序言;§11 隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件教材

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

ProbabilityandStatistics主講教師：李其琛教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

李其琛曹偉平主編，南京大學(xué)出版社2009參考書：[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第四版浙大盛驟等編,高等教育出版社2008[2]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)附冊(cè)》學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解

浙大盛驟等編,高等教育出版社2008課程要求及考試方式平時(shí)成績：30%

(包括作業(yè)情況、課堂答題、課堂考勤等)

期末考試:70%

筆試、閉卷序言?隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)概率論是研究什么的？概率論的發(fā)展在十七世紀(jì)，正當(dāng)研究現(xiàn)實(shí)世界中的必微分方程，積分方程和函數(shù)論的數(shù)學(xué)分支然現(xiàn)象及其規(guī)律的必然數(shù)學(xué)，如微積分學(xué)獲得巨大發(fā)展的時(shí)候，一個(gè)研究偶然事件的數(shù)學(xué)分支也開始出現(xiàn)了，這就是所謂的或然數(shù)學(xué)，也稱隨機(jī)數(shù)學(xué)。十分有趣的是，這樣一門重要的數(shù)學(xué)分支竟起源于一個(gè)賭徒在賭博眾所遇到的問題。賭徒的難題然而，歷史事實(shí)確是如此。1653年夏天，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）前往普埃托鎮(zhèn)度假，旅途中，他遇到了騎士梅累，此公每人押了32個(gè)金幣，并事先約定：如果梅累先擲出三個(gè)六點(diǎn)，或其賭友先擲出三個(gè)4點(diǎn)，便是經(jīng)常出沒于賭場的“賭壇老手”。為了消除旅途的寂寞，梅累便吹噓其他的賭博經(jīng)，并向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”的問題。問題是這樣的：一次，梅累與賭友賭擲骰子，算是贏家（每人擲一次），遺憾的是，這場不按照已有的成績分取這64個(gè)金幣，這下可把他難住了，賭友說，雖然梅累只須再擲出一次算小的賭博并未能順利結(jié)束，當(dāng)梅累擲出兩次6點(diǎn)，其賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅累接到通但就此收回各自的賭注又不甘心，他們只好6點(diǎn)就贏了，但他再擲出兩次4點(diǎn)，也就贏了。知，要他馬上陪國王接見外賓。君命難違，他還有一半的希望得6點(diǎn)，這樣又可分得16個(gè)金幣，所以他至少應(yīng)得64個(gè)金幣的四分之三所以他分得的金幣應(yīng)是梅累的一半，即64個(gè)賭金的二分之一，即32個(gè)金幣；再加上下次即使下次賭友擲出一個(gè)4點(diǎn)，他還可以分得金幣的三分之一，梅累不同意這樣分，他說誰是誰非，爭論不休，由于梅累沒有時(shí)間與其1623年6月19日，布拉瑟—帕斯卡出生于法國奧弗涅省的克勒忙一個(gè)富裕的省議員之家。爭執(zhí)下去，最后就按其賭友的意思分配，不眾所周知，帕斯卡是以為著名的“數(shù)學(xué)神童”大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他求教。過梅累對(duì)此一直耿耿于懷，所以，他一碰到三歲那年，母親不幸去世，8歲時(shí)，父親為了別是參加梅森學(xué)院的活動(dòng)，使小帕斯卡的天資很快得到開發(fā)，帕斯卡從小就醉心于數(shù)學(xué)研究專心培育三個(gè)子女，辭去省議員的職務(wù)，移他經(jīng)常帶領(lǐng)兒子參加各種科學(xué)家的集會(huì)，特發(fā)現(xiàn)“帕斯卡蝸牛線”等聞名于巴黎科學(xué)界，居巴黎，老帕斯卡是一位數(shù)學(xué)愛好者，曾以16歲時(shí)，他發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡六邊形定理”：論文《論圓錐曲線》，竟使笛卡爾懷疑是其父親的作品。成年以后，帕斯卡的數(shù)學(xué)研究更是“任何內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形，三組對(duì)邊大地豐富了圓錐曲線的理論。他以此寫成的并從這個(gè)定理出發(fā)，導(dǎo)出了400多條推論，極的交點(diǎn)共線，”碩果累累，他的名氣也響徹法國及整個(gè)歐洲。梅累的分法是正確的，并用組合的知識(shí)解決了這一問題。1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（1629然而，梅累的貌似簡單的問題，卻真正難住和他展開討論，在與費(fèi)爾馬的通信中認(rèn)為，1654年帕斯卡不得不寫信給他的好友費(fèi)爾馬了他。經(jīng)過很長時(shí)間的探索，還是不得要領(lǐng)，——1695）恰好在巴黎，也參與了他們的工作概率論的重要而迷人的主題開始于17世紀(jì)，通過費(fèi)馬和帕斯卡等數(shù)學(xué)家的努力，回答了涉及賭博機(jī)遇的問題。學(xué)科發(fā)展背景直到20世紀(jì)，它仍未有建立在公理、定義上的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論。隨著時(shí)間的遷移，人們發(fā)現(xiàn)概率論有許多應(yīng)用，不僅在工程、科學(xué)和數(shù)學(xué)方面，而且在保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、醫(yī)藥和心理學(xué)等范圍，有許多例子說明應(yīng)用自身貢獻(xiàn)了理論的進(jìn)一步發(fā)展。概率論的誕生統(tǒng)計(jì)比概率起源更早，它主要是處理收集、組織和用表或圖表表示資料。隨著概率論的出現(xiàn)，人們明白了統(tǒng)計(jì)能夠提取有用的結(jié)論，在資料分析的基礎(chǔ)上做出有道理的決策，比如抽樣理論和預(yù)測或預(yù)報(bào)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用。但是它們是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系。

