角動(dòng)量定理課件

角動(dòng)量定理

在描述轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，我們需要引進(jìn)另一個(gè)物理量——角動(dòng)量。這一概念在物理學(xué)上經(jīng)歷了一段有趣的演變過(guò)程。18世紀(jì)在力學(xué)中才定義和開(kāi)始利用它，直到19世紀(jì)人們才把它看成力學(xué)中的最基本的概念之一，到20世紀(jì)它加入了動(dòng)量和能量的行列，成為力學(xué)中最重要的概念之一。角動(dòng)量之所以能有這樣的地位，是由于它也服從守恒定律，在近代物理學(xué)中其運(yùn)用是極為廣泛的。

§5.1孤立體系的角動(dòng)量守恒

第三章我們介紹了與平動(dòng)相聯(lián)系的守恒量——?jiǎng)恿浚瑢?duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)我們希望能找到這樣一個(gè)物理量——角動(dòng)量，它具備以下的條件：若質(zhì)點(diǎn)關(guān)于空間某一點(diǎn)作平動(dòng)，它取值為零，它取非零值表示質(zhì)點(diǎn)關(guān)于該空間點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)于孤立體系，它保持守恒。下面我們?cè)诠铝Ⅲw系中尋找這樣的物理量。5.1.1單質(zhì)點(diǎn)孤立體系和掠面速度5.1.2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系和角動(dòng)量

§5.1孤立體系的角動(dòng)量守恒5.1.1單質(zhì)點(diǎn)孤立體系和掠面速度

單質(zhì)點(diǎn)的孤立體系就是不受外力作用的自由質(zhì)點(diǎn)，它作勻速直線運(yùn)動(dòng)（我們?nèi)T性參考系，且靜止看成是勻速直線運(yùn)動(dòng)的特例）。

如圖5.1，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)位于P點(diǎn)，沿直線AB從A向B方向運(yùn)動(dòng)，在相等的時(shí)間間隔⊿t的位移是⊿s=v⊿t。

我們?cè)贏B上取一個(gè)參考點(diǎn)Q，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，由于QP的方向不發(fā)生改變，故P點(diǎn)相對(duì)于Q點(diǎn)沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。但如果參考點(diǎn)取不在AB上的點(diǎn)，譬如O點(diǎn)，由于OP的方向（即r的方向）在不斷改變，故P點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)有轉(zhuǎn)動(dòng)。我們現(xiàn)在來(lái)尋找守恒量。5.1.1單質(zhì)點(diǎn)孤立體系和掠面速度

由圖可見(jiàn)，各時(shí)間間隔⊿t內(nèi)矢徑r掃過(guò)的那些小三角形具有公共的高線OH，因而有相等的面積，于是我們找到的守恒量是：矢徑r在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積S，我們稱該面積S為質(zhì)點(diǎn)P的掠面速度。設(shè)矢徑r與AB線的夾角為θ，故對(duì)單質(zhì)點(diǎn)的孤立體系有：

該式也可以換一種表達(dá)法，即掠面速度對(duì)時(shí)間的微商為零：5.1.1單質(zhì)點(diǎn)孤立體系和掠面速度

當(dāng)然，上面所考慮的只是平面運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)于單個(gè)的自由質(zhì)點(diǎn)，它只可能在某個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)。但是我們接下來(lái)要考慮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)，僅考慮某一個(gè)平面就不行了，我們可以利用矢量運(yùn)算法則，將掠面速度定義為與該平面垂直的矢量。即：

這樣，對(duì)于單質(zhì)點(diǎn)的孤立體系，我們找到的守恒量是掠面速度矢量S。當(dāng)然，它與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，若參考點(diǎn)選在直線AB上，則掠面速度為零。5.1.2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系和角動(dòng)量

對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系，它們雖然不受外力作用，但兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間是有作用力的。我們現(xiàn)在來(lái)尋找守恒量，首先我們能想到的是它們每個(gè)質(zhì)點(diǎn)掠面速度的和。為此，在空間建立慣性參考系，如圖5.2，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1,m2，其位矢和速度分別為r1,

r2和v1,

v2

。設(shè)其掠面速度分別為S1,

S2

，有：5.1.2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系和角動(dòng)量而掠面速度對(duì)時(shí)間的微商為：其中i=1,2。為了對(duì)上式中的i求和，我們列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓方程：因m1,m2可以為任意值，故5.1.2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系和角動(dòng)量但從前幾式可看出：其中利用了牛頓第三定律：f的方向沿兩質(zhì)點(diǎn)m1,m2的連線，即f//(r1﹣r2)。于是我們找到了守恒量：5.1.2兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的孤立體系和角動(dòng)量稱為單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量或動(dòng)量矩；定義：稱為體系對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量或動(dòng)量矩。由上述的推導(dǎo)可知：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)孤立體系的角動(dòng)量守恒。

對(duì)于多質(zhì)點(diǎn)孤立體系同樣可以得出角動(dòng)量守恒的結(jié)論，我們?cè)谙乱还?jié)介紹。幾點(diǎn)說(shuō)明：角動(dòng)量是矢量，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是r和p的矢積，因而既垂直于r，又垂直于p，即垂直于r和p所確定的平面，其指向由右手定則決定。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與其掠面速度成正比，比例系數(shù)為其質(zhì)量的兩倍。角動(dòng)量是相對(duì)給定的參考點(diǎn)定義的，且參考點(diǎn)在所選的參考系中必須是固定點(diǎn)，對(duì)不同的參考點(diǎn)體系的角動(dòng)量是不同的。通常我們把參考點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)的角動(dòng)量的定義才如(5.1.12)、(5.1.13)式所示。角動(dòng)量的單位是千克·米2/秒，量綱為ML2T-1

5.2.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理5.2.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理5.2.3角動(dòng)量守恒定律與空間各向同性§5.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理§5.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理5.2.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理

我們知道，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于外力的沖量。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量如何隨外力變化呢？這可以從牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到。在慣性參考系中考慮一個(gè)受力為F的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其矢徑為r，動(dòng)量為p，角動(dòng)量為l，有：角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率為：定義：M=r×F稱為力F對(duì)于原點(diǎn)的力矩。5.2.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理于是(5.2.2)式又可寫為：即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)的力矩。這就是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的微分形式。對(duì)上式積分，得：力矩對(duì)時(shí)間的積分稱為沖量矩。上式表示質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于外力的沖量矩，這就是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的積分形式。

不論角動(dòng)量定理的微分形式還是積分形式，都可以寫成分量形式。5.2.1質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理例5-1：討論行星運(yùn)動(dòng)性質(zhì)解：取太陽(yáng)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)太陽(yáng)和行星的質(zhì)量分別為m2，m1，利用第四章4.4.3節(jié)中引入的約化質(zhì)量μ=m1

m2/(m1+m2)，就可以將該參考系視為慣性系，則行星受到的力矩為M=r×F=0，故l=r×μv=不變量，或掠面速度S=r×v/2=不變量。故有：行星軌道是一條平面曲線。（因S的方向不變）行星與太陽(yáng)的連線單位時(shí)間掃過(guò)的面積為常量。（因S的大小不變）5.2.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理設(shè)體系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)。令分別表示體系內(nèi)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和所受的外力矩表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力產(chǎn)生的力矩5.2.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理用ri×(5.2.5)的第i個(gè)方程，得：由牛頓第三定律知：于是可得：將(5.2.6)式對(duì)求和，并利用(5.2.7)式可得：令：則L為體系的總角動(dòng)量，M為體系所受的總外力矩。于是(5.2-9)為：5.2.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)給定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用在體系上所有外力對(duì)該點(diǎn)力矩之和。這就是體系角動(dòng)量定理的微分形式。對(duì)(5.2.10)式積分，可得體系角動(dòng)量定理的積分形式：

