新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示培優(yōu)練習(xí)題

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表

1數(shù).學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

示.

2.邏輯推理：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2.掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并

解決平行、垂直、夾角和距離問(wèn)題.

利用數(shù)量積判斷兩向量的共線與垂直.

寸必備知識(shí)?落1實(shí)

知識(shí)點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(ai,Q2,G),b=(b\,bi,胃),則

a+b=（ai+bi,。2十歷，。3十加）；

a—b=(ai-bi,。2—岳，。3一九);

Xa=(癡，筋2,GR)；

ab=。仍1+。2。2十。383.

。即時(shí)訓(xùn)練

1.已知向量。=（3,—2,1),6=(—2,4,0)，貝I4a+26=()

A.(16,0,4)B.(8,-16,4)

C.(8,16,4)D.(8,0,4)

解析：選D.依題意,知4a+26=4(3,—2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,

4)+(-4,8,0)=(8,0,4),故選D.

2.已知”=(1,1,0),力=(0,1,1),則a-(-2Z,)=,(a-by(2a

—3方）=

解析：a,(一26)——2a,b=-2(0+1+0)=—2,a—6—(1,0,—1),2a—3b

=2(1,1,0)-3(0,1,1)=(2,-1,-3).所以(a—6>(2。-36)=(1,0,-1).(2,

—1,—3)=2+3=5.

答案：一25

3.已知點(diǎn)A(l,2,1),B(-l,3,4),0(1,1,1),若辦=2麗，則而

的坐標(biāo)是

解析：設(shè)尸(x,y,z),因?yàn)锳(l,2,1),B(-l,3,4),

所以AP=(x—1,y—2,z—1),PB=(—1—1，3—y,4—z).

因?yàn)锳P=2PB,即(x—1,y—2,z—1)=2(—1—x,3—y,4—z),

x-]=-2—2x,

[8

y—2=6—2y,解得無(wú)=_Q,y=g,z=3,

{z—l=8—2z,

即點(diǎn)P坐標(biāo)為(一g,J,3),

又。(1,1,1),

所以PD=(1+,1--，1-3)=住,—J,-2).

答案：住一I，一2)

知識(shí)點(diǎn)二空間向量的平行、垂直及模'夾角

若ar0,5W0,a=(ai,ai,ai),b=(b\,bi,hi),則

共線CL//a=4?【_,a2.=Zb2,。3_=:加(2WR)

垂直a±b=ab=0=a+a2b2+a3b3=0

向量

\a\=、/辟+段+海

長(zhǎng)度

向量夾gb__________Qlbl+a2〃2+c73〃3________

q*+*+*q尻+虎+孱一

角公式

空間兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)Pi(xi,yi,zi),P2(xi,yi,Z2)是空間中任意兩點(diǎn),

貝UP\P1=(X2—XI,丫2—yi,Z2-Zl).P\P2=IP1P2I=

、l(X2—XI)2+(V2—V1)2+(Z2—Z1)

EI1]已知a=(l,5,-1),6=(-2,3,5).

(1)當(dāng)(〃+?〃(。一3方)時(shí)，求實(shí)數(shù)2的值；

(2)當(dāng)(a-3?_L(%+))時(shí)，求實(shí)數(shù)2的值.

【解】因?yàn)椤?(1,5,-1),。=(一2,3,5),

所以a—3方=(1,5,-l)-3X(-2,3,5)=(1,5,-l)-(-6,9,15)=

(7,-4,-16),

Aa+*=A(1,5,-l)+(-2,3,5)=(2,52,T)+(—2,3,5)=(A-2,5z

+3,—2+5).

(1)因?yàn)镼a+A)〃(a—3力，

A—252+3—2+5j

所以7=_4=_]6，解得％=-g.

(2)因?yàn)?—3加，(〃+加，

所以(7,—4,—16)-(A—2,54+3,—2+5)=0,

即7a—2)—4(52+3)—16(—A+5)=0,解得％=3-

[1題技巧---------------------------------

向量平行與垂直問(wèn)題的兩種類型及解法

(1)平行與垂直的判斷

①應(yīng)用向量判斷兩直線平行，只需要判斷兩直線的方向向量是否共線；

②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩

向量的數(shù)量積是否為0.

(2)利用平行與垂直求參數(shù)

①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量明力平行，可設(shè)。=勸)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；

②選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

＜跟蹤訓(xùn)練在正方體ABCD-AiBG。中，若E為4a的中點(diǎn)，證明：

CELBD.

證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.

則8(1,1,0),C(0,1,0),0(0,0,0),年，1)，

所以走=6，1],BD=(—1,-1,0).

因?yàn)辂?筋=1x（—1）+（一，X（-D+1XO=O,所以CE_L3D

關(guān)鍵能力一提升

考點(diǎn)一利用空間向量計(jì)算夾角

ET21如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-4B1C1O1中，

E,F,G分別是。Di,BD,83的中點(diǎn).求異面直線以7與

CG所成角的余弦值.

