數(shù)字積分法 課件

數(shù)字積分法

數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析法DDA(DigitaldifferentialAnalyzer)，是在數(shù)字積分器的基礎(chǔ)上建立起來的一種插補算法。數(shù)字積分法的優(yōu)點是，易于實現(xiàn)多坐標聯(lián)動，較容易地實現(xiàn)二次曲線、高次曲線的插補，并具有運算速度快，應用廣泛。

數(shù)字積分法原理從數(shù)字積分的角度看，一個變量可以看成它本身的一些微量的累加。如：如果把△Xi近似看作是按一定速率的增量，即△Xi=Vi△t，那么只要V(t)

表達式能寫出，就能求出X。DDA法是脈沖增量插補法的一種，也是靠控制增量間的關(guān)系來控制軌跡的，但是，有它的特點，DDA法的特點是：用控制增量速率來控制增量間的關(guān)系。1.數(shù)字積分法直線插補若要產(chǎn)生直線OE，其起點為坐標原點O，終點坐標為E(7，4)。設寄存器和累加器容量為1，將Xe＝7，Ye＝4分別分成8段，每一段分別為7/8，4/8，將其存入X和Y函數(shù)寄存器中。第一個時鐘脈沖來到時，累加器里的值分別為7/8，4/8，因不大于累加器容量，沒有溢出脈沖。第二個時鐘脈沖來到時，

X累加器累加結(jié)果為7/8+7/8＝1+6/8，因累加器容量為1，滿1就溢出一個脈沖，則往X方向發(fā)出一進給脈沖，余下的6/8仍寄存在累加器里，累加器又稱余數(shù)寄存器。Y累加器中累加為4/8+4/8，其結(jié)果等于1，Y方向也進給一步。第三個脈沖到來時，仍繼續(xù)累加，X累積器為6/8+7/8，大于1，X方向再走一步，Y累加器中為0+4/8，其結(jié)果小于1，無溢出脈沖，Y向不走步。YE(7，4)

0X

圖3-17直線插補走步過程如此下去，直到輸入第8個脈沖時，積分器工作一個周期，

X方向溢出脈沖總數(shù)為7/88=7，Y方向溢出脈沖總數(shù)為4/88=4，到達終點E（如圖3-17）。

圖3-18DDA直線插補數(shù)字積分法直線插補

若要加工第一象限直線OE，如圖所示，起點為坐標原點O，終點坐標為E（Xe，Ye），刀具以勻速V由起點移向終點，其X、Y坐標的速度分量為Vx，Vy，則有

y0xE(xe,ye)Pi(xi,yi)各坐標軸的位移量為數(shù)字積分法是求上式從O到E區(qū)間的定積分。用累加來代替積分，刀具在X，Y方向移動的微小增量分別為

動點從原點出發(fā)走向終點的過程，可以看作是各坐標軸每經(jīng)過一個單位時間間隔t，分別以增量kXe及kYe同時累加的結(jié)果。

?。ㄒ粋€單位時間間隔），則

若經(jīng)過m次累加后，X，Y都到達終點E（Xe，Ye）,下式成立

可見累加次數(shù)與比例系數(shù)之間有如下關(guān)系

或

兩者互相制約，不能獨立選擇，m是累加次數(shù)，取整數(shù)，k取小數(shù)。即先將直線終點坐標Xe，Ye縮小到kXe，kYe，然后再經(jīng)m次累加到達終點。另外還要保證沿坐標軸每次進給脈沖不超過一個，保證插補精度，應使下式成立

如果存放Xe，Ye寄存器的位數(shù)是n，對應最大允許數(shù)字量為（各位均為1），所以Xe，Ye最大寄存數(shù)值為

則

為使上式成立，不妨取代入得累加次數(shù)上式表明，若寄存器位數(shù)是n，則直線整個插補過程要進行2n

次累加才能到達終點。

對于二進制數(shù)來說，一個n位寄存器中存放Xe和存放kXe的數(shù)字是一樣的，只是小數(shù)點的位置不同罷了，Xe除以2n，只需把小數(shù)點左移n位，小數(shù)點出現(xiàn)在最高位數(shù)n的前面。采用kXe進行累加，累加結(jié)果大于1，就有溢出。若采用Xe進行累加，超出寄存器容量2n有溢出。將溢出脈沖用來控制機床進給，其效果是一樣的。在被寄函數(shù)寄存器里可只存Xe，而省略k。例如，Xe=100101在一個6位寄存器中存放，若k=1/26，kXe=0.100101也存放在6位寄存器中，數(shù)字是一樣的，若進行一次累加，都有溢出，余數(shù)數(shù)字也相同，只是小數(shù)點位置不同而已，因此可用Xe替代kXe

平面直線的插補框圖X被積函數(shù)寄存器存放kXeY被積函數(shù)寄存器存放kYeX積分累加器Y積分累加器ΔX

x軸溢出脈沖ΔY

y軸溢出脈沖解:初始化m=2n=23=8Σy=0Σx=0

例設有直線OE，起點在原點，終點E(xe=5,ye=4)，寄存器均為三位二進制寄存器，用DDA法實現(xiàn)插補。yx053E43212145累加次數(shù)累加求和判別脈沖溢出累加求和判別脈沖溢出nXe+ΣX→ΣX

