淺談高中數(shù)學(xué)中的幾何概型

淺談高中數(shù)學(xué)中的幾何概型泉州現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)組陳永生幾何概型是高中概率局部的一個難點(diǎn)，高考中選擇、填空題、解答題都有所涉及。要理解并靈活應(yīng)用幾何概型解決相關(guān)問題，需要從以下幾個方面把握：一、定義：事件A理解為根本領(lǐng)件空間的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量〔長度、面積或體積〕成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。滿足以上條件的試驗稱為幾何概型。它也有兩個根本特點(diǎn)：一是一次試驗中，根本領(lǐng)件的個數(shù)是無限的；二是每一個根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是均等的。在幾何概型中，事件A的概率定義為：P〔A〕==；P〔A〕=，〔其中為區(qū)域的幾何度量，為子區(qū)域A的幾何度量〕。用幾何概率公式計算概率時，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件所對應(yīng)的幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行相應(yīng)的幾何度量。對于一些簡單的幾何概型問題，可以快捷的找到解決方法.二、與長度有關(guān)的幾何概型例1．有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要將其截成兩段，要求每一段都不小于3米，那么符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是說只能在距兩端都為3米的中間的4米中截，這是一道非常典型的與長度有關(guān)的幾何概型問題。解：記兩段木棍都不小于3米為事件A，那么P(A)=。例2：某人欲從某車站乘車出差，該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率。分析：假設(shè)他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機(jī)事件發(fā)生的概率。可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的，所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件。解：設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50，60]這一時間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式，得P(A)==，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為。三、與面積有關(guān)的幾何概型例1：一海豚在水池中自由游弋，水池為長30米，寬20米的長方形。求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2米的概率。解：P(A)==。例2：如圖，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，重疊局部為花瓣?，F(xiàn)在向該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率。解：飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的時機(jī)是均等的，符合幾何概型條件。記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長為2r，那么。所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為。四、與角度有關(guān)的幾何概型例1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<300的概率。ACACBMACBM分析：此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。問題1的測度定性為線段長度，當(dāng)∠CAM0=300時，，合條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段上，所以所求概率等于。而問題2的測度定性為角度，過點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=450，所以所求概率等于。五、與體積有關(guān)的幾何概型例1．在500ml的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率？分析：草履蟲在這500毫升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的2毫升水樣可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，500毫升水可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率。解：取出2毫升水樣，其中“含有草履蟲”這一事件記為A，那么P(A)==。例2.正方體ABCD—A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O,那么在正方體ABCD—A1B1C1D解：設(shè)正方體的邊長為2a,那么P(A)=。六、科學(xué)設(shè)計變量，數(shù)形結(jié)合解決問題例1．兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去，求兩人能夠會面的概率。解：設(shè)兩人到達(dá)的時間分別為7點(diǎn)到8點(diǎn)之間的x分鐘、y分鐘。用表示每次試驗的結(jié)果，那么所有可能結(jié)果為：；記兩人能夠會面為事件A，那么事件A的可能結(jié)果為：。如下圖，試驗全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω為正方形ABCD。而事件A所構(gòu)成區(qū)域是正方形內(nèi)兩條直線，所夾中間的陰影局部。根據(jù)幾何概型公式，得到：。所以，兩人能夠會面的概率為。例2．一條直線型街道的A、B兩盞路燈之間的距離為120米，由于光線較暗，想在中間再隨意安裝兩盞路燈C、D，順序為A、C、D、B。問A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率是多少？解：〔1〕構(gòu)設(shè)變量。設(shè)A與C、B與D之間的距離分別為x米、y米。〔2〕集合表示。用Ω表示每次試驗的結(jié)果，那么所有可能結(jié)果為：；記A與C、B與D之間的距離都不小于40米為事件A，那么事件A的可能結(jié)果為。〔3〕作出區(qū)域，如下圖，試驗全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω為直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的△ABC，而事件A所構(gòu)成區(qū)域是三條直線，所夾中間的陰影局部。〔4〕計算求解.根據(jù)幾何概型公式，得到：。所以，A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率為。例3：假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家，而你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙〔稱為事件A〕的概率是多少。分析：1、這是一個幾何概型的例子，可以用幾何概型的公式來解決。2、設(shè)送報人到家的時間為x，父親離開家的時間為y。3、事件A發(fā)生的條件：x≤y4、建立坐標(biāo)系，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω=(xy)6.5≤x≤7.5,7≤y≤8，這是一個正方形區(qū)域，面積=1。5、條件A構(gòu)成的區(qū)域A=(x,y)│y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8，幾何概型并不是研究與幾何有關(guān)的概率模型，幾何概型與幾何沒有直接的關(guān)系，而是實際生活中的某些問題我們可以通過幾何圖形去合理的描述，然后用幾何知識解決這個問題，所以把它稱為幾何概型。因此很多與實際生活有關(guān)的概率問題，只要滿足幾何概型的兩個特點(diǎn)，將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保存等可能性，都可以用幾何概型去刻畫，新課程的實施，進(jìn)一步要求我們，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視并幫助學(xué)生對知識意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的符號感和悟性；淡