等差數(shù)列的概念課件第2課時(shí) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第4章數(shù)列人教A版2019選修第二冊(cè)4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).2.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.3.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.1.等差數(shù)列的定義：2.通項(xiàng)公式：an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則稱A叫做a與b的等差中項(xiàng).3.等差中項(xiàng)：這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式：

知識(shí)回顧1.等差數(shù)列實(shí)際問(wèn)題

例3.某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.

分析:這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.由題意可知，10年之內(nèi)(含10年)，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于(220×5%=)11萬(wàn)元；而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬(wàn)元.可以利用{an}的通項(xiàng)公式列不等式求解.

例3.某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.

解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬(wàn)元，則可得數(shù)列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d（n≥2）．由于d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列{an}是一個(gè)公差為－d的等差數(shù)列.因?yàn)閍1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由題意，得a10≥11，a11＜11.所以，d的求值范圍為19<d≤20.9.解得19<d≤20.9，解決等差數(shù)列實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)問(wèn)題；(2)構(gòu)造等差數(shù)列模型(明確首項(xiàng)和公差)；(3)利用通項(xiàng)公式解決等差數(shù)列問(wèn)題；(4)將所求出的結(jié)果回歸為實(shí)際問(wèn)題.2.等差數(shù)列的性質(zhì)

例4.

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}

的通項(xiàng)公式.(2)b29是不是數(shù)列{an}

的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是

，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析:(1)

{an}是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1，a2表示為{bn}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè){an}中的第n項(xiàng)是{bn}中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項(xiàng).

例4.

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}

的通項(xiàng)公式.解:(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d′,由題意可知b1=

a1=2,b5=

a2=10∴

bn=

b1+(n-1)d′=

2+(n-1)×2=2n

例4.

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(2)b29是不是數(shù)列{an}

的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是

，請(qǐng)說(shuō)明理由.

bn=2n.(2)數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是數(shù)列{bn}的第1,5,9,13,???項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}，

所以，b29是數(shù)列的第8項(xiàng).

對(duì)于第(2)小題，你還有其他解法嗎？

例4.

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(2)b29是不是數(shù)列{an}

的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是

，請(qǐng)說(shuō)明理由.

bn=2n.(2)由已知，an=

a1+(n-1)d=2+(n-1)×8=8n-6,b29=58令8n-6=58,解得

n=8,所以，

b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng).

例5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t.

求證:ap+aq=as+at.

分析:只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，aq，as，at

，再利用已知條件即可得證.證明：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，as=a1+(s-1)d，at=a1+(t-1)d，所以ap+q=2a1+(p+q-2)d，as+t=2a1+(s+t-2)d，因?yàn)閜+q=s+t.所以

ap+aq=as+at.

思考？例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？●●●●spqtn(s,as)(p,ap)(q,aq)(t,at)asapaqatan

∵p+q=s+t，∴p?s=t?q，∴ap?as=at?aq∴ap+aq=as+at

例6.(1)在等差數(shù)列{an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值；解:(1)

a4+a17=a6+a15=19+46=65

(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝30，

求a3－2a5的值.(2)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得a4＋a10＝2a7,而a4＋a7＋a10＝30＝3a7

即a7

=10,∴a3－2a5＝a3－(a3+a7)=－a7=－10.

解:

∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,

(2)在等差數(shù)列{an}中，a3?a6+a10=20

，則a11?2a9

=_____.解:因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，由a3?a6+a10=20

得a7=20，所以a11?2a9=a11?(a7+a11)=?a7=?20.

例7.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).解：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a-d，a，a+d,

則(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12,又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12∴

a=4∴

當(dāng)d=2時(shí)，這三個(gè)數(shù)分別為2，4，6;

解得d=±2當(dāng)d=-2時(shí)，這三個(gè)數(shù)分別為6，4，2.練習(xí):已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù)所成的等差數(shù)列.解:設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a?3d，a?d，a+d，a+3d.

∴這四個(gè)數(shù)所成的等差數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=a1+(n-1)d

性質(zhì)3

an

=am+(n-m)d

性質(zhì)5

m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq性質(zhì)6

m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.課本練習(xí)1.某體育場(chǎng)一角看臺(tái)的座位是這樣排列的：第1排有15個(gè)座位，從第2排起每一排都比前一排多2個(gè)座位.你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎?第10排有多少個(gè)座位?nanO?1569121518?2????34633.在等差數(shù)列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.4.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結(jié)論;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.5.已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.(1)將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉,其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的