角動量關于對稱課件

角動量?關于對稱性§5.1質點的角動量§5.2質點系的角動量定理和角動量守恒定律§5.3質點系對質心的角動量定理和守恒定律§5.4對稱性?

對稱性與守恒定律§5.5經(jīng)典動力學的適用范圍1§5.1質點的角動量（angularmomentumofaparticle）描述質點運動狀態(tài)的物理量：考慮到：也可用描述質點的運動狀態(tài)。但僅有這些參量還是不能完全描述質點的運動狀態(tài)的，還需要另一個物理量－－角動量，才能完整的描述質點的運動狀態(tài)。角動量及角動量守恒定律是本章的重點內(nèi)容。2

LmO

pr

·一.質點的角動量

質點m對固定點O的角動量定義為：方向由右手法則確定，大小由下式確定：式中θ為矢徑與質點動量之間夾角。3LR

m·O在直角坐標系下，角動量的分量式為：思考：4二.力矩FM

r·OQ

r0如圖所示，力作用于物體上的Q點處，物體繞過O點的軸線可以轉動，定義力對定點

O的力矩(momentofforce)

為：方向由右手法則確定。α為矢徑與力之間夾角。稱為力臂大小為：5若作用于物體上有則合外力的力矩等于作用于物體上各個力所產(chǎn)生力矩的矢量和。三、質點對參考點O的角動量定理由牛頓第二定律可知：兩邊同時左叉乘6所以有：即：---質點角動量定理7積分稱沖量矩——力矩對時間的積累作用。質點角動量定理（微分形式）質點角動量定理（積分形式）或力矩是改變質點轉動狀態(tài)的原因。8——質點角動量守恒定律四、角動量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）9

Om

F·Lα（中心力）r思考：小球m用細繩系于過O

點的軸線上，在光滑的水平面上繞O點作圓周運動，問：向下拉繩子后，情況如何？利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律。任一行星的位置矢量在相同時間內(nèi)掃過相等的面積。

mo10解：在Δt時間內(nèi)行星在萬有引力的作用下沿橢圓形軌道繞太陽運動，矢經(jīng)r掃過的面積為：則單位時間掃過的面積（面積速度）為：11在近日點和遠日點處有，由角動量守恒定律有：則：由于12§5.2質點系角動量原理及角動量守恒定律則質點系的角動量為：一.質點系對參考點的角動量原理如圖所示，質點系由n個質點組成。質量為：速度為：相對O點位置矢量為：每個質點的角動量為：13—質點系角動量定理于是有:則有：14——質點系角動量守恒定律質點系角動量守恒和動量守恒是否相互獨立？思考二.質點系對參考點的角動量守恒定律2.觀察（芭蕾舞）冰上運動員的轉動，并解釋之。15例1：滑輪兩邊重物質量相同而處于平衡，有質量m’、處于高度h處的泥灰自由落下而粘于盤中。求：泥灰粘在盤上時盤獲得的初速度。解：由泥灰、盤、重物構成質點系。外力為重力以及繩子的拉力，開始處于平衡狀態(tài)，對O點的合力矩為零，但泥灰的重力對O點產(chǎn)生力矩；當泥灰16與盤子發(fā)生完全非彈性碰撞時，沖擊內(nèi)力遠大于泥灰重力，可忽略泥灰重力。對碰撞過程應用對O點的角動量守恒定律：碰撞前系統(tǒng)的角動量：碰撞后系統(tǒng)的角動量：由角動量守恒定律有：17故碰撞后盤子的初速度為：例2：質量相同的A、B兩人，從同一高度開始爬繩，忽略繩子、滑輪的質量。問：哪個先達到頂點？18解法1：應用角動量定理求解。由人、繩子、滑輪組成質點系，O為參考點。由角動量定理有：由于19若：則：即：不論兩個人用力如何，任何一個人相對地面的加速度是大小相同的，只要開始的運動狀態(tài)相同，最后必定同時達到。20解法2：應用角動量守恒定律求解。由于與兩個力對O點所形成合力矩,則角動量守恒。因此有：兩個人初始時刻的角動量為：0兩個人任意時刻的角動量為：即：所以：兩個人同時到達頂點。21說明：若由n個質點組成的質點系中，每個質點都在二維平面內(nèi)運動，令Z軸是過O點且垂直于該平面的坐標軸，則可得到質點系對軸的角動量定理以及角動量守恒定律。22即：角動量定理角動量守恒定律將質點系的角動量定理以及角動量守恒定律的矢量表達式在Z軸上進行投影－－得到質點系對軸角動量定理以及角動量守恒定律。具體的方法是：23§5.3質點系對質心的角動量定理和守恒定律前面學習的相對于參考點或是相對于某軸的角動量定理和角動量守恒定律都是相對于慣性系而言的，如果不是慣性系，情況如何？慣性系質心系24質心系慣性系相對于時，必須考慮到“慣性力”的作用。以加速度運動，在質心坐標系中研究問題即：每個質點都受慣性力：在質心坐標系中，每個質點相對于質心的位置矢量為,由對參考點的角動量定理有：25－－合外力對質心c的力矩矢量和－－質點系對質心c的角動量由于質心坐標滿足：26故對質心坐標系而言，則有：即：質點系對質心的角動量定理與慣性系中的角動量定理具有完全相同的形式?！|點系對質心的角動量守恒定律－－對質心的角動量定理27在電影、戲劇、跳水等項目中，經(jīng)常會看到演員在空中翻筋斗的動作。翻筋斗過程可分解為質心的拋物線運動和相對于質心的轉動。質心拋物線運動可用質心運動定理來處理，而相對于質心的轉動則需要角動量定理或角動量守恒定律來處理。28§5.4對稱性?