概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中.例如：保險(xiǎn)精算、金融工程、隨機(jī)控制、博弈論1.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制、預(yù)測、信號(hào)與圖像處理等都與概率論緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均需要用到假設(shè)檢驗(yàn)；本學(xué)科的應(yīng)用3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理；

4.電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì),火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射都離不開可靠性估計(jì);

探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí)，時(shí)間序列分析方法非常有用;6.研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以馬爾可夫過程來描述；在生物學(xué)中研究群體的增長問題時(shí)了提出了生滅型隨機(jī)模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識(shí)就是排隊(duì)論.“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題?！?/p>

——拉普拉斯（法國數(shù)學(xué)家）“概率論是生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對(duì)概率的某種估計(jì)，那么我們就寸步難行、無所作為?！?/p>

——杰文斯（英國邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家）目前,概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用概率統(tǒng)計(jì)方法.

隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

頻率與概率

古典概型與幾何概型

條件概率

事件的獨(dú)立性第1章概率論的基礎(chǔ)概念隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間與隨機(jī)事件事件之間的關(guān)系和運(yùn)算事件的運(yùn)算規(guī)律小結(jié)練習(xí)§1.1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

在一定條件下必然發(fā)生現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.1.確定性現(xiàn)象

自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)實(shí)例

“太陽不會(huì)從西邊升起”,“水從高處流向低處”,“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.確定性現(xiàn)象的特征條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實(shí)例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

過馬路交叉口時(shí),能遇上各種顏色的交通指揮燈.實(shí)例3

用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.實(shí)例6

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.

1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;（可重復(fù)性）

2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;（全部結(jié)果已知性）

3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

（試驗(yàn)前結(jié)果未定性）

在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).定義3.隨機(jī)試驗(yàn)(簡稱“試驗(yàn)”)隨機(jī)試驗(yàn)的例E2:將一枚硬幣連拋三次,考慮正反面出現(xiàn)的情況;E1:拋一枚硬幣,分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E3:將一枚硬幣連拋三次,考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子,考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);E5:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù);E6:在一批燈泡中任取一只,測試其壽命;E7:記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度.1.1.2樣本空間與隨機(jī)事件3、基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.EX給出E1-E7的樣本空間.1、樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S；2、樣本點(diǎn):樣本空間的元素即試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn).4、隨機(jī)事件：

試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的情況叫隨機(jī)事件,簡稱事件.

事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素.必然事件S

、不可能事件

.5、兩個(gè)特殊事件:任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.記作A、B、C等.

將下列事件均表示為樣本空間的子集.(1)

試驗(yàn)E2

中(將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況),隨機(jī)事件:A=“至少出現(xiàn)一個(gè)正面”B=“三次出現(xiàn)同一面”

C=“恰好出現(xiàn)一次正面”S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}；B={HHH,TTT}C={HTT,THT,TTH}答：例1D={x:x>1000(小時(shí))}(2)試驗(yàn)

E6

中(在一批燈泡中任取一只，測試其壽命),D=“燈泡壽命超過1000小時(shí)”答：可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實(shí)質(zhì)，且更便于今后計(jì)算概率.還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗(yàn)E2

，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是HHH時(shí)，可以說事件A(至少出現(xiàn)一個(gè)正面)和B(三次出現(xiàn)同一面)同時(shí)發(fā)生了；但事件B和C(恰好出現(xiàn)一次正面)在任何情況下均不可能同時(shí)發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點(diǎn)所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述。

1.1.3事件之間的關(guān)系和運(yùn)算1.包含關(guān)系：“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A

BA＝B

A

B且B

A.2.和事件：“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作A

B2’n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作3.積事件:“A與B同時(shí)發(fā)生”，記作

A

B或AB3’n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生,記作4.差事件：A－B稱為A與B的差事件，表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生思考：何時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？5.互不相容（互斥）事件：AB＝

6.

互逆的事件（對(duì)立事件）：

A

B＝S且AB＝

1.1.4事件的運(yùn)算律1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(AC)(B

C)4、對(duì)偶(DeMorgan)律：例2

甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件必然事件不可能事件復(fù)合事件1.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系小結(jié)2.概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系記號(hào)概率論集合論樣本空間，必然事件空間不可能事件空集基本事件元素隨機(jī)事件子集A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)A是B的子集事件A