體系角動(dòng)量定理指出：只有外力矩才對(duì)體系的角動(dòng)量變化有貢獻(xiàn)。內(nèi)力矩對(duì)體系的角動(dòng)量變化無(wú)貢獻(xiàn)，但對(duì)角動(dòng)量在體系內(nèi)的分配是有作用的。

角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)外力對(duì)給定點(diǎn)的總外力矩之和為零時(shí)，體系的角動(dòng)量守恒。幾點(diǎn)說(shuō)明：

關(guān)于總外力矩M=0的三種不同情況：對(duì)孤立體系，體系不受外力作用Fi=0，當(dāng)然有總外力矩M=0。但一般講來(lái)，當(dāng)體系受外力作用時(shí)，即使外力的矢量和為零，外力矩的矢量和未必為零，力偶就是這種情況。所有的外力通過(guò)定點(diǎn)，關(guān)于該點(diǎn)每個(gè)外力的力矩皆為零，因而總外力矩M=0，但體系所受外力的矢量和未必為零。每個(gè)外力的力矩不為零，但總外力矩M=0。如重力場(chǎng)中重力對(duì)質(zhì)心的力矩。幾點(diǎn)說(shuō)明：

角動(dòng)量守恒定律是一個(gè)獨(dú)立的規(guī)律，并不包含在動(dòng)量守恒定律或能量守恒定律中。角動(dòng)量守恒定律是矢量式，它有三個(gè)分量，各分量可以分別守恒。

當(dāng)Mx=0，則Lx=常量；

當(dāng)My=0，則Ly=常量；

當(dāng)Mz=0，則Lz=常量；幾點(diǎn)說(shuō)明：

4.角動(dòng)量守恒定律可以解釋星系的圓盤形結(jié)構(gòu)。

我們知道，銀河系呈扁平的圓盤形結(jié)構(gòu)。觀察表明，還有許多星系也呈圓盤形。這可能與角動(dòng)量守恒有關(guān)。銀河系最初可能是球形的，由于某種原因（如與其它星系的相互作用）而具有一定的角動(dòng)量。正是這個(gè)角動(dòng)量的存在，使球形的銀河系不會(huì)在引力作用下凝聚（坍縮）成一團(tuán)，而只能形成具有一定半徑的圓盤形結(jié)構(gòu)。這是因?yàn)樵谀圻^(guò)程中，角動(dòng)量守恒（r2ω=常量）要求轉(zhuǎn)速隨r的減小而增大ω∝r

-2，因而使離心力增大（離心力∝v2/r=rω2∝r-3），它往往比引力增大（引力∝r-2）得更快，最終引力會(huì)和離心力相互平衡，即角動(dòng)量守恒限制了星系在垂直于轉(zhuǎn)軸方向的進(jìn)一步坍縮。但角動(dòng)量守恒并不妨礙星系沿轉(zhuǎn)軸方向的坍縮，因?yàn)閷?duì)這種坍縮，角動(dòng)量守恒不要求增加轉(zhuǎn)速。故星系最終坍縮成圓盤狀，在沿軸向坍縮過(guò)程中減少的引力勢(shì)能將以輻射的形式釋放掉。5.2.3角動(dòng)量守恒定律與空間各向同性

如第四章4.7.3節(jié)里一樣，我們?nèi)钥紤]一對(duì)粒子A和B。固定B，將A沿以B為圓心的圓弧⊿s移動(dòng)到A/（如圖5.4），從而相互作用勢(shì)能改變：

空間各向同性意味著，兩粒子之間的相互作用勢(shì)能只與它們的距離有關(guān)，與二者之間聯(lián)線在空間的取向無(wú)關(guān)。所以上述操作不應(yīng)改變它們之間的勢(shì)能，從而⊿V=0，即相互作用力的切向分量：或者說(shuō)，“兩粒子之間的相互作用力沿二者的聯(lián)線”。這說(shuō)法與“角動(dòng)量守恒”是等價(jià)的。于是，我們從空間的各向同性推出了角動(dòng)量守恒定律。5.3.1質(zhì)心系的角動(dòng)量定理5.3.2體系的角量與質(zhì)心的角動(dòng)量

§5.3質(zhì)心系的角動(dòng)量定理§5.3質(zhì)心系的角動(dòng)量定理5.3.1質(zhì)心系的角動(dòng)量定理

由于角動(dòng)量定理的推導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)用了牛頓定律，所以角動(dòng)量定理在慣性系中才成立。當(dāng)在質(zhì)心系中考慮體系相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化時(shí)，質(zhì)心是固定點(diǎn)。如果質(zhì)心系是慣性系，角動(dòng)量定理當(dāng)然適用。如果質(zhì)心系是非慣性系，只要加上慣性力，牛頓定律仍然成立。因此只要加上慣性力的力矩，角動(dòng)量守恒定理也仍然成立。5.3.1質(zhì)心系的角動(dòng)量定理

設(shè)LC為質(zhì)心系中體系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量，MC為外力對(duì)質(zhì)心的力矩，MC慣為慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩。則有：

由于質(zhì)心系是平動(dòng)系，作用在各質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與質(zhì)量成正比，方向與質(zhì)心加速度相反，對(duì)質(zhì)心的力矩為：即：不論質(zhì)心系是慣性系還是非慣性系，在質(zhì)心系中，角動(dòng)量定理仍然適用。

5.3.1質(zhì)心系的角動(dòng)量定理

在這里我們?cè)僖淮慰吹劫|(zhì)心系的獨(dú)特優(yōu)越性。行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，把太陽(yáng)看成靜止是一種近似。利用第四章4.4.3節(jié)的約化質(zhì)量雖然精確，但是只能處理兩體問(wèn)題。對(duì)于多體問(wèn)題，當(dāng)行星的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量相比不能忽略，或者我們求解問(wèn)題要求高精度時(shí)，都應(yīng)該考慮太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，在這種情況下用質(zhì)心系就能顯示其優(yōu)點(diǎn)了。5.3.2體系的角量與質(zhì)心的角動(dòng)量

雖然在質(zhì)心系中角動(dòng)量定理仍然適用，但體系在質(zhì)心系中相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量與體系在慣性系中相對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量并不相同。這一點(diǎn)應(yīng)該是肯定的，因?yàn)榧词乖趹T性系中相對(duì)不同的點(diǎn)的角動(dòng)量都不相同，何況質(zhì)心往往還是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)。5.3.2體系的角量與質(zhì)心的角動(dòng)量

設(shè)在慣性系K中，體系相對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng)。在質(zhì)心系KC中，體系相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量為L(zhǎng)C，則有：令：稱為質(zhì)心角動(dòng)量稱為體系相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量則有：即：體系的角動(dòng)量等于質(zhì)心的角動(dòng)量與體系相對(duì)于質(zhì)心的角動(dòng)量之和?！?.4萬(wàn)有引力

在西方，一些物理學(xué)家提出這樣的問(wèn)題：如果一個(gè)人未讀過(guò)莎士比亞的著作，會(huì)被人認(rèn)為沒(méi)有教養(yǎng)；但是一個(gè)人不知道牛頓、愛(ài)因斯坦的理論，卻不被看做沒(méi)有文化。這不奇怪嗎？于是他們仿照“藝術(shù)欣賞”、“歌劇欣賞”那樣，在大學(xué)文科開(kāi)設(shè)起“科學(xué)欣賞”、“物理欣賞”課來(lái)。

在我國(guó)，情況可能更是這樣。在一般人心目中，物理是那樣枯燥，那樣難懂，難道還有什么可欣賞的？其實(shí)物理學(xué)是優(yōu)美的，它的美表現(xiàn)在基本物理規(guī)律的簡(jiǎn)潔和普適性。然而這些規(guī)律的外在表現(xiàn)（各種物理現(xiàn)象）卻往往非常復(fù)雜。物理學(xué)的規(guī)律是有層次的，層次越深，則規(guī)律越基本，就越簡(jiǎn)單，其適用性也越廣泛，但也越不容易被揭示出來(lái)。

