信息論理論基礎(chǔ)

信息論基礎(chǔ)

第4章抗干擾二元編碼韓宇輝6/23/20241第4章抗干擾二元編碼4.1抗干擾二元編碼的基本概念4.2檢錯碼4.3用于單向信道的簡單糾錯碼4.4糾一位錯誤的漢明碼4.5循環(huán)碼4.6糾正獨立錯誤的卷積碼4.7糾正突發(fā)錯誤的編碼4.8有限域的基本知識6/23/202424.1抗干擾二元編碼的基本概念6/23/202434.1.1抗干擾編碼的基本思想000110110011奇校驗抗干擾編碼的基本思想：利用剩余的增加來換取可靠性的提高信息元監(jiān)督元許用碼字：系統(tǒng)實際使用的碼字。001,010,100,111禁用碼字：系統(tǒng)中不使用的碼字。000,011,101,1106/23/202444.1.2幾個定義①碼距（漢明距離）W=x1x2…xn

xi∈{0,1}W’=x1’x2’…xn’xi’

∈{0,1}②最小碼距（最小漢明距離）一個碼組（碼字）集合中，兩碼字間的最小距離dmin稱為該碼字集合的最小距離，簡稱最小碼距。③碼重（漢明重量）碼組中所含碼元“1”的數(shù)量，稱為該碼組的重量，簡稱碼重。6/23/202454.1.3最小碼距與糾檢錯能力的關(guān)系1.譯碼準(zhǔn)則X:{x1,x2,…,xn}Y:{y1,y2,…,ym}P(Y/X):{p(yj/xi);i=1,2,…n;j=1,2,…m這時定義一個收到y(tǒng)j后判定為xi的單值函數(shù)，即：F(yj)=xi(i=1,2,…n;j=1,2,…m)；這個函數(shù)稱為譯碼函數(shù)。它構(gòu)成一個譯碼函數(shù)組，這些函數(shù)的值組成了譯碼準(zhǔn)則。對于有n個輸入，m個輸出的信道來說，可以有nm個不同的譯碼準(zhǔn)則。6/23/202462.最小碼距譯碼準(zhǔn)則若d(x*j,yj)≤d(xi,yj)

(對一切的i)，則F(yj)=x*j(j=1,2,…m，x*j

∈X)3.最小碼距與糾檢錯能力的關(guān)系【例】X：{0000000,1111111}，

dmin=7檢錯能力：發(fā)送碼字：接收碼字：判斷結(jié)果：糾錯能力：發(fā)送碼字：接收碼字：譯碼結(jié)果：00000000000000√00000000000000√10000000000000√11000000000000√11100001111111

×11110001111111

×11111001111111

×11111101111111

×11111110000000最多可以發(fā)現(xiàn)6位錯誤0000000傳輸正確√

最多可以糾正3位錯誤1000000傳輸錯誤

√

1100000傳輸錯誤

√

1110000傳輸錯誤

√

1111000傳輸錯誤√

1111100傳輸錯誤

√

1111110傳輸錯誤√

1111111傳輸正確

×

6/23/20247糾錯同時檢錯的能力糾正1位錯誤：發(fā)送碼字：接收碼字：判斷結(jié)果：譯碼結(jié)果：糾正2位錯誤：發(fā)送碼字：接收碼字：判斷結(jié)果：譯碼結(jié)果：0000000000000010000001100000111000011110001111100111111011111110000000最多可以同時發(fā)現(xiàn)5位錯誤0000000傳輸正確√

1000000傳輸錯誤√

1100000傳輸錯誤√

1110000傳輸錯誤√

1111000傳輸錯誤√

1111100傳輸錯誤√

1111110傳輸錯誤√1111111傳輸正確

×

最多可以同時發(fā)現(xiàn)4位錯誤0000000

√0000000

√不進(jìn)行譯碼不進(jìn)行譯碼不進(jìn)行譯碼不進(jìn)行譯碼1111111

×1111111

×傳輸正確√

傳輸錯誤√

傳輸錯誤√

傳輸錯誤√

傳輸錯誤√

傳輸錯誤√

傳輸錯誤√傳輸正確

×

0000000

√0000000

√0000000√不進(jìn)行譯碼√不進(jìn)行譯碼1111111

×1111111

×1111111

×6/23/20248若發(fā)現(xiàn)e個錯誤，則要求dmin≥e+1;若糾正t個錯誤，則要求dmin≥2t+1;若糾正t個錯誤，同時發(fā)現(xiàn)e個錯誤，則要求dmin≥t+e+1（t<e

