江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用午練8余弦定理正弦定理的應(yīng)用新人教A版必修第二冊

午練8余弦定理、正弦定理的應(yīng)用1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,則cosC的值為()A. B.- C. D.-2.已知△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則的值為()A.19 B.14 C.-18 D.-193.如圖,從山頂A望地面上C,D兩點(diǎn),測得它們的俯角分別為45°和30°,已知CD=100m,點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于()A.100m B.50mC.50m D.50(+1)m4.從某電視塔的正東方向的A處,測得塔頂仰角是60°,從電視塔的西偏南30°的B處,測得塔頂仰角為45°,A,B間距離為35m,則此電視塔的高度是()A.5m B.10m C.m D.35m5.一艘輪船從A動身,沿南偏東70°的方向航行40nmile后到達(dá)海島B,然后從B動身,沿北偏東35°的方向航行了40nmile到達(dá)海島C.假如下次航行干脆從A動身到C,那么此船航行的方向和路程分別為()A.北偏東80°,20()nmileB.北偏東65°,20()nmileC.北偏東65°,20()nmileD.北偏東80°,20()nmile6.(多選題)如圖,為對某失事客輪AB進(jìn)行有效救濟(jì),現(xiàn)分別在河岸MN選擇兩處C、D用強(qiáng)光柱進(jìn)行幫助照明,其中A、B、C、D在同一平面內(nèi).現(xiàn)測得CD長為100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°.則()A.S△BCD=2500平方米 B.AD=米C.船AB長為米 D.BD=200米7.銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,C=2A,則=,邊長c的取值范圍是.

8.如圖所示,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為;塔BB1的高為m.

9.如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12nmile,漁船乙以10nmile/h的速度從島嶼A動身沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處動身沿北偏東α的方向追逐漁船乙,剛好用2h在C處追上.(1)求漁船甲的速度;(2)求sinα的值.10.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a+c=3,.(1)求角B的大小;(2)若a<b,b=2,求cosA+的值.午練8余弦定理、正弦定理的應(yīng)用1.A∵sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶3,設(shè)a=3k,b=2k,c=3k(k>0),則cosC=.2.D由余弦定理的推論,得cosB=,所以=||||cos(π-B)=7×5×=-19.3.D在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,∴,∴AC==50()m.在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=50()m,∴AB=ACsin45°=50()×=50(+1)m.4.A設(shè)此電視塔的高度是xm,如圖所示,則AC=m,∠BCA=150°,AB=35m.∴cos150°=,解得x=5.故選A.5.C由題可知∠ABC=105°.在△ABC中,AB=40,BC=40,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos105°=3200+1600,所以AC=20().又因?yàn)?所以sin∠BAC=,所以∠BAC=45°,所以下次航行干脆從A動身到C,此船的航向?yàn)楸逼珫|65°,故選C.6.ABC∠BDM=30°,∠BCM=60°,則∠CBD=30°,所以BC=BD=100米,所以S△BCD=CB·CD·sin∠BCD=×100×100×sin120°=2500平方米.由題得,∠ADC=75°,∠ACD=45°,∠BDA=45°,在△ACD中,,即,所以AD=米,在△BCD中,BD===100米,在△ABD中,AB===米.即船長為米.7.4(2,2)因?yàn)镃=2A,所以sinC=2sinAcosA,由正弦定理得c=2acosA,所以=2a=4.因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以C=2A∈,B=π-A-C=π-3A∈,所以A∈,所以c=4cosA∈(2,2).8.45設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為α,則AA1=60tanα,BB1=60tan2α.因?yàn)閺膬伤撞窟B線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(負(fù)值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45.9.解(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得BC=28nmile.所以漁船甲的速度為BC÷2=14(nmile/h).(2)在△ABC中,AB=12nmile,∠BAC=120°,BC=28nmile,∠BCA=α,由正弦定理,得,所以sinα=.10.解(1)由,可得bcosC=2acosB-ccosB,由正弦定理可得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,所以sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB.因?yàn)閟inA≠0,所以cosB=