=(x

+2)(x—1),又x(D(x—2)〈0,則(x+2)(x—1)〈0,故不等式的解集是{x|—2<x

<1}.]

二、填空題

6.不等式一H—3x+4〉0的解集為.

{x\—4<jr<l}[由一￡—3x+4〉0得S+3x—4〈0,解得一4〈*1.]

7.若關(guān)于x的不等式一+的解集是{x[0<x<2},則實(shí)數(shù)力的值是

1[將原不等式化為;*+(r—2)x<0,即X(X+2R—4)<0,故0,2是對應(yīng)方

程X(X+2R—4)=0的兩個根，代入得/n=l.]

8.已知集合/={x|3'一2—六<0},8={x|x—a<0},且比N,則a的取值范

圍為.

{a|aWl}[/={x]3才一2—/<0}={R*-3才+2>0}={x|x〈l或x>2},B=

{x\A<a}.

若醫(yī)N,如圖，則aWl.

012x]

三、解答題

9.求下列不等式的解集：

(1)x—5x+6>0；

(2)一1+3x-5〉0.

[解](1)方程5x+6=0有兩個不等實(shí)數(shù)根否=2,X2=3,又因?yàn)楹瘮?shù)y

=V—5x+6的圖象是開口向上的拋物線，且拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，分別為⑵0)

和(3,0),其圖象如圖(1).根據(jù)圖象可得不等式的解集為{x|x>3或x〈2}.

(2)原不等式可化為*2—6x+10〈0,對于方程X?—6x+10=0,因?yàn)?=(—6尸

-40<0,所以方程無解，又因?yàn)楹瘮?shù)y=f—6x+10的圖象是開口向上的拋物線,

且與x軸沒有交點(diǎn)，其圖象如圖(2).根據(jù)圖象可得不等式的解集為。.

10.解關(guān)于x的不等式/-(3a-1)x+(2a2-2)>0.

[解]原不等式可化為

[x—(a+1)][x—2(a—1)]>0,

討論a+1與2(a—1)的大小

(1)當(dāng)a+l〉2(a—1),即a〈3時，_^>&+1或※2(4-1).

(2)當(dāng)a+l=2(&l1),即a=3時，/4.

(3)當(dāng)a+l〈2(a—1),即a〉3時，x>2(a—1)或x〈a+l.

綜上：當(dāng)a〈3時，解集為{x|x〉a+l或水2(a—1)},

當(dāng)a=3時，解集為{x|xW4},

當(dāng)a〉3時，解集為{x|x>2(a—1)或水a(chǎn)+1}.

11.不等式加產(chǎn)一ax—1>0(勿>0)的解集可能是()

A.jxx〈一l或x〉zrB.R

13'

C.p