）6/23/202494.1.4抗干擾編碼的基本原理1.原理：

dmin與糾檢錯能力的關(guān)系2.實現(xiàn)方法：信息元+監(jiān)督元3.代數(shù)編碼：信息元與監(jiān)督元是按一定的代數(shù)關(guān)系互相制約的。(1)分組碼（塊碼）

k—信息位長度

n—碼長

r=n-k—監(jiān)督位長度特點：無記憶性(n,k)分組碼的碼率（編碼效率）：η=R/C=H(A)/Hmax(A)=k/n邏輯網(wǎng)絡(luò)12k12n......6/23/202410分組碼按其結(jié)構(gòu)可以分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。如果在一個分組碼碼字中，信息元安排在前k位，而監(jiān)督元安排在后n-k=r位，則稱其為系統(tǒng)碼，否則就稱為非系統(tǒng)碼。(2)卷積碼（連環(huán)碼）

m=m’+1—編碼器的約束長度或編碼約束長度

n=n0×m—卷積碼的約束長度

特點：有記憶性，輸出不僅與當(dāng)時的輸入有關(guān)，還與前m’個單位時間的輸入有關(guān)。(n0,k0,m)卷積碼的碼率（編碼效率）：η=k0/n0時序網(wǎng)絡(luò)12k012n0......6/23/2024114.抗干擾編碼的分類(1)用途：檢錯碼和糾錯碼(2)干擾的性質(zhì)：糾正獨立錯誤的編碼和糾正突發(fā)錯誤的編碼

獨立錯誤也稱為隨機(jī)錯誤，是由隨機(jī)噪聲引起的，其特點是各碼元發(fā)生錯誤與否是互相獨立的，因而一般不會成片地出現(xiàn)錯誤。

突發(fā)錯誤是由突發(fā)噪聲（脈沖噪聲、深衰落、接觸不良引起噪聲等）引起的，其特點是各碼元是否發(fā)生錯誤存在某種相關(guān)性。通常稱突發(fā)錯誤持續(xù)時間內(nèi)的碼元數(shù)目為突發(fā)長度。(3)對信息的處理方式：分組碼和卷積碼(4)約束關(guān)系：線性碼和非線性碼(5)信息元的位置：系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼6/23/2024125.差錯控制系統(tǒng)的分類(1)ARQ(AutomaticRepeatreQuest)自動反饋重傳采用檢錯碼，接收端收到碼字后判斷在傳輸中有無錯誤產(chǎn)生，并通過反饋信道把檢測結(jié)果告訴發(fā)送端。發(fā)端把收端認(rèn)為有錯的消息再次傳送，直到收端認(rèn)為正確為止。優(yōu)點：譯碼設(shè)備簡單，由于同一種碼的檢錯能力比糾錯能力要高得多，因而整個系統(tǒng)能獲得極低的誤碼率。缺點：應(yīng)用ARQ方式必須有一條從收端至發(fā)端的反饋信道，只適用于點對點的方式，并要求收、發(fā)兩端必須互相配合，其控制電路比較復(fù)雜，實時性也較差。6/23/202413(2)FEC(ForwardErrorCorrection)前向糾錯采用糾錯碼，接收端收到碼字后，自動地糾正傳輸中的錯誤。優(yōu)點：不需要反饋信道，既適用于點對點的方式，也適用于點對多點的方式，實時性較好，控制電路也比較簡單。缺點：譯碼設(shè)備較復(fù)雜，編碼效率較低。(3)HFC(HybridErrorCorrection)混合糾錯是前兩種方式的結(jié)合。發(fā)端發(fā)送的碼既能檢錯、又有一定的糾錯能力。收端譯碼時若發(fā)現(xiàn)錯誤個數(shù)在碼的糾錯能力以內(nèi)，則自動進(jìn)行糾錯；若錯誤個數(shù)超過了碼的糾錯能力，但能檢測出來，則通過反饋信道告知發(fā)方重發(fā)。6/23/2024144.2檢錯碼6/23/202415一致監(jiān)督檢錯碼也叫一致監(jiān)督校驗碼或奇偶校驗碼。1.原理：信息元（k位）：x1，x2，…，xk監(jiān)督元（1位）：xn=xk+1偶校驗：奇校驗：4.2.1一致監(jiān)督檢錯碼6/23/2024162.漏檢概率奇偶校驗碼只能發(fā)現(xiàn)碼字中的奇數(shù)個錯誤，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個錯誤。n為偶數(shù)：n為奇數(shù)：若，則6/23/202417定比碼也稱恒比碼、等重碼或范·德倫碼，每個碼字中“1”與“0”的比例是固定的，“1”的個數(shù)也是固定的。