物理學(xué)的簡(jiǎn)潔性是隱蔽的，它所具有的是深?yuàn)W而含蓄的內(nèi)在美。不懂得它的語(yǔ)言，是很難領(lǐng)會(huì)到的。天文學(xué)先于物理學(xué)，事實(shí)上物理學(xué)的發(fā)端始于對(duì)理解星體運(yùn)行的追求。萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)堪稱一部逐步揭示物理規(guī)律簡(jiǎn)潔美的壯麗史詩(shī)，讓我們從開(kāi)普勒談起。

5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律5.4.2牛頓的理論5.4.3引力的線性疊加性§5.4萬(wàn)有引力5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律

在牛頓之前，人類研究得最多也最清楚的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象就是行星的運(yùn)行。肉限可以看到五顆行星：水、金、火、木、土。對(duì)這五顆行星的運(yùn)動(dòng)有過(guò)長(zhǎng)期的觀察，特別是丹麥天文學(xué)家第谷（TyehoBrahe,1546~1601）連續(xù)進(jìn)行了二十年的仔細(xì)觀測(cè)、記錄，他的學(xué)生開(kāi)普勒（KeplerJohamnes,1571~1630）則花費(fèi)了大約二十年的時(shí)間分析這些數(shù)據(jù)。開(kāi)普勒前后總結(jié)出三條行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：所有行星都沿著橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)則位于這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這稱為軌道定律。任何行星到太陽(yáng)的連線在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相同的面積。這稱為面積定律。任何行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期的平方與該行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比，即：T∝r3/2(式中，T是行星運(yùn)動(dòng)的周期；r是橢圓軌道的半長(zhǎng)軸。這稱為周期定律。5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律

開(kāi)普勒本人在得到上述的行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律之后，也曾企圖尋找運(yùn)動(dòng)的原因，來(lái)解釋行星運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。但是他并不著眼于力，而是著眼于對(duì)稱性。開(kāi)普勒首先要解釋各行星半長(zhǎng)軸為什么取某些特定值。他認(rèn)為這是宇宙的對(duì)稱和和諧的表現(xiàn)。他設(shè)計(jì)了一個(gè)由正多面體構(gòu)成的宇宙。5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律如圖5.5所示，土星的軌道在最外的一個(gè)大圓上；

在該球內(nèi)作一內(nèi)接的正六面體，木星軌道在該六面體的內(nèi)切球面上；

在這球內(nèi)再作一正四面體，火星軌道則在該四面體的內(nèi)切球面上；相繼地，再在這球面內(nèi)作一內(nèi)接正十二面體，地球軌道在這十二面體的內(nèi)切球面上；

再繼續(xù)作一內(nèi)接的正二十面體，金星軌道就在二十面體的內(nèi)切球面上；

最后，作內(nèi)接的正八面體，其內(nèi)切球面就是水星的軌道所在之處。

5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律

我們知道，正多面體的種類是不多的，只有5種，所以開(kāi)普勒相信行星只有6顆，用上述的一系列正多面體的套裝，開(kāi)普勒能給出符合觀測(cè)的行星軌道半徑之間的比例（只是水星和木星的情況有顯著的偏差），不能不說(shuō)這是一個(gè)很有意義的嘗試。

雖然現(xiàn)在已經(jīng)證明，開(kāi)普勒的解釋并不正確，但是這個(gè)事例告訴我們，“從運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象去研究對(duì)稱性”確是一種有價(jià)值的方法。在一些現(xiàn)代物理的研究中往往是首先著眼于對(duì)稱性的。

5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律

開(kāi)普勒獲此結(jié)果欣喜若狂，他不加掩飾他說(shuō)：“十六年了，我立志要探索一件事，所以我和第谷結(jié)合起來(lái)，……我終于走向光明，認(rèn)識(shí)到的真理遠(yuǎn)超出我最熱切的期望。如今木已成舟，書已完稿。至于是否現(xiàn)在就有讀者，抑或?qū)⒘舸笫?？正像上帝已等了觀察者六千多年那樣，我也許要整整等上一個(gè)世紀(jì)才會(huì)有讀者。對(duì)此我毫不在意。”

5.4.1開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律

把20余年里觀測(cè)的幾千個(gè)數(shù)據(jù)歸納成這樣簡(jiǎn)潔的幾條規(guī)律，開(kāi)普勒是應(yīng)該為此而感到自豪的。只是開(kāi)普勒尚不理解，他所發(fā)現(xiàn)的三大定律已傳達(dá)了重大的“天機(jī)”。

我們知道，角動(dòng)量正比于矢徑的掠面速度，開(kāi)普勒的面積定律意味著角動(dòng)量守恒，即行星受到的是有心力；而軌道定律告訴我們?cè)撚行牧橐?；至于力的大小，開(kāi)普勒的周期定律給出了定量的描述。

開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律蘊(yùn)涵著更為簡(jiǎn)潔、更為普遍的萬(wàn)有引力定律，其中的奧秘直到牛頓才被破譯出來(lái)。5.4.2牛頓的理論

牛頓在他的劃時(shí)代的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中寫道：我奉獻(xiàn)這一作品，作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，因?yàn)檎軐W(xué)的全部責(zé)任似乎在于——從運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象去研究自然界中的力，然后從這些力去說(shuō)明其他的現(xiàn)象。1.引力的表達(dá)式

由開(kāi)普勒軌道定律，為了簡(jiǎn)便，可把行星軌道看作圓形。這樣，根據(jù)面積定律，行星應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有向心加速度a=v2/r,其中v是行星的速率；r是圓軌道的半徑。根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：T∝r3/2，而v=2πr/T，故于是：其中m是行星的質(zhì)量。取比例系數(shù)為k，則得：顯然，k應(yīng)取決于太陽(yáng)的性質(zhì)。由此，牛頓得到第一個(gè)重要結(jié)果：如果太陽(yáng)引力是行星運(yùn)動(dòng)的原因，則這種力應(yīng)和的平方成反比。

1.引力的表達(dá)式

在牛頓之前，也有人提出過(guò)引力應(yīng)遵循平方反比律，但那并不是基于力的明確定義而得到的，只是一種猜測(cè)，或者是從幾何類比推出。在牛頓體系中，力具有定量的定義，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律及太陽(yáng)是行星運(yùn)動(dòng)原因的假設(shè)，平方反比律就是必然的結(jié)論了。2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

進(jìn)一步，牛頓認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的，即所有物體之間都存在這種引力作用，稱之為萬(wàn)有引力。這一步是關(guān)鍵性的。我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)，尋找各種不同運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一原因，是物理學(xué)的追求，引力的萬(wàn)有性就是基于這種統(tǒng)一觀的一種猜測(cè)。

如何來(lái)檢驗(yàn)這一猜測(cè)呢？既然引力是普適的，那么，地球和月亮之間也應(yīng)當(dāng)存在這類力，月亮之所以繞地球運(yùn)動(dòng)，應(yīng)當(dāng)是地球施于月亮的吸引力，就象太陽(yáng)有吸引行星的力那樣。2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

地球?qū)υ铝恋奈?yīng)為：其中r月為月亮繞地球公轉(zhuǎn)的半徑，m月為月球的質(zhì)量，k地應(yīng)取決于地球的性質(zhì)。地球?qū)υ铝恋奈μ峁┝嗽铝晾@地球公轉(zhuǎn)所需的向心力，即：其中，v月為月球的公轉(zhuǎn)速度，T為月亮繞地球的公轉(zhuǎn)周期（交點(diǎn)月）。而對(duì)于地面上的物體，所受到的引力應(yīng)為：其中，m是物體的質(zhì)量，R是地球半徑，于是得：2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

于是得：即：該式就是從引力普適性得出的預(yù)言。在這個(gè)關(guān)系式中，所有量都是可測(cè)量的，因此，可以用實(shí)驗(yàn)加以檢驗(yàn)。2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