對稱性與守恒定律自19世紀邁耶、焦耳、亥姆霍茲確立能量守恒定律以來，人們不僅為微分方程的降階而歡欣鼓舞，物理學家們更是由此而有了許多新發(fā)現(xiàn)．1894年皮埃爾．居里由因果律首先提出了對稱性原理，德國大數(shù)學家魏爾便奠定了守恒律與對稱性的密切關系．人們逐漸認識到，對稱性與守恒律是等價的，一個對稱性原理伴隨著一個守恒律．這就大大地激發(fā)了人們自覺地運用29對稱性法則和與之相應的守恒律，去尋求物質結構更深層次的奧秘．本節(jié)內(nèi)容主要介紹有關對稱性的知識，并就機械能守恒律談談對稱性．1、對稱的有關慨念對稱是一種美，對稱性的概念最初源于生活，在藝術、建筑等領域中，所謂’對稱”通常是指左右對稱．魏爾定義：若某圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對該鏡面是反射對稱或30雙向對稱的．又說，若某一圖形圍繞l軸作任何轉動均能回到自身，則該圖形具有對l軸的轉動的對稱性．

平面鏡中的像與鏡子前的物；

二維空間中的圓形；

三維空間中的球形；31將對稱性的概念應用于物理學中，研究的對象不僅是圖形，還有物理量和物理規(guī)律.為此我們必須先明確幾個概念：系統(tǒng)－－我們所研究的對象；狀態(tài)－－同一系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)，不同的狀態(tài)可以是“等價”的，也可以是“不等價”的．32變換－－系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)的過程叫做“變換”，或者說“操作”．一個操作產(chǎn)生“相同”或“等價”的效果，就是不變性，不變性就是對稱性．用對稱性的語言來說，上述等價原理可寫成下列公式：對稱的原因

對稱的結果33因此，廣義地說，如果一個操作使系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個與之等價的狀態(tài)，或者說，狀態(tài)在此操作下不變．我們就說這系統(tǒng)對于這一操作是“對稱的”，而這個操作叫做這系統(tǒng)的一個“對稱操作”．最常見的對稱操作是時空操作．空間操作有平移，轉動，鏡象反射，空間反演，標度變換（R度放大或縮?。┑?，時間操作有時間平移，時間反演等，伽里略變換是時空聯(lián)合變換，此外還有置換，34規(guī)范變換，正反粒子共軛變換等等.例如，質點加速度是一物理量，伽里略變換可視為一操作，因為經(jīng)伽里略變換后加速度保持不變，故質點加速度對伽里略變換具有對稱性．然后，動量作為物理量經(jīng)過伽里略變換后發(fā)生變化，即從不同參考系上觀測到的動量不同，故動量對子伽里略變換不具備對稱性．35不變性即對稱性，究競與守恒律有何關系？眾所周知，在保守場中，機械能是守恒．我們曾經(jīng)說成保守力作功與路徑無關，只與始未位置有關；或者說成力沿閉合回路的線積分為零；依對稱性的術語，該力學系統(tǒng)經(jīng)過作功這一“操作”，狀態(tài)（機械能）在此操作下不變，即該系統(tǒng)對于這一操作是“對稱的”．362、守恒律與對稱性在力學中我們所學習的守恒律有：機械能守恒定律、動量守恒定律和角動量守恒定律。下面我們討論在保守力作用下的力學系統(tǒng)的守恒定律與對稱性之間的關系：①機械能對時間平移對稱性與機械能守恒設一質點靜止于坐標原點，另一質量為m、速度為v的質點位于x處，兩者以保守力作用，顯然系統(tǒng)內(nèi)勢能只與質點坐標x有關，37②機械能對空間坐標平移對稱性與動量守恒于是我們得出機械能是常量，由此亦知機械能對時間平移具有對稱性．設質點系以保守力作用，沿x軸運動且動量各為P1x和P2x，坐標為x1和x2的兩質點，不受其他外力作用，系統(tǒng)動能是速度的函數(shù)，顯然總機械能，將此對時間平移，即38不因坐標平移而改變，系統(tǒng)勢能與兩質點位置有關，因此，如果要使總機械能保持不變，就勢必要求勢能對空間坐標平移保持不變，即是虛位移，可取任意值，故39用與表示質點1和2受到作用力，由勢能的定義可知，有下式成立：和于是：即：－動量守恒定律40③機械能對空間坐標系轉動對稱性與角動量守恒設一質點位于坐標原點且保持靜止，另一質點m處于運動狀態(tài)，且不再受其他力作用，若空間坐標系轉過無窮小角－δθ相當于力學系沿反方向轉過無窮小角位移δθ