1.五三定比碼五三定比碼每個碼字的碼長為5，含有3個“1”和2個“0”的碼字作為許用碼字。

(1)許用碼字?jǐn)?shù)目：

禁用碼字?jǐn)?shù)目：4.2.2定比碼6/23/202418

(2)漏檢概率若“1”錯成“0”的數(shù)目正好等于“0”錯成“1”的數(shù)目，則五三定比碼不能發(fā)現(xiàn)這類錯誤。一個碼字中有2位錯誤，且其中1位“1”錯成“0”，1位“0”錯成“1”的概率為一個碼字中有4位錯誤，且其中2位“1”錯成“0”，2位“0”錯成“1”的概率為因此，漏檢概率為當(dāng)時，6/23/202419(3)編碼效率

η=R/C=H/Hmax=log10/log32≈66%2.七三定比碼七三定比碼每個碼字的碼長為7，含有3個“1”和4個“0”的碼字作為許用碼字。

(1)許用碼字?jǐn)?shù)目：

禁用碼字?jǐn)?shù)目：

(2)編碼效率

η=R/C=H/Hmax=log35/log128≈72%6/23/202420

(3)漏檢概率一個碼字中有2位錯誤，且其中1位“1”錯成“0”，1位“0”錯成“1”的概率為一個碼字中有4位錯誤，且其中2位“1”錯成“0”，2位“0”錯成“1”的概率為一個碼字中有6位錯誤，且其中3位“1”錯成“0”，3位“0”錯成“1”的概率為因此，漏檢概率為當(dāng)時，6/23/2024214.3用于單向信道的簡單糾錯碼6/23/202422編碼效率：η=1/n(1)逐位重復(fù)：用于糾正隨機(jī)錯誤。(2)逐段重復(fù)：還可用于糾正突發(fā)錯誤。例如，10110100逐位重復(fù)，三重碼：111000111111000111000000逐段重復(fù)，四位一段，三重碼：10111011

101101000100

01004.3.1簡單重復(fù)碼將信息重復(fù)多次，只要正確傳輸?shù)拇螖?shù)多于傳錯的次數(shù)，則可以將錯誤糾正過來。重復(fù)次數(shù)n通常為奇數(shù)。6/23/2024234.4糾一位錯誤的漢明碼6/23/2024241.線性分組碼的定義若分組碼的監(jiān)督元與信息元之間是一種線性約束關(guān)系，則稱其為線性分組碼。(n,k)線性分組碼的碼率：η=k/n許用碼字?jǐn)?shù)目：2k禁用碼字?jǐn)?shù)目：2n-2k系統(tǒng)碼：[x1x2…xk

xk+1xk+2…xn]信息元監(jiān)督元6/23/2024252.線性分組碼的監(jiān)督矩陣線性分組碼監(jiān)督元與信息元之間的線性關(guān)系可以用二元域上的線性方程組描述。整理得：6/23/202426將方程組用矩陣方程來表示，可得監(jiān)督矩陣[H][H][C]T=[0]碼字向量[C]=[x1

x2…xn

]6/23/202427r×k子陣Pr×r單位陣Irr=n-k行：r個監(jiān)督元，r個監(jiān)督方程n列：n個碼元之間的監(jiān)督關(guān)系(n,k)系統(tǒng)線性分組碼監(jiān)督矩陣形式:(典型監(jiān)督矩陣或標(biāo)準(zhǔn)監(jiān)督矩陣)[H]=[P

Ir]6/23/2024283.線性分組碼的生成矩陣6/23/202429碼字[C]信息碼組[m]生成矩陣[G]由于對于矩陣A，B，C有因此[C]=[m][G]6/23/202430[G]=[Ik