其中有關(guān)量的數(shù)值為：R=6400千米，g=9.8米/秒2，T=27天7小時(shí)43分或27.3215天，r月=384000千米，這些測(cè)量結(jié)果能很好地滿足該式，這就驗(yàn)證了萬(wàn)有引力假設(shè)的正確性。

早在1665年，牛頓就得到了該式，當(dāng)時(shí)的測(cè)量數(shù)據(jù)是：古希臘的天文學(xué)家伊巴谷（Hipparchus）通過(guò)觀測(cè)月全食持續(xù)的時(shí)間（即月球通過(guò)地球陰影的時(shí)間），相當(dāng)精確地估算出月亮與地球之間的距離是地球半徑的60倍；地球表面大圓弧上一度為60mile（1mile=1609.3米，這是當(dāng)時(shí)海員們通用的計(jì)算方法），得到地球半徑為3500mile，即5632公里；牛頓發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)并不滿足上式。因而，牛頓并沒(méi)有及時(shí)發(fā)表他的成果。2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

直到后來(lái)，天文學(xué)家重新測(cè)定了地球半徑，發(fā)現(xiàn)以前的觀測(cè)值錯(cuò)了。牛頓用新的數(shù)據(jù)再進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果完全符合(5.4.9)式。這可能是牛頓推遲于1685年發(fā)表他的萬(wàn)有引力理論的一個(gè)原因。

牛頓的上述論證說(shuō)明，地上物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與月亮運(yùn)動(dòng)的規(guī)律實(shí)質(zhì)上是一樣的。這個(gè)結(jié)果的意義很重大，它打破了亞里士多德關(guān)于天上運(yùn)動(dòng)和地面運(yùn)動(dòng)是本質(zhì)不同的兩類運(yùn)動(dòng)的基本觀念。按照牛頓的理論，天體運(yùn)動(dòng)與地面運(yùn)動(dòng)之間并無(wú)根本的差別，也沒(méi)有不可渡過(guò)的界限。

2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

牛頓曾描述過(guò)在高山頂上用大炮發(fā)射炮彈的運(yùn)動(dòng)情形，我們知道，炮彈作拋體運(yùn)動(dòng)。按牛頓理論，只要炮彈的初速度足夠大，炮彈就能繞地球運(yùn)動(dòng)，而不再落回地面，成為地球的衛(wèi)星。因此落體或拋體運(yùn)動(dòng)與地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)之間的差別，只不過(guò)是初速度不同。今天看來(lái)，這些結(jié)果已沒(méi)有什么希奇，因?yàn)橐呀?jīng)成功地發(fā)射了很多人造地球衛(wèi)星。但在三百多年前，就認(rèn)為原則上我們可制造天體那樣的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)非常大膽的想法。

上面的討論我們只利用了開(kāi)普勒的第二、第三定律，還應(yīng)當(dāng)證明萬(wàn)有引力定律(5.4-4)式也符合開(kāi)普勒的軌道定律。牛頓在1677年完成了這個(gè)證明，使萬(wàn)有引力理論形成了完整的體系。2.認(rèn)為這種引力是萬(wàn)有的、普適的、統(tǒng)一的

牛頓在他的小傳中，總結(jié)過(guò)自己這一段的工作，他說(shuō)：“在1665年開(kāi)始……我從開(kāi)普勒關(guān)于行星的周期是和行星到軌道中心的距離的3/2次方成比例的定律，推出了使行星保持在它們的軌道上的力必定和它們與繞行中心之間的距離平方成反比；爾后，把使月球保持在它軌道上所需要的力和地球表面上的重力作了比較，并發(fā)現(xiàn)它們近似相同。所有這些發(fā)現(xiàn)都是在1665和1666的鼠疫年代里作出來(lái)的……最后在1676和1677年之間的冬季，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)命題，那就是——一個(gè)行星必然要作一個(gè)橢圓形的運(yùn)動(dòng)，力心在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，同時(shí)，它所掃過(guò)的面積（從力心算起）的大小和所用的時(shí)間成正比?！睆倪@個(gè)總結(jié)中，我們可以看到，“從運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象研究力，再?gòu)牧θフf(shuō)明其它現(xiàn)象”的完整過(guò)程。這種物理的研究方法一直沿用到今天。3.引力常數(shù)

利用萬(wàn)有引力的普適性，可以確定(5.4.5)式中的k地值。由(5.4.5)，地球?qū)υ铝恋囊椋和?，由萬(wàn)有引力的普適性，月亮對(duì)地球的引力應(yīng)為：其中m地為地球的質(zhì)量，k月是和月亮有關(guān)的常數(shù)。根據(jù)牛頓第三定律由上兩式得：3.引力常數(shù)上式左邊只與地球有關(guān)，而右邊只與月亮有關(guān)，且兩邊相等，故其值是一個(gè)與地球和月亮都無(wú)關(guān)的普適常數(shù)，設(shè)其為G，有：于是地月之間引力為：3.引力常數(shù)

普適的萬(wàn)有引力定律：任何具有質(zhì)量m1和m2、相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力，總是沿著兩質(zhì)點(diǎn)之間的連線方向，其引力的大小為：式中G是對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)都具有相同數(shù)值的常數(shù)，稱為萬(wàn)有引力常數(shù)。m1和m2稱為兩質(zhì)點(diǎn)的引力質(zhì)量。為了和引力質(zhì)量相區(qū)別，我們以前定義的質(zhì)量稱為慣性質(zhì)量。由上式可知G的量綱為：5.4.3引力的線性疊加性

我們知道，牛頓的萬(wàn)有引力定律(5.4.15)式是對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言的。而牛頓在發(fā)展引力理論的過(guò)程中，重要的一步是把月亮運(yùn)動(dòng)和地球上的落體運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，其關(guān)鍵的問(wèn)題是牛頓認(rèn)為地球表面落體運(yùn)動(dòng)的加速度可以寫成：其中R是地球半徑。這里有一個(gè)很大的疑問(wèn)，為什么能把地球看成質(zhì)點(diǎn)？牛頓一開(kāi)始就意識(shí)到這一點(diǎn)，后來(lái)，他給出了嚴(yán)格的證明。下面我們來(lái)討論多質(zhì)點(diǎn)體系的引力問(wèn)題。5.4.3引力的線性疊加性

如圖5.6所示，在原點(diǎn)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，空間分布著質(zhì)量分別為m1，m2，……，mn的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的體系，它們的位置矢徑分別為r1，r2，……，rn，則我們認(rèn)為該體系對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可以寫成：這在本質(zhì)上是認(rèn)為兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力作用只與這兩質(zhì)點(diǎn)有關(guān)，而與第三者、第四者等等是否存在毫無(wú)關(guān)系，可以不加顧及。5.4.3引力的線性疊加性

這個(gè)新的物理內(nèi)容是引力的一個(gè)重要性質(zhì)，我們稱之為引力的線性迭加性。于是我們引入的新假定為：兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小與是否存在其它質(zhì)點(diǎn)無(wú)關(guān)。（即只有兩體作用，沒(méi)有多體作用）

并不是所有的力都有這種性質(zhì)，譬如，強(qiáng)相互作用就沒(méi)有這種性質(zhì)。

做了上述的推廣，就可以來(lái)討論牛頓所遇到的問(wèn)題了。5.4.3引力的線性疊加性

考慮一密度均勻的球殼，如圖5.7，它的厚度t比它的半徑r小得多。我們要求出它對(duì)球殼外一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P的引力。

可以把球殼看成許多小塊的集合，每個(gè)小塊在點(diǎn)P上都有作用力，這力的大小應(yīng)當(dāng)與該小塊的質(zhì)量成正比，而與它和P點(diǎn)之間的距離的平方成反比，方向沿著它們之間的連線。然后，我們?cè)偾笄驓ど纤胁糠謱?duì)P點(diǎn)的合力。5.4.3引力的線性疊加性