ΣX≥m?ΔXYe+ΣY→ΣYΣY≥m?ΔY15+0=55<804+0=44<8025+5=1010>814+4=88=8135+2=77<804+0=44<8045+7=1212>814+4=88=8155+4=99>814+0=44<8065+1=66<804+4=88=8175+6=1111>814+0=44<8085+3=88=814+4=88=813.數(shù)字積分法圓弧插補第一象限逆圓如圖，圓弧的圓心在坐標原點O，起點為A（Xa，Ya），終點為B（Xb，Yb）。圓弧插補時，要求刀具沿圓弧切線作等速運動，設圓弧上某一點P（X，Y）的速度為V，則在兩個坐標方向的分速度為Vx，Vy，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，有如下關(guān)系式xVVy

VxEAy0P(X,Y)R對于時間增量而言，在X，Y坐標軸的位移增量分別為

由于第一象限逆圓對應x坐標值逐漸減小，所以式中表達式中取負號，即Vx，Vy均取絕對值計算。

DDA圓弧插補與直線插補的主要區(qū)別為：（1）圓弧插補中被積函數(shù)寄存器寄存的坐標值與對應坐標軸積分器的關(guān)系恰好相反。（2）圓弧插補中被積函數(shù)是變量，直線插補的被積函數(shù)是常數(shù)。（3）圓弧插補終點判別需采用兩個終點計數(shù)器。對于直線插補，如果寄存器位數(shù)為n，無論直線長短都需迭代2n次到達終點。

xyBA例見P22頁例2-4053432121453.數(shù)字積分法插補的象限處理

DDA插補不同象限直線和圓弧時，用絕對值進行累加，把進給方向另做討論。

DDA插補是沿著工件切線方向移動，四個象限直線進給方向如圖圓弧插補時被積函數(shù)是動點坐標，在插補過程中要進行修正，坐標值的修改要看動點運動是使該坐標絕對值是增加還是減少，來確定是加1還是減1。四象限直線及圓弧插補進給方向

YL2L1NR2NR1

內(nèi)容

L1

L2

L3

L4

進給

ΔX

+

-

-

+

修正

JVY

進給

ΔY

+

+

-

-

修正

JVX

直線進給方向NR1

NR2

NR3

NR4

SR1

SR2

SR3

SR4

-

-

+

+

+

+

-

-

-1

+1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

+

-

-

+

-

+

+

-

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

圓弧插補進給方向及坐標修改內(nèi)容

進給

ΔX

修正

JVY

進給

ΔY

修正

JVX

4.數(shù)字積分法合成進給速度

V=F？F——編程速度

v——插補合成速度寄存器的位數(shù)是3x053E43212145Yx053E43212145Y

數(shù)字積分法的特點是，脈沖源每產(chǎn)生一個脈沖，作一次累加計算，如果脈沖源頻率為fg（Hz），插補直線的終點坐標為E（Xe，Ye），則X，Y方向的平均進給頻率fx，fy為

式中m—累加次數(shù)。假設脈沖當量為（mm/脈沖），可求得X和Y方向進給速度（mm/min）合成進給速度為

式中

L—被插補直線長度，;若插補圓弧，L應為圓弧半徑R。

Vg—脈沖源速度，。

5.數(shù)字積分法穩(wěn)速控制

(1)

左移規(guī)格化“左移規(guī)格化”就是將被積函數(shù)寄存器中存放數(shù)值的前零移去。直線插補時，當被積函數(shù)寄存器中所存放最大數(shù)的最高位為1時，稱為規(guī)格化數(shù)，反之，若最高位為零，稱為非規(guī)格化數(shù)。直線插補左移規(guī)格化數(shù)的處理方法是：將X軸與Y軸被積函數(shù)寄存器里的數(shù)值同時左移（最低位移入零），直到其中之一最高位為1時為止。若被積函數(shù)左移i位成為規(guī)格化數(shù)，其函數(shù)值擴大2i倍，為了保持溢出的總脈沖數(shù)不變，就要減少累加次數(shù)。

被積函數(shù)擴大一倍，累加次數(shù)減少一倍。具體實現(xiàn)，當被積函數(shù)左移i位時，終點判別計數(shù)器右移（最高位移入1），使終點計數(shù)器JE使用長度減少i位，實現(xiàn)累加次數(shù)減少的目的。如果直線終點坐標為（10，6），寄存器與累加器位數(shù)是8，其規(guī)格化前后情況如下所示：

規(guī)格化前規(guī)格化后

Xe=00001010Xe=10100000

Ye=00000110Ye=01100000

JE=00000000JE=11110000圓弧插補左移規(guī)格化與直線不同之處：被積函數(shù)寄存器存放最大數(shù)值的次高位是1為規(guī)格化數(shù)。

圓弧左移規(guī)