PT](n,k)系統(tǒng)線性分組碼生成矩陣形式:(典型生成矩陣或標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣)子陣PTk×k單位陣Ikk行×n列6/23/202431【例】已知線性分組碼的生成矩陣[G]，寫出信息碼組[m1]=[1000]，[m2]=[0100]，[m3]=[0010]，[m4]=[0001]，[m5]=[1100]，[m6]=[1110]，[m7]=[1111]對應(yīng)的各個碼字。

[C1]=[m1][G]=[1000][G]=[1000011][C2]=[m2][G]=[0100][G]=[0100101][C3]=[m3][G]=[0010][G]=[0010110][C4]=[m4][G]=[0001][G]=[0001111]解：6/23/202432

[C5]=[m5][G]=[1100][G]=[1100110][C6]=[m6][G]=[1110][G]=[1110000][C7]=[m7][G]=[1111][G]=[1111111](n,k)線性分組碼的2k個碼字構(gòu)成二元n重矢量空間中的一個k維子空間。(n,k)線性分組碼的生成矩陣由k個線性無關(guān)的碼字矢量組成，構(gòu)成k維子空間的一個基底，其線性組合可以生成所有的碼字。6/23/202433【例】已知線性分組碼的監(jiān)督矩陣為判斷其碼長和信息位長度，并寫出其生成矩陣[G]。解：r=3，n=7，

k=4[H]=[P

I3][G]=[I4

PT]6/23/2024344.線性分組碼的譯碼(1)錯誤圖樣發(fā)送碼字：接收碼字：錯誤圖樣：ei=1表明相應(yīng)位有錯，ei=0表明相應(yīng)位無錯。6/23/202435(2)校驗矩陣定義[S]=[H][R]T為校驗矩陣，也稱為校驗子或伴隨式。若[S]=0，表明收到的碼字為許用碼字，譯碼器認(rèn)為接收碼字無錯誤。若[S]≠0，表明收到的碼字為禁用碼字，可以判定接收碼字一定有錯誤。由于因此校驗子與發(fā)送碼字無關(guān)，而僅與錯誤圖樣有關(guān)。6/23/202436(3)校驗子與譯碼【例】(7,4)線性分組碼的監(jiān)督矩陣為(1)無錯

[E]=[0000000](2)錯一位

[E]=[1000000][E]=[0100000][E]=[0010000]

[S]=[H][E]T=[000]T…[S]=[H][E]T=[011]T[S]=[H][E]T=[101]T[S]=[H][E]T=[110]T6/23/202437若校驗子為[0]，認(rèn)為收到的碼字沒有錯誤；若校驗子恰好等于[H]的第i列，認(rèn)為接收碼字的第i位發(fā)生了錯誤。線性分組碼可以糾正1位錯誤需滿足的條件：

[H]的各個列不同且不含有全0列；

2r-1≥n。6/23/2024385.漢明碼(1)漢明碼的定義對于任意正整數(shù)r≥3，存在有下列參數(shù)的線性分組碼：碼長：n

≤2r-1信息位：k=n-r監(jiān)督位：r=n-k最小碼距：dmin=3

這種碼稱為漢明碼。若n

=2r-1稱為狹義漢明碼或完備漢明碼；若n

<2r-1稱為廣義漢明碼。(2)漢明碼[H]矩陣的構(gòu)造將2r-1非全0的r維列向量作為[H]的各列。6/23/202439【例】構(gòu)造(7,4)漢明碼的監(jiān)督矩陣。解：n=7，k=4，r=n-k=3。由于n

=2r-1，故為狹義漢明碼。將7個非全0的3維列向量作為[H]的各列即可。或系統(tǒng)碼非系統(tǒng)碼6/23/202440(3)漢明碼的錯誤譯碼概率①狹義漢明碼狹義漢明碼可以糾正一位錯誤，因此其錯誤譯碼概率為：由于當(dāng)時，有因此當(dāng)時，有所以6/23/202441②廣義漢明碼