設(shè)在球殼A點(diǎn)處的一小塊對(duì)m的引力為F1，由球殼的對(duì)稱性，我們可以找到與A相對(duì)稱的點(diǎn)B，該處的一小塊對(duì)的引力為F2。由于對(duì)稱，故F1與F2這兩個(gè)力的豎直分量彼此抵消，而水平分量F1cosα與F1cosα相等。通過(guò)把球殼分為這樣一對(duì)一對(duì)的小塊，我們立刻可以看出，所有作用在m上的力的豎直分量都成對(duì)地相互抵消了。

為了求出球殼對(duì)m的合引力，我們只需考慮水平分量。

5.4.3引力的線性疊加性這就是環(huán)帶上的物質(zhì)作用在質(zhì)點(diǎn)m上的引力。而整個(gè)球殼的作用為上式對(duì)所有環(huán)帶求和，即對(duì)x從最小值到最大值積分。1.R>r，即m在球外，x的變化范圍是：由于：得：該結(jié)果表明，一個(gè)密度均勻的球殼對(duì)球殼外一質(zhì)點(diǎn)的引力，等效于它的所有質(zhì)量都集中于它的中心時(shí)的引力。5.4.3引力的線性疊加性2.R<r，即m在球內(nèi)，x的變化范圍是：由于：得：該結(jié)果表明，一個(gè)密度均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零！

為什么會(huì)有這樣的結(jié)果？其原因恰恰是因?yàn)橐εc兩質(zhì)點(diǎn)之間距離的反平方關(guān)系。5.4.3引力的線性疊加性一個(gè)密度均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零！

這個(gè)結(jié)果有很大的意義。若假設(shè)星際間星球分布均勻，各向同性。則考慮太陽(yáng)系內(nèi)情況時(shí)，來(lái)自太陽(yáng)系外的引力可以不予考慮。否則難以解釋為什么可以忽略無(wú)限多的星體在局部范圍的引力效應(yīng)。

現(xiàn)代天文觀測(cè)的確已逐步證明，宇宙在大尺度的物質(zhì)分布是相當(dāng)均勻的。討論：

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，之所以有上述這些結(jié)果，是我們用了引力的迭加性和引力的距離平方反比律。因此上述結(jié)果對(duì)其他類型的力就不一定成立。

一個(gè)實(shí)心球體可當(dāng)作由大量同心球殼所構(gòu)成。如果各層球殼具有不同密度，但每一球殼都具有均勻密度，則同樣的論證也適用于這種實(shí)心球體。因此，對(duì)于象地球、月球或太陽(yáng)這類近似于球體的天體來(lái)說(shuō)，在討論它們的吸引力時(shí)，就可以把它們當(dāng)作質(zhì)量集中在球心的質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。其實(shí)，地球并不是標(biāo)準(zhǔn)的球體，而是有點(diǎn)象梨的形狀，“梨”的較小一端在北半球。因此，(5.4-17)式是不嚴(yán)格的。若考慮地球的真實(shí)形狀，引力表達(dá)式將非常復(fù)雜。譬如，在地球附近運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星，明顯地偏離了開(kāi)普勒定律所描述的軌道。實(shí)際上，現(xiàn)代的研究正是利用了這一點(diǎn)。我們是反過(guò)來(lái)，由人造地球衛(wèi)星實(shí)際軌道對(duì)開(kāi)普勒定律的偏離，來(lái)研究地球的形狀和質(zhì)量的分布。5.5.1G的測(cè)定5.5.2引力的幾何性5.5.3逃逸速度5.5.4引力是什么

§5.5關(guān)于萬(wàn)有引力的討論5.5.1G的測(cè)定1798年，即牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定律之后111年，英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許（HenryCavendish，1731~1810）對(duì)做了第一次精確的測(cè)量，他所用的是扭秤裝置，如圖5.9所示，兩個(gè)質(zhì)量均為的直徑5厘米的小鉛球被固定在輕桿的兩端，用一根系在桿的中點(diǎn)的極細(xì)石英絲把桿沿水平方向懸掛起來(lái)，細(xì)絲上固定著一面小鏡子。

小鉛球的附近對(duì)稱地安放著兩個(gè)質(zhì)量為的直徑30厘米的大鉛球，這兩對(duì)大質(zhì)量和小質(zhì)量之間的引力使桿在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)石英絲的扭轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力矩恰好與引力力矩平衡時(shí)，桿就停在一個(gè)平衡方向上，反射光把微小的角偏轉(zhuǎn)放大為光點(diǎn)相當(dāng)大的位移。5.5.1G的測(cè)定

根據(jù)石英絲扭轉(zhuǎn)的角度可以測(cè)出力的強(qiáng)度，從而測(cè)定了萬(wàn)有引力常數(shù)的數(shù)值為G=6.754×10-11米3

/千克·秒2。他的實(shí)驗(yàn)如此精巧，在八九十年間竟無(wú)人超過(guò)他的測(cè)量精度。

萬(wàn)有引力常數(shù)是目前測(cè)得最不精確的一個(gè)基本物理常量，因?yàn)橐μ?，又不能屏蔽它的干擾，實(shí)驗(yàn)很難做。1969年Rose測(cè)得的結(jié)果為G=6.674×10-11米3/千克·秒2。

國(guó)際科學(xué)聯(lián)盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員會(huì)1986年推薦的數(shù)值為：其不確定度為128ppm（百萬(wàn)分之128，即萬(wàn)分之1.28）。5.5.1G的測(cè)定

卡文迪許把自己的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成“稱地球的重量”，這是不無(wú)道理的（用現(xiàn)代物理教學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖盅?，?yīng)該說(shuō)是“測(cè)量地球的質(zhì)量”），因?yàn)橛?5.4.8)式和(5.4.13)式可得：知道G的數(shù)值后，利用地球半徑以及g

的數(shù)值即可算出地球的質(zhì)量和地球的平均密度：5.5.1G的測(cè)定

在地球上的實(shí)驗(yàn)室里測(cè)量幾個(gè)鉛球之間的相互作用力，就可以稱量地球，這不能不說(shuō)是個(gè)奇跡。其中的思想基礎(chǔ)和牛頓的月地檢驗(yàn)是一致的，即相信天上人間服從共同的規(guī)律，引力常數(shù)的數(shù)值都是一樣的。要知道，在那個(gè)時(shí)代人們并不以為這一點(diǎn)很顯然。

有了G的數(shù)值，我們可以用同樣的道理去“稱太陽(yáng)的重量”（即計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量）。例如在(5.4.17)式中，若g是地球公轉(zhuǎn)的向心加速度，R是太陽(yáng)與地球之間的距離，則所求得的就是太陽(yáng)的質(zhì)量。5.5.2引力的幾何性

若用m引和m慣分別表示一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)得出：1890年實(shí)驗(yàn)精度為10-8，1971年實(shí)驗(yàn)精度為10-11。當(dāng)然在m引和m慣取了合適的單位時(shí)，可以讓該普適常數(shù)為1。即當(dāng)我們用(5.5.1)式定義G時(shí)，相當(dāng)于認(rèn)為該式具有深刻的物理意義，我們來(lái)作些探討。由于該式成立，下面我們不再區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量，僅用m表示。5.5.2引力的幾何性

考慮質(zhì)點(diǎn)m在M的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，如圖5.10，設(shè)M位于原點(diǎn)，m的矢徑為r，由運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律可得運(yùn)動(dòng)方程為：即：式中不含有運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量！于是我們得到結(jié)論：在引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與其質(zhì)量無(wú)關(guān)。5.5.2引力的幾何性

在引力場(chǎng)中的任何物體，不管其質(zhì)料和質(zhì)量如何，均具有相同的加速度，當(dāng)初始位置和初始速度相同的情況下，必有相同的運(yùn)動(dòng)，包括空間軌道。