【解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以湯，DC,由)i的方

向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則

加,0,I),C(0,1,0),星,0),G(l,1,

B

因?yàn)楸?@,=一鄉(xiāng)，花=(1，0,鄉(xiāng)，

所以麗花=91+2x0+H]X2=^序="修，5+(一/=坐,

X

0=亭，所以c°s〈曲，CG>_壽&_a_正

\CG\=\12+02+

\EF]\CG\乎X,15'

所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為曙.

[1題技巧---------------------------------

利用向量坐標(biāo)求異面直線所成角的步驟

⑴根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；

(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)

化為異面直線所成的角.

<跟蹤訓(xùn)練若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0,啦)，<一坐啦)，

c(-l,0,啦),則角A的大小為.

解析：AB=(—坐,g,0),AC=(—1,0,0),貝IcosA=cos<Aff,AC>

ABAC=半，因?yàn)?°<NA<180。，故角A的大小為30°.

答案：30°

考點(diǎn)二利用空間向量計(jì)算距離

畫⑶如圖，已知鬼垂直于正方形ABCO所在的平面,

M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，且%=4。=2.求M,N兩點(diǎn)

之間的距離.

【解】以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意得M(0,1,0),N(T,1,1),

所以礪=(一1,0,1),故M,N兩點(diǎn)之間的距離為|而V|=

yj(—1)2+02+12=啦.

[I題技巧------------------------------

利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長(zhǎng)度的步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng).

《跟蹤訓(xùn)練如圖，正方形ABC。，ABEE的邊長(zhǎng)都是1,

而且平面ABC。，ABER互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在

8戶上移動(dòng)，若CM=BN=a(0〈aV巾).

⑴求MN的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??？

解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(l,0,0),

Hl,1,0),C(0,0,1).

因?yàn)镃M=BN=a(0<a<y]2),

且四邊形ABC。，ABEF均為正方形,

所以，乎“，o,1—乎才，

從多，乎a,0).

所以說(shuō)V=fo,乎a,乎a—1),

所以|說(shuō)V|=同屋一啦」+i.

(2)由(1)知MN=q(a—甯(0Va<啦),

A/2\[2

所以當(dāng)<7=2時(shí)，MNmm^2■

5

即M,N分別移動(dòng)到AC,8尸的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為晉.

課堂鞏固0自測(cè)

1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若函=AB,則

點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,—3,3)D.(一9,—1,—1)

解析：選B.而=油=時(shí)-OA,0B=麗+OA=(9,1,1),故選

B.

2.已知a+b=(2,-\[2,2y/3),a—6=(0,/，0),則cos〈a,b)=()

1

A-

B.6

。3u-6

解析：選C.由已知得。=(1,6，小)，6=(1,0,小),所以cos<a,

a?b1+°+3逅

一|如例—#義幣~3'

3.已知向量。=(1,1,0),b=(—1,0,2),且&r+)與2a一方互相垂直,

則k=()

7

A.5B.1

C.|D.|

解析：選A.因?yàn)閍=(l,1,0),6=(-1,0,2),

所以=—1,k,2),2a—b=(3,2,—2),

又因?yàn)閗a+b與2a—b互相垂直，所以(攵。+力),(2a—〃)=0,即3Z—3+2Z—4

7

=0,解得k=q.

4.若向量a=(l,-1,2),b=(2,1,-3),貝I」|2Q+"=.

解析：由于向量。=(1,—1,2),5=(2,1,—3),所以2a+b=(4,—1,

1).

+b\="\J42+(—1)2+l2=y[lS=3啦.

答案：3y[2

5.已知A(3,3,1),B(l,0,5),弟，1,2).

(1)求線段AB中點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)證明：CO_L43,且AC=8C

解：(1)設(shè)4B的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y,z),則麗=1(OA+OB)=g[(3,

3,1)+(1,0,5)]=(2,|,3J,

所以點(diǎn)O的坐標(biāo)為(2,|,3).

3\/3

2\證明2-3)-

z1=2/-I4

AB=訪-OA=(1,0,5)-(3,3,1)=(一2,-3,4),

所以⑦AB=仔，1).(-2,-3,4)

5153

=4X(-2)+]X(-3)+lX4=-2-2+4=0.

所以&LAB,即COLAB.

AC=\CA|=A/(3-1Y+(3-1)2+(1-2)2=、怪+5=

A/10+16,

BC=\CB|=A/fl-1Y+(0-1)2+(5-2)2

弋表+1+9=410+*.所以AC=BC.

課后達(dá)標(biāo)R檢測(cè)

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.已知a=(l,0,1),6=(-2,-1,1),c=(3,1,0),貝i」a—5+2c=()

A.(-9,-3,0)B.(0,2,-1)

C.(9,3,0)D.(9,0,0)

解析：選C.a-b+2c=(l,0,l)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)

+(6,2,0)=(9,3,0).