，由于無窮小角位移是矢量，故：41若機械能對坐標系旋轉具有不變性，則考慮到：所以：即：坐標系旋轉而勢能不變，表明質點m受到有心力的作用，勢能僅是r的函數(shù)。42有心力對力心的力矩等于0，于是質點的角動量守恒。說明：以上的討論僅涉及比較簡單的情況，但結論對多質點的體系同樣成立。嚴格的理論推倒將在“分析力學”、“群論”中詳細介紹。在自然科學中同樣也存在不對稱，不守恒的

物理量。－－弱相互作用中“宇稱不守恒”43對稱的世界是美妙的，而世界的豐富多彩又常在于它不那么對稱。有時對稱性的某種破壞，哪怕是及其微小的破壞，也會帶來某種微妙的結果……藝術和科學，都是對稱與不對稱的巧妙的組合。－－－李政道只有對稱而沒有它的破壞，看上去雖然很有規(guī)則但同時顯得單調(diào)和呆板。只有基本對稱而又不完全對稱才構成美的建筑和圖案，大自然正是這樣的建筑師。－－－周光召444546474849現(xiàn)在，我們先來討論物理科學中的對稱性以及由它產(chǎn)生的美學藝術性。1、幾何對稱自然界到處都可以看到幾何對稱的物體。例如六角對稱的雪花。有位物理學家曾經(jīng)拍攝過一千多幅雪花的照片，它們形狀各異而整體仍顯示六角對稱性。又如五角對稱的海星星，體現(xiàn)各種對稱性的天然寶石、水晶體、花瓣、蝴蝶、蜻蜓、蜜蜂、大象、金錢豹、老虎……

一、樸素的對稱性505152535455人體本身就具有顯著的幾何對稱性。雙眼和雙耳的左右排布使人對視聽有立體感，并且能夠準確判斷光源和聲源的位置。雙腿的對稱排布則使人便于直線行走（例如時裝模特的“貓步”），有趣的是科幻電影中的外星人也往往具有左右對稱的形體。在許多建筑、雕塑、繪畫、音樂、舞蹈、體操、以及文學詩歌的藝術創(chuàng)作中，都融進了對稱的觀念和靈感。例如北京的天安門、故宮、天壇，巴黎的埃菲爾鐵塔等建筑。又如巴赫（J.S.Bach）的小提琴二重奏曲CarbCanon，其中第一小提琴的旋律是第二提琴旋律的時間反演。56

蘇東波的的著名回文詩，正念和倒過來念都是朗朗上口的漂亮詩文：潮隨暗浪雪山傾，遠浦漁舟釣月明。橋對寺門松逕小，巷當泉眼石波清。迢迢遠樹江天曉，藹藹紅霞晚日晴。遙望四山云接水，碧峰千點數(shù)鷗輕。57嚴格的幾何對稱結構，會給人一種良好的心境，安寧、平靜、踏實、穩(wěn)定。然而，不太對稱的物體反而表現(xiàn)出某些新奇的特征，使得物體有種動態(tài)的美。例如，現(xiàn)代服裝的各種不對稱的新奇創(chuàng)意，更展示出獨特的魅力和誘人的風格。又如現(xiàn)代建筑的許多非對稱性造型設計（北京即將建成的“中國大劇院”采用了法國大師的獨特設計）。各種海螺、蝸牛都具有左旋性，人體的蛋白質氨基酸也具有左旋性等等。時裝；海螺；58596061622、陰陽對稱陰陽對稱是我國古代在巫術占卜和中醫(yī)理論中十分重要的一種哲學思想。古代的《周易》集中反映了關于天文氣象，陰陽對稱又交互變化的樸素觀念。并用以比擬人間禍福，形成了原始的宇宙生成觀和對立統(tǒng)一的觀點。“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”中的太極就像現(xiàn)代宇宙學的大爆炸奇點。而兩儀就是指陰陽或天地。