因此，在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，變成與動(dòng)力學(xué)性質(zhì)（物性）無(wú)關(guān)，純屬時(shí)空中的幾何問(wèn)題。

于是，零質(zhì)量物體也會(huì)受到引力作用，因而光在引力場(chǎng)中傳播也會(huì)彎曲（廣義相對(duì)論的結(jié)論）。

引力場(chǎng)的幾何性是其它力場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)）沒(méi)有的，愛(ài)因斯坦把引力場(chǎng)的這一性質(zhì)看成是純粹的時(shí)空幾何屬性，廣義相對(duì)論就是引力場(chǎng)的幾何理論。5.5.3逃逸速度

在引力場(chǎng)中質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能為零時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)可以運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處。若質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)量為M，半徑為R的星體表面，則機(jī)械能為零時(shí)應(yīng)有：此時(shí)質(zhì)點(diǎn)m的速度稱為逃逸速度，用v逃

表示，由上式有：5.5.3逃逸速度星球表面逃逸速度的不同，星球的性質(zhì)會(huì)有很大的不同。1.行星表面的逃逸速度如果太小，則不可能有大氣。水星：M=0.056M地,R=0.38R地,v逃

=4.3km/s,無(wú)大氣；金星：M=0.82M地,R=0.95R地,v逃

=10.4km/s,90大氣壓；地球：M=M地,R=R地,v逃

=11.2km/s,1大氣壓；火星：M=0.108M地,R=0.53R地,v逃

=5.06km/s,0.008大氣壓；月球：M=0.012M地,R=0.27R地,v逃

=2.4km/s,無(wú)大氣；星球表面的逃逸速度如果太大，以致于達(dá)到光速，則稱為黑洞。5.5.3逃逸速度

大約200年前，法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯于1796年曾預(yù)言：“一個(gè)密度如地球而直徑為太陽(yáng)250倍的發(fā)光恒星，由于其引力作用，將不容許任何光線離開(kāi)它。由于這個(gè)原因，宇宙中最大的發(fā)光物體也不會(huì)被我們發(fā)現(xiàn)。”拉普拉斯的思想可以理解為在這個(gè)天體上，v逃

=c（光速）。將此式代入(5.5.7)式可得天體的半徑為：RS叫做天體的引力半徑或史瓦西(Schwarzchild)半徑。5.5.3逃逸速度

拉普拉斯的預(yù)言并未受到人們的重視，漸漸也就被淡忘了?，F(xiàn)在我們知道，按照狹義相對(duì)論，一切物體的速度都不能超過(guò)光速c，當(dāng)v逃

=c時(shí)，任何物體都逃脫不掉。由廣義相對(duì)論知，光子也要受到引力的作用，在這樣的天體上就連光也傳播不出來(lái)。這種奇怪的天體就是廣義相對(duì)論所預(yù)言的“黑洞”。5.5.4引力是什么

牛頓萬(wàn)有引力定律的偉大意義不僅在于定律本身在以后年代里所起的作用，而且給人類對(duì)其它自然現(xiàn)象的理解指出了希望。然而，萬(wàn)有引力的物理機(jī)制是什么？牛頓沒(méi)有給出任何說(shuō)明，從那以后也沒(méi)有人提出過(guò)正確的機(jī)制，盡管有人試圖這樣做，最終均以失敗告終，事實(shí)上，物理定律的抽象性質(zhì)是其固有的特征，能量守恒是這樣，力學(xué)中的其它重要定律也是這樣，它們僅僅是一些數(shù)學(xué)定律，無(wú)法給出起作用的機(jī)制。不過(guò)由這些定律出發(fā)我們能夠發(fā)現(xiàn)更多的東西。1.引力和慣性具有相同的起因

在牛頓的經(jīng)典物理學(xué)中，引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，都是時(shí)空的性質(zhì)，因而可以認(rèn)為：引力和慣性具有相同的起因。愛(ài)因斯坦正是利用這一點(diǎn)提出了他的廣義相對(duì)論。

引力和慣性力都是萬(wàn)有的，引力只與引力質(zhì)量有關(guān)，慣性力只與慣性質(zhì)量有關(guān)。它們與物質(zhì)的其它特性（如電荷、磁荷）均無(wú)關(guān)。引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的嚴(yán)格相等暗示我們，這兩種質(zhì)量是同一個(gè)東西。馬赫原理與等效原理又告訴我們，引力與慣性力本質(zhì)上相同。等效原理還進(jìn)一步告訴我們，當(dāng)只有引力場(chǎng)與慣性場(chǎng)存在時(shí)，任何質(zhì)點(diǎn)，不論質(zhì)量大小，在時(shí)空中都會(huì)描出同樣的曲線。

這就是說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)在純引力和慣性力作用下的運(yùn)動(dòng)，與它的質(zhì)量無(wú)關(guān)。1.引力和慣性具有相同的起因

于是，愛(ài)因斯坦推測(cè)，引力效應(yīng)可能是一種幾何效應(yīng)。萬(wàn)有引力不是一般的力，而是時(shí)空彎曲的表現(xiàn)。由于引力和慣性起源于質(zhì)量，愛(ài)因斯坦認(rèn)為時(shí)空彎曲起源于物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)。

這里所說(shuō)的彎曲空間是與我們所熟知的平直空間相對(duì)應(yīng)的。平直時(shí)空是用歐幾里得幾何描述的，直線在其中占有重要地位。它是兩點(diǎn)間的最短線。我們知道，物理上若要給出“直線”的定義，必須同時(shí)給出測(cè)量方法。按照牛頓定律，我們不妨認(rèn)為，自由質(zhì)點(diǎn)沿“直線”作慣性勻速運(yùn)動(dòng)。或者更一般地，光線沿“直線”以光速運(yùn)動(dòng)。由上述引力的幾何性可知，光線在引力場(chǎng)中會(huì)彎曲，這實(shí)際上是時(shí)空的彎曲。彎曲時(shí)空中一般不存在直線，但是，兩點(diǎn)間會(huì)有最短線或最長(zhǎng)線，統(tǒng)稱短程線或測(cè)地線。1.引力和慣性具有相同的起因

伽利略認(rèn)為慣性運(yùn)動(dòng)是一種自由運(yùn)動(dòng)。靜止和勻速直線運(yùn)動(dòng)均屬于慣性運(yùn)動(dòng)。這一觀點(diǎn)毫無(wú)疑問(wèn)是正確的。但伽利略又認(rèn)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)也屬于慣性運(yùn)動(dòng)。行星之所以能圍繞太陽(yáng)不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，就是因?yàn)樾行堑倪\(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而也就是不需要外力的慣性運(yùn)動(dòng)。長(zhǎng)期以來(lái)，人們一直認(rèn)為這是伽利略的一個(gè)失誤。然而從廣義相對(duì)論的角度看，伽利略把行星繞日運(yùn)動(dòng)看作慣性運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)其實(shí)是正確的。

愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論認(rèn)為，萬(wàn)有引力不是真正的力，而是時(shí)空彎曲的表現(xiàn)。

1.引力和慣性具有相同的起因

行星繞日運(yùn)動(dòng)，就是彎曲時(shí)空中的自由運(yùn)動(dòng)（即慣性運(yùn)動(dòng)）。它們?cè)谒木S時(shí)空中描出的軌道是測(cè)地線（即短程線）。測(cè)地線就是直線在彎曲時(shí)空中的推廣，或者說(shuō)測(cè)地線就是廣義的“直線”。這種彎曲由物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)造成。質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上是一種沒(méi)有受到力的慣性運(yùn)動(dòng)。

在平直時(shí)空中，慣性運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)。彎曲時(shí)空中沒(méi)有直線，但有短程線。愛(ài)因斯坦認(rèn)為，質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，既然是彎曲時(shí)空中的慣性運(yùn)動(dòng)，就應(yīng)沿彎曲時(shí)空中的“直線”（短程線）進(jìn)行。廣義相對(duì)論的基本方程有兩個(gè)，一個(gè)是描述物質(zhì)如何造成時(shí)空彎曲的，稱為場(chǎng)方程；另一個(gè)是描述質(zhì)點(diǎn)如何在彎曲時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的，稱為運(yùn)動(dòng)方程。