廣義漢明碼可以糾正一位錯誤，還可以糾正部分2位及2位以上的錯誤，因此其錯誤譯碼概率：比如，(6,3)廣義漢明碼的監(jiān)督矩陣為錯2位時：若第1位和第6位錯，或者第2位和第5位錯，或者第3位和第4位錯，校驗子均為[111]T。因此，不妨規(guī)定當(dāng)校驗子為[111]T時，譯作第1位和第6位錯。此時，該廣義漢明對于第1位和第6位錯這種錯兩位的情況也可以糾正。6/23/202442(4)增余漢明碼在漢明碼的基礎(chǔ)上，再增加一位監(jiān)督元，使?jié)h明碼的最小碼距dmin=4，可以在糾一位錯的同時檢兩位錯，這種線性分組碼稱為增余漢明碼。增加的監(jiān)督元通常取為原漢明碼所有碼元的模2和，也就是說增余漢明碼的[H]矩陣是在原漢明碼[H]矩陣的最右側(cè)加上一個全0列，再在下面加上一個全為1的行。6/23/202443(7,4)漢明碼(8,4)增余漢明碼[H]矩陣的各個列不同，且任何兩列之和不同于另一列，因此可以糾1位錯的同時檢出2位錯。增余漢明碼的構(gòu)成方法不唯一。

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

16/23/2024444.5循環(huán)碼6/23/2024451.循環(huán)碼的定義具有循環(huán)移位自閉性的線性分組碼稱為循環(huán)碼。所謂循環(huán)移位自閉性是指碼字集合中的任何一個碼字的循環(huán)移位也是該碼字集合中的一個碼字。若C(0)=[cn-1,cn-2,……c1,c0]∈C(C為許用碼字集合)

，

則C(1)=[cn-2,cn-3,……c0,cn-1]∈C。0000000001110101001110111010循環(huán)碼1001110101001111010011110100循環(huán)碼000001010011信息碼100101110111信息碼(7,3)系統(tǒng)循環(huán)碼6/23/2024462.循環(huán)碼的多項式描述一個(n,k)循環(huán)碼的碼字c=[cn-1,cn-2,……,c1,c0]可以用一個二元域上的n-1次多項式表示：

c(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0

ci

∈{0,1}

這個多項式稱為碼字多項式或碼多項式。碼字矢量的向左循環(huán)移位一次可以用x乘上C(x)后取模xn-1(或xn+1)來表示。模xn-1相當(dāng)于xn-1=0，即xn=1

xc(x)=x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0)=cn-1xn+cn-2xn-1+……+c1x2+c0

x=cn-2xn-1+……+c1x2+c0

x+cn-1(模xn-1)6/23/2024473.循環(huán)碼的生成多項式定義：(n,k)循環(huán)碼中，次數(shù)最低的非0碼多項式是唯一的，其次數(shù)為r=n-k次。該多項式稱為循環(huán)碼的生成多項式。

g(x)=grxr+gr-1xr-1+……+g1x+g0（gr=g0=1）g(x),xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)為k個線性無關(guān)的碼字，可以作為該循環(huán)碼生成矩陣的k行。6/23/202448信息碼組[m]=[mk-1,mk-2,…,m0]對應(yīng)的碼多項式為：

c(x)=[mk-1,mk-2,…,m0][G(x)]=mk-1xk-1g(x)+mk-2xk-2g(x)+…+m0g(x)=m(x)g(x)結(jié)論：所有循環(huán)碼的碼多項式都是其生成多項式g(x)的倍式；反之，任何次數(shù)不大于n-1次的多項式也一定是碼多項式。6/23/2024494.循環(huán)碼的編碼(1)非系統(tǒng)循環(huán)碼c(x)=m(x)g(x)【例】已知(7,4)循環(huán)碼的生成多項式為g(x)=x3+x+1，求信息碼組[0101]對應(yīng)的循環(huán)碼碼字。解：

m(x)=x2+1

c(x)=m(x)g(x)=(x2+1)(x3+x+1)=x5+x3+x2+x3+x+1=x5+x2+x+1[C]=[0100111]6/23/202450(2)系統(tǒng)循環(huán)碼信息多項式m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m0所對應(yīng)的系統(tǒng)循環(huán)碼的碼多項式c(x)應(yīng)滿足如下條件：①

c(x)的次數(shù)不大于n-1次，即可以表示c(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……+c1x+c0；②

c(x)為g(x)的倍式；③

cn-1=mk-1，cn-2=mk-2，…，cn-k=m0。系統(tǒng)循環(huán)碼編碼步驟：

①

②

(r(x)次數(shù)≤n-k-1)