李政道教授曾對我國科技大“少年班”的同學說：“我們中國古代的數(shù)學是很進步的。”并以八卦的二進制和8×8矩陣為例，說：“易經(jīng)既有文學價值，又有數(shù)學價值。”63陰陽天沢火雷風水山地天地自然之圖

古太極圖64黑白二色，

代表陰陽兩方，天地兩部；

黑白兩方的的界限

就是劃分天地陰陽界的人部。

白中黑點

表示陽中有陰，

黑方白點

表示陰中有陽。65此外，陰陽對稱性與物理學中微觀粒子的波粒二象性、正反粒子性、以及計算科學中的二進制等特征有著神秘的對應?！兑捉?jīng)》由陰陽對稱性演化出萬物的思想與萊布尼茲首先提出的二進制相對應。萊布尼茲曾從傳教士F.J.Bouvet那里得到64卦次序圖，他研究了二進制及其間的關系。1937年春，量子力學的創(chuàng)始人之一，著名丹麥物理學家玻爾（N.Bohr）到中國訪問。他欣喜地發(fā)現(xiàn)，他當時的得意之作——互補原理（波粒二象互補），竟然在中國古代文明中找到了哲學思想的根基，這就是陰陽太極圖。玻爾為自己設計了一枚獨特的紋章，在橢圓形圖案中心是絕妙的太極圖。周易；玻爾663、五行對稱五行最早的提法是《尚書·洪范》中箕子的話：“五行，一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土”。土為本，居中，四方為水、火、木、金，對稱和諧。五行對稱很有特征。五行與五方、五色、五氣、五谷、五官、五臟、五味等等有著神秘的對應：67五行：水火木金土五方：北南東西中五色：黑赤青白黃五氣：寒熱風燥濕五谷：豆粳麥黍稻五官：耳舌目鼻口五臟：腎心肝肺脾五味之宜：辛酸甘咸苦68五味之禁：甘咸辛苦酸五料：姜醋蜜鹽酒五情：恐喜怒憂思五性：智禮仁義信五音：羽征

角商宮五牲：豬羊犬雞牛五星：辰星熒惑歲星太白鎮(zhèn)星日干：壬癸丙丁甲乙庚辛戊己69更有趣的是，五個數(shù)，由下述方法可得自我循環(huán)的“五行系統(tǒng)”：按此方法，若第五數(shù)加1除以第四數(shù)應得第六數(shù)，但它正好等于第一數(shù)

a：形成循環(huán)。70所謂相除，就是相克，相除而得另一數(shù)，就是相生。正說明五行相克相生的規(guī)律。水克火，火克金，金克木，木克土，土克水。木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。71二、科學的對稱性

哪個圖形更使人愉悅，更完美呢？圓.為什么這樣呢？一個內(nèi)含的原因就是：圓具有更高的對稱性，因而更完美。觀察平面上三個圖形：72對稱性的科學定義是：如果一個系統(tǒng)（幾何圖形、物理規(guī)律、物理量等）在某個“操作”（又稱“變換”）下保持不變，就說這個系統(tǒng)相對該操作（變換）具有對稱性。保持系統(tǒng)不變的變換，稱為“對稱變換”。對稱變換越多，系統(tǒng)的對稱性就越高。例如：圓形在繞其中心垂直軸旋轉變換下是不變的，旋轉任何角度都不變。而存在無窮多個角度，所以存在無窮多個對稱變換。因此，圓的對稱性最高。系統(tǒng)的對稱性質由對稱變換的集合來描述。對稱變換的集合構成數(shù)學上的“對稱變換群（Group）”。群的研究成為數(shù)學上的一個分支——群論。物理學中，常見的群大多是線性算符群、矩陣群等等。73如果我們把圓剪掉一個扇形角（如圖），則其對稱性就突然明顯降低。如果物理學家面對兩個理論，往往會覺得對稱性更高的那一個理論更美些。當觀察者是物理學家時，在360°范圍內(nèi)，從無窮多個對稱變換，突然銳減為一個對稱變換了。這就稱為:對稱性破缺