1.引力和慣性具有相同的起因

物質(zhì)告訴時(shí)空：如何彎曲時(shí)空告訴物質(zhì)：如何運(yùn)動(dòng)2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

引力如此之弱，是四種基本相互作用中最弱者，但是在天文學(xué)和天體物理領(lǐng)域里引力作用起著主導(dǎo)作用。萬(wàn)有引力和電磁力均屬長(zhǎng)程作用，但由于致密混和物中存在的電磁相互作用是那樣完善地被抵消，總是試圖保持正與負(fù)的電荷最細(xì)致的平衡。這個(gè)事實(shí)一方面使物質(zhì)擁有很大的強(qiáng)度和硬度，另一方面作為物質(zhì)的星體之間的電磁作用力已被降至極其微弱的程度，萬(wàn)有引力變成主宰天體運(yùn)動(dòng)的決定性因素。2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

一個(gè)星體（例如恒星），由于自身引力作用，將收縮呈球狀，同時(shí)引力勢(shì)能將轉(zhuǎn)變成熱能使其溫度升高。溫度升高最終導(dǎo)致恒星核心區(qū)域的熱核聚變，當(dāng)物質(zhì)粒子熱運(yùn)動(dòng)的壓力抗衡引力達(dá)平衡時(shí)收縮停止，粒子熱運(yùn)動(dòng)的能量來(lái)自恒星的熱核聚變。

當(dāng)恒星中心部分的氫全部燃燒掉之后，恒星中部的熱核反應(yīng)就停止了，這時(shí)萬(wàn)有引力戰(zhàn)勝了熱排斥，星體開(kāi)始收縮。由于恒星表面的溫度遠(yuǎn)低于中心部分（例如太陽(yáng)中心部分溫度為1500萬(wàn)度，而表面溫度只有6000度），那里還不曾發(fā)生過(guò)氫合成氦的熱核反應(yīng)。這時(shí)，隨著星體的塌縮，恒星外層的溫度開(kāi)始升高，那里的氫開(kāi)始燃燒，這就導(dǎo)致恒星外殼的膨脹。2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

外殼的膨脹和中心部分的收縮同時(shí)進(jìn)行，中心部分在收縮中溫度升高到1億度，開(kāi)始點(diǎn)燃那里的氦，使之合成碳，再合成氧，這些熱核反應(yīng)短暫而猛烈，像爆炸一樣，稱為“氦閃”。這種過(guò)程大約經(jīng)歷100萬(wàn)年，在整個(gè)天體演化中，這是一個(gè)很短的“瞬間”。

此后幾億年中，恒星進(jìn)入一個(gè)短暫的平穩(wěn)期。當(dāng)中心部分的氦逐漸燃燒完之后，外層氫的燃燒不斷向更外部擴(kuò)展，星體膨脹得越來(lái)越大，膨脹到原來(lái)的10億倍。由于外殼離高溫的中心越來(lái)越遠(yuǎn)，恒星表面的溫度逐漸降低，從黃色變成紅色。由于體積巨大，這種紅色巨星看來(lái)很明亮，稱為紅巨星。2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

50億年后，我們的太陽(yáng)也將演化成這樣的紅巨星，膨脹的太陽(yáng)將逐步燃燒吞食掉水星、金星和地球。地球的軌道將被包在紅巨星之內(nèi)，海洋將全部沸騰蒸干，地球的殘骸將繼續(xù)在紅巨星內(nèi)部公轉(zhuǎn)，紅巨星外層氣體灼熱而稀薄，比我們實(shí)驗(yàn)室中所能得到的最好的真空還要空，所以地球仍能存在，并繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)然，生命已不可能在地球上生存。

2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

核能源進(jìn)一步枯竭之后，紅巨星將拋出一些氣體，形成“行星狀星云”。一般來(lái)說(shuō)，恒星在望遠(yuǎn)鏡中看是一個(gè)點(diǎn)，而行星離地球近，在望遠(yuǎn)鏡中呈現(xiàn)為一個(gè)圓面。所謂“行星狀星云”，實(shí)際上是恒星周圍的云狀物質(zhì)，在地球上用望遠(yuǎn)鏡看，像行星一樣是一個(gè)小圓面，其實(shí)與行星毫無(wú)關(guān)系。這個(gè)階段，紅巨星的中心部分將塌縮，形成小而高密、高溫的白矮星。白矮星溫度高，呈白色，體積小，因而亮度小。隨著熱核反應(yīng)的逐漸停止，白矮星將逐漸冷卻成為黑矮星，黑矮星是一顆比鉆石還要硬的巨大星體。白矮星冷卻成黑矮星的過(guò)程十分緩慢，可能需要100億年左右?？梢哉f(shuō)，在宇宙間，至今還沒(méi)有生成一顆黑矮星。2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

白矮星的質(zhì)量有一個(gè)上限，稱為錢德拉塞卡極限，它等于1.4倍的太陽(yáng)質(zhì)量。不存在大于該極限的白矮星。這是因?yàn)橘|(zhì)量超過(guò)錢德拉塞卡極限的星體在塌縮成白矮星時(shí)，內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)速度會(huì)接近光速，成為相對(duì)論電子氣。這時(shí)電子氣的簡(jiǎn)并壓強(qiáng)（即泡利不相容原理產(chǎn)生的排斥力）會(huì)減小，以至于抵抗不住星體自身的萬(wàn)有引力，星體將進(jìn)一步塌縮，電子將被壓人原子核中，與其中的質(zhì)子中和生成中子，成為中子星。中子星與白矮星有些類似，它不是靠熱排斥或電磁作用來(lái)抗衡引力，而是靠中子間的簡(jiǎn)并壓強(qiáng)（泡利斥力）來(lái)抗衡引力。2.引力在天體領(lǐng)域中的主導(dǎo)作用

中子星也有一個(gè)質(zhì)量上限，稱為奧本海默極限，大約為3～4倍的太陽(yáng)質(zhì)量。超過(guò)這一極限的中子星不穩(wěn)定，會(huì)進(jìn)一步塌縮形成黑洞。這顆星從此消失，沒(méi)有任何信息可以從它的內(nèi)部傳到外部世界。3.熱與引力

熱和引力是任何物質(zhì)都有的兩種最普遍的屬性。而且，只有這兩種屬性是任何物質(zhì)都有的，找不出第三種。電磁相互作用只出現(xiàn)在帶有電荷、磁荷的物體之間，強(qiáng)作用只出現(xiàn)在強(qiáng)子之間，弱作用也不是任何微觀粒子之間都存在。但是，萬(wàn)有引力是萬(wàn)有的，任何物質(zhì)都有。熱運(yùn)動(dòng)也是萬(wàn)有的，任何物質(zhì)都有。

萬(wàn)有引力不可屏蔽，熱運(yùn)動(dòng)也不可屏蔽，所謂的絕熱壁只不過(guò)是一種想象的東西。

恒星和星系之所以能夠存在，是靠著萬(wàn)有引力把物質(zhì)凝聚在一起，又靠著熱運(yùn)動(dòng)的排斥作用，而使物質(zhì)不至于在引力下無(wú)限制地塌縮。熱與引力，是維持恒星和星系生存的一對(duì)矛盾，一個(gè)起排斥作用，另一個(gè)起吸引作用，最后達(dá)到一定的平衡。

特別值得注意的是，當(dāng)通常的熱運(yùn)動(dòng)停止下來(lái)，星體只剩下萬(wàn)有引力的吸引作用而徹底塌縮時(shí)，形成的黑洞居然會(huì)有溫度出現(xiàn)，居然會(huì)有輻射產(chǎn)生。