③6/23/202451由于因此可見，c(x)為g(x)的倍式，條件②滿足。6/23/202452【例】(7,4)循環(huán)碼g(x)=x3+x+1，求m=[1010]的系統(tǒng)循環(huán)碼碼字。解：m(x)=x3+x

xn-km(x)=x3(x3+x)=x6+x4

C(x)=xn-km(x)+r(x)=x6+x4+x+1；[C]=[1010011]x3x6+x4+x3

x3

除式x6+x4x3+x+1+1x3+x+1x+1被除式商式余式6/23/202453(3)如何確定g(x)?定理1：(n,k)循環(huán)碼的生成多項式g(x)是xn-1的因式。定理2：若g(x)是一個n-k次多項式，且為xn-1的因式，則g(x)一定可以生成一個(n,k)循環(huán)碼。例如，x7-1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)(7,6)循環(huán)碼：g(x)=(x+1)(7,4)循環(huán)碼：g(x)=x3+x2+1或g(x)=x3+x+1(7,3)循環(huán)碼：g(x)=(x+1)(x3+x2+1)

或g(x)=(x+1)(x3+x+1)(7,1)循環(huán)碼：g(x)=(x3+x2+1)(x3+x+1)結(jié)論：xn-1的諸因式?jīng)Q定了所有碼長為n的循環(huán)碼。6/23/2024545.循環(huán)碼的譯碼發(fā)送碼字多項式：c(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+……c1x+c0錯誤圖樣多項式：e(x)=en-1xn-1+en-2xn-2+……e1x+e0接收碼字多項式：c’(x)=cn-1’xn-1+cn-2’xn-2+……+c1’x+c0’

c’(x)=c(x)+e(x)校驗子多項式：s(x)≡c’(x)≡

e(x)[模g(x)]

s(x)=sr-1xr-1+sr-2xr-2+…+s0

——r-1次多項式若s(x)

=0，表明收到的碼字為許用碼字，譯碼器認(rèn)為接收碼字無錯誤。若s(x)≠0，表明收到的碼字為禁用碼字，可以判定接收碼字一定有錯誤。6/23/202455【例】(7,4)循環(huán)碼g(x)=x3+x+1，求接收碼字不錯或只錯一位時的校驗子多項式。e(x)s(x)[s2,s1,s0]0000011001xx010x2x2100x3x+1011x4x2+x110x5x2+x+1111x6x2+11016/23/202456這個表給出了接收碼字不出錯或只錯一位時校驗子多項式和校驗子矢量的結(jié)果。根據(jù)這個表可以進(jìn)行譯碼。例如，發(fā)送碼字多項式為c(x)=x4+x2+x

接收碼字多項式為c’(x)=x4+x3+x2+x

g(x)=x3+x+1

校驗子多項式為：s(x)≡c’(x)[模g(x)]=x+1

查表可知e(x)=x3

因此

c(x)=c’(x)+e(x)=x4+x2+x

發(fā)送碼字為00101106/23/2024576.截短循環(huán)碼通常xn-1只能分解出不多的幾個因式，因此使得給定長度為n的循環(huán)碼的數(shù)量往往很少。為了克服這個缺點，出現(xiàn)了截短循環(huán)碼。對于一個(n,k)循環(huán)碼，若取所有前i個信息元均為0的碼字構(gòu)成一個子集(0<i<k)，其監(jiān)督位長度不變，信息位長度減少至k-i位，則得到一個(n-i,k-i)碼，稱為截短循環(huán)碼或縮短循環(huán)碼。截短循環(huán)碼是原循環(huán)碼的子集，因此它的最小碼距保證了它的糾錯能力不會低于原來的(n,k)循環(huán)碼。6/23/202458截短循環(huán)碼的[H]矩陣可以從原碼的[H]矩陣中除去前i列而得到，[G]矩陣可以從原碼的[G]矩陣中除去前i列和前i行而得到。例如，可以由(7,4)循環(huán)碼構(gòu)成(5,2)截短循環(huán)碼。(7,4)循環(huán)碼(5,2)截短循環(huán)碼6/23/202459截短循環(huán)碼的[H]矩陣可以從原碼的[H]矩陣中除去前i列而得到，[G]矩陣可以從原碼的[G]矩陣中除去前i列和前i行而得到。例如，可以由(7,4)循環(huán)碼構(gòu)成(5,2)截短循環(huán)碼。(7,4)循環(huán)碼(5,2)截短循環(huán)碼6/23/2024604.6糾正獨立錯誤的卷積碼6/23/202461卷積碼的最大特點是有記憶性，(n0,k0,m)卷積碼編碼器在j時刻輸出與j，j-1，j-2，…，j-m+1共m個單位時間的輸入有關(guān)。m