美意味著“對稱”74物理規(guī)律的對稱性與守恒律有緊密的關系。1918年德國偉大的數(shù)學家愛米·諾特女士提出了一個劃時代的極其重要的定理——諾特定理：物理規(guī)律的每一種連續(xù)對稱性一定對應著一個守恒定律.空間平移對稱性對應于動量守恒；例如：物理規(guī)律的空間轉動對稱性導致角動量守恒；

時間平移對稱性對應于能量守恒。三、對稱性與守恒律75現(xiàn)代物理學前沿領域的許多研究課題都與對稱性緊密相關。例如：正反物質的對稱性問題；重子數(shù)不對稱問題；統(tǒng)一場論；超對稱性；超弦理論等。

楊振寧取得的三大重要成就都與對稱性有關：（1）楊-米爾斯規(guī)范場理論；（2）弱作用中宇稱不守恒理論；（3）楊-巴克斯特方程。世紀輝煌楊-李四、前沿物理學與對稱性研究為什么在弱作用中，C、P、T的對稱性都破缺了呢？對稱性破缺的本質是什么？這仍然是個難解之謎。楊振寧說：“這恐怕不是10到20年之間可以解決的?！?6從規(guī)范場論的發(fā)展，我們更看出對稱性在物理學中的重要意義和物理學大師美妙的對稱性思想：（1）愛因斯坦根據(jù)與能量守恒相聯(lián)系的時空坐標變換的對稱性，推出愛因斯坦引力場方程；（2）韋爾根據(jù)與電荷守恒相聯(lián)系的阿貝爾規(guī)范對稱性，推出麥克斯韋電磁場方程；（3）楊振寧根據(jù)與同位旋守恒相聯(lián)系的非阿貝爾對稱性，推出楊-米爾斯規(guī)范場方程。

物理學規(guī)律顯現(xiàn)出多么優(yōu)美、統(tǒng)一、和諧、對稱的形式，實在是太妙了！77著名物理學家溫伯格說：破缺的對稱性更加美妙！最奇妙的是，可能還存在著許多更深層次的隱藏的對稱性，強烈吸引我的是，仍然有新的對稱性等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)?！皩ΨQ性觀念是一個非常重要的主題，它占據(jù)了當今理論物理學的中心舞臺?！睏钫駥幷f：78物理學是最質樸最實在的科學，又是最神秘最深奧的科學。物理學是最嚴謹最腳踏實地的學問，又是最神奇最高深莫測的藝術。它像一幅山水畫，一首抒情詩，一曲交響樂，一尊維納斯雕像。有時，他像達·芬奇的“蒙娜麗莎”那樣神秘典雅，有時又像羅丹的“思想者”那樣冷峻深沉。物理學魅力無窮，物理學處處都顯示出美。五、由對稱性產(chǎn)生的美學藝術性美術63；美學封面楊振寧在北京大學作的“美與物理學”演講中說：“牛頓的運動方程、麥克斯韋方程、愛因斯坦的狹義和廣義相對論方程、狄拉克方程、海森伯方程是造物者的詩篇。它們的極度濃縮性和它們的包羅萬象的特點也許可以用W.Blake

的不朽名句來描述：79

Toseeaworldinagrainofsand,Andaheaveninaworldflower,Holdinfinityinthepalmofyourhand,Andeternityinanhour.他們的巨大影響也許可以用A.Pope的名句來描述：

Natureandnature’slawlayhidinnight:Godsaid,letNewtonbe!Andallwaslight.可是這些都不夠，都不能全面地道出學物理的人面對這些方程的美的感受。缺少的似乎是一種莊嚴美，一種神圣感，一種初窺宇宙奧秘的畏懼感。80我想缺少的恐怕正是籌建歌德式教堂的建筑師們所要歌頌的崇高美、靈魂美、宗教美、最終極的美?！背藯钫駥幩f的各種方程外，又例如慣性和慣性定律、開普勒行星運動三定律、萬有引力定律、費馬原理、最小作用量原理、哈密頓原理、最小能量原理、光速不變原理、廣義相對性原理、拉普拉斯方程、楊-巴克斯特方程、楊-米爾斯規(guī)范場理論、弱電統(tǒng)一理論、熱大爆炸宇宙模型、超對稱理論、超引力理論、超弦理論、超膜理論、反物質和暗物質理論、霍金的黑洞輻射理論和無邊界量子宇宙理論等等