3.熱與引力

可見(jiàn)，熱與引力具有深刻的本質(zhì)聯(lián)系。不能把引力與電磁力、強(qiáng)力、弱力等同看待，引力不是真正的力，它不僅是時(shí)空的彎曲，而且與熱不可分割。

物理學(xué)中有兩個(gè)特別值得注意的領(lǐng)域：一個(gè)是廣義相對(duì)論，一個(gè)是熱力學(xué)。3.熱與引力

除去廣義相對(duì)論之外的所有物理領(lǐng)域（包括熱力學(xué)），都把時(shí)空看作不依賴于物質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)的背景和舞臺(tái)。時(shí)空永遠(yuǎn)是平直的，像個(gè)空架子，不受物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的影響。所有物質(zhì)都在平直不變的時(shí)空背景下運(yùn)動(dòng)，展現(xiàn)自己的規(guī)律。只有廣義相對(duì)論，認(rèn)為時(shí)空背景不能脫離物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)。它們之間相互影響，物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)會(huì)使時(shí)空彎曲。換句話說(shuō)，只有廣義相對(duì)論中的時(shí)空是彎曲的，其它所有物理領(lǐng)域中的時(shí)空都是平直的。

3.熱與引力

另一方面，除去熱力學(xué)之外的所有物理領(lǐng)域（包括廣義相對(duì)論），都不認(rèn)為時(shí)間有方向，都是可逆的。時(shí)間反演成立的理論，都是絕對(duì)零度的理論。只有熱力學(xué)，它的第二定律顯示出時(shí)間箭頭，認(rèn)為時(shí)間有方向，認(rèn)為真實(shí)的物理過(guò)程應(yīng)該是不可逆的。它的第三定律告訴我們，真實(shí)的物理過(guò)程不應(yīng)該處在絕對(duì)零度。

這兩個(gè)具有鮮明特色的理論，其實(shí)存在著本質(zhì)的聯(lián)系。3.熱與引力

任何不考慮“熱”的引力研究都會(huì)碰到不可逾越的困難。廣義相對(duì)論中的奇點(diǎn)困難就是其中之一。廣義相對(duì)論的場(chǎng)方程本質(zhì)上是絕對(duì)零度的方程。在不考慮熱效應(yīng)的情況下，得出了奇點(diǎn)定理，導(dǎo)致了嚴(yán)重的奇點(diǎn)困難。廣義相對(duì)論中的另一個(gè)基本困難，引力場(chǎng)量子化的困難，也可能與不考慮“熱”有關(guān)。如果討論有限溫度下的引力理論，也許能同時(shí)克服奇點(diǎn)困難和引力場(chǎng)量子化中碰到的困難。3.熱與引力

另一方面，狹義相對(duì)論的熱力學(xué)理論至今存在問(wèn)題，更不用說(shuō)廣義相對(duì)論的熱力學(xué)了。一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的物體，與靜止的同種物體相比，其溫度升高。降低還是不變？現(xiàn)在居然有三種答案，而且誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí)。實(shí)際上，熱學(xué)理論至今未能納入相對(duì)論的框架。愛(ài)因斯坦在1905年之后，碰到了萬(wàn)有引力定律納不進(jìn)相對(duì)論框架的困難。今天我們碰到了類似的困難，并且也許是更大的困難。

3.熱與引力

在熱學(xué)中，把溫度每升高一度所需的熱量叫做物體的熱容量。研究結(jié)果表明，對(duì)于引力系統(tǒng)，需要減少能量來(lái)提高它的溫度，這就是說(shuō)，它的“熱容量”是負(fù)的。負(fù)熱容的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，它沒(méi)有平衡態(tài)。

一個(gè)通常的熱力學(xué)系統(tǒng)處在一種較冷的介質(zhì)中時(shí)會(huì)損失能量。它的溫度降低而介質(zhì)的溫度升高，直到實(shí)現(xiàn)平衡為止，我們說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)有正熱容。量子黑洞的行為則正相反，它失去能量時(shí)溫度升高，反之亦然。如果周圍介質(zhì)的溫度較高，黑洞就總是傾向于吸收能量，增大尺度，因而冷卻，直至所有可得到的能量都已被吸收為止。反過(guò)來(lái)，如果介質(zhì)溫度較低，它就輻射，減小尺度，直至蒸發(fā)和消散掉自己所有的能量為止。這就是說(shuō)，黑洞有著負(fù)熱容，因而它根本上是不穩(wěn)定的。3.熱與引力

所有平衡只依賴于引力的系統(tǒng)，不論是量子系統(tǒng)與否，都是不穩(wěn)定的。例如，在圍繞地球軌道上的人造衛(wèi)星會(huì)由于大氣摩擦而損失引力能，因而沿螺旋線緩慢地朝地球下落。在這個(gè)過(guò)程中其速度和動(dòng)能是增大的，所以它不能獲得一個(gè)穩(wěn)定軌道，最后只能墜落到地球上。

大家在后續(xù)的熱力學(xué)課程中會(huì)學(xué)到熱力學(xué)的第二定律，它的一個(gè)推論是“熱寂說(shuō)”，這是一個(gè)無(wú)論從理智上和感情上都令人難以接受的結(jié)論。在100多年里雖遭到許多物理上和哲學(xué)上的批判，但大多沒(méi)有擊中要害。現(xiàn)在我們清楚了，“熱寂說(shuō)”的要害是沒(méi)有充分考慮引力的作用，宇宙是個(gè)引力系統(tǒng)，根本沒(méi)有平衡態(tài)，從而熱力學(xué)的前提對(duì)宇宙從頭起就不適用。不過(guò)，對(duì)該問(wèn)題的深入探討已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了本課程的范圍?！?.6質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是常見(jiàn)的，如小物體在大物體的萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力或分子力等作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題都是質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，因?yàn)榇藭r(shí)力的中心（大物體）可近似視為固定。即使是一般的兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，只要它們遠(yuǎn)離其他物體，它們之間的作用力又沿著它們的連線，且僅與兩者間距離有關(guān)，它們的運(yùn)動(dòng)也可以利用約化質(zhì)量（參見(jiàn)第四章4.4.3節(jié)）化為單個(gè)物體在固定力心的有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。這樣的有心力稱為中心對(duì)稱有心力。當(dāng)f(r)>0時(shí)，F(xiàn)為斥力；f(r)<0時(shí)，F(xiàn)為引力，我們主要討論質(zhì)點(diǎn)在這種中心對(duì)稱有心力作用下的運(yùn)動(dòng)。為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以后我們講有心力，就是指中心對(duì)稱有心力。5.6.1研究有心力問(wèn)題的基本方程5.6.2有心力問(wèn)題的定性處理，有效勢(shì)能與軌道特征5.6.3有心力問(wèn)題的定量處理及軌道問(wèn)題

§5.6質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)5.6.1研究有心力問(wèn)題的基本方程

設(shè)物體（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量為m，在有心力F作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為：

由于有心力是保守力（參見(jiàn)第四章4.3節(jié)），故在有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般特征為：運(yùn)動(dòng)必定在一個(gè)平面上。（因?yàn)榻莿?dòng)量守恒或掠面速度守恒）質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。（因?yàn)楸Ｊ亓?chǎng)可以定義勢(shì)能）5.6.1研究有心力問(wèn)題的基本方程

顯然，討論質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，選平面極坐標(biāo)系比較方便。方程(5.6.3)沿徑向和橫向的分量式為：考慮其第二式，容易驗(yàn)證，它可以改寫成：上式實(shí)際上是角動(dòng)量守恒。這是因?yàn)椋毫睿浩渲衕是有物理意義的，它為質(zhì)點(diǎn)掠面速度的兩倍，當(dāng)然應(yīng)為常量5.6.1研究有心力問(wèn)題的基本方程角動(dòng)量守恒：將(5.6.10)式代入方程(5.6.4)，得：積分，得：其中U(r