2.(2022?紹興高二月考)已知點(diǎn)A(〃，n~\,2〃)，B(l,~n,"),則|曲|的

最小值為()

A.1B.孚

C.2D.不存在

解析：選B.由題意可得磊=(1一〃，-2n+1,一〃)，所以|施|=

yj(1—?)2+(―2z/+l)2+(―n)2--\^6?2—6zz+2=\J,當(dāng)

]I?

“=萬(wàn)時(shí)，|曲|取最小值，最小值為凈.故選B.

3.已知。=(1,2,~y),b=(x,1,2),且(a+2?〃(2a—5),則()

A.光=§,y=lB.x=2，y=-4

1

-D1

cy=-4=1y=

解析：選B.由題意知，a+2b=(2x+1,4,4—y),2a—b=(2—x,3,—2y

-2).

因?yàn)?a+2b)〃(2a—5)，

所以存在實(shí)數(shù)%,使a+25=2(2a—A),

r._4

'2x+l=/l(2-x),A~3,

所以＜4=3九解得＜1

x-2，

4-y=A(-2^-2),

ly=-4.

4.(多選)(2022?德州高二檢測(cè))已知向量a=(l,-1,m),6=(-2,m~\,

2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.若|a|=2,則m=±\f2

B.若a_L5，則機(jī)=—1

C.不存在實(shí)數(shù)九使得。=勸

D.若a-b=-1,則“+/＞=(—1,—2,-2)

解析：選AC.由⑷=2,可得N用+(-1)2+酎2=2,解得機(jī)=/,故A

選項(xiàng)正確；由生可得一2—〃?+1+2加=0,解得機(jī)=1,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若

p=-2/l,

存在實(shí)數(shù)人使得a=肪，則＜-1=丸(m-1),顯然義無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)九

j%=22,

使得故C選項(xiàng)正確；若a"=—1,則一2—m+1+2機(jī)=—1,解得m=0,

于是。+5=(-1,-2,2),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

5.已知空間三點(diǎn)A(l,1,1),B(-l,0,4),C(2,-2,3),則篇與的

的夾角的大小是.

解析：因?yàn)榍?(一2,-1,3),CA=(—1,3,-2),

(-2)X(-1)+(-1)X3+3X(-2)

cos<AB,CA>

714X^14

=一；,所以〈屈，CA＞-120°.

答案：120。

6.已知點(diǎn)A?+l,〃-1,3),8(2九〃，/一2〃)，C(A+3,〃一3,9)三點(diǎn)共

線，貝!)實(shí)數(shù)％=,〃=?

解析：因?yàn)轸?(2—1,1,A-2//-3),

2—11

AC=(2,-2,6),由A,B,。三點(diǎn)共線，得顯//AC,即行一

2—2//—3

,解得2=0,〃=0.

答案：00

7.已知向量a=(2,-1,-2),b=(l,1,-4).

⑴計(jì)算2a—3。和3一3例；

⑵求(a,b).

解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(2,-1,-2),6=(1,1,-4),

所以2a—3b=2(2,-1,-2)-3(l,1,-4)

=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8),

所以|2a—3勿="12+(一5)2+82=35.

小、Lab9^2

⑵cos〈％b>=麗=2-

兀

因?yàn)?a,b>G[0,7t],所以〈%b>=].

[B能力提升]

8.(2022?山東師大附中高二月考)已知向量a=(l,2,2),6=(一2,1,1),

則向量》在向量。上的投影向量為()

(244、(244、

A.1一§，一§，-9JB.&g,可

C.(一多I，D.停,一/-1)

解析：選B.因?yàn)閍=(l,2,2),6=(-2,1,1),所以a力=-2Xl+2Xl

+2X1=2,|?|=-^12+22+22=3,

(—2)2+12+12=#,

”,ab22^6

所以cos<?,b>=麗=森訴=9.

所以向量〃在向量a上的投影向量為

步|cos<a,b>*=^6X坐x|X(l,2,2)=除§.故選B.

9.(多選)(2022?山東師大附中高二月考)已知空間三點(diǎn)A(—l,0,1),3(—1,

2,2),C(-3,0,4),則下列說(shuō)法正確的是()

A.ABAC=3B.AB//AC

C.|BC|=2小D.cos(AB,AC)=而

解析：選AC.因?yàn)镃一為0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),

所以屈=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(一2,-2,2).

因?yàn)榘?AC=0X(-2)+2X0+lX3=3,

所以A正確.

因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)晨使得筋=沅，

所以麴，AC不共線，所以B錯(cuò)誤.

因?yàn)閨詼|=、(-2)2+(-2)2+22=2小,所以C正確.

--?ABAC33病

因?yàn)閏os

\AB\\AC\V5XV>365

所以D錯(cuò)誤.故選AC.

10.(2022?濟(jì)寧高二月考)設(shè)尤，yGR,向量a=(x,1,1),b=(l,y,1),c

=(2,-2,2),且。，。，b//c,則|a+M=.

解析：因?yàn)閍_Lc,所以〃,c=2x—2+2=0,解得x=0.