重慶市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期九月測試試題含解析

Page26一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的求解方法，結(jié)合集合的交集，可得答案.【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則，所以.故選：A.2.已知，二項式的綻開式中全部項的系數(shù)和為64，則綻開式中的常數(shù)項為（）A.36 B.30 C.15 D.10【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)“全部項的系數(shù)和”求得，然后利用二項式綻開式的通項公式求得正確答案.【詳解】令，則可得全部項的系數(shù)和為且，解得，∵的綻開式中的通項，∴當(dāng)時，綻開式中的常數(shù)項為.故選：C3.已知，是實數(shù)，且滿意，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值驗證，可推斷A，B，D；利用不等式性質(zhì)結(jié)合基本不等式可推斷C.【詳解】對于A，取，則，A錯誤；對于B，取，，B錯誤‘對于C，因為，故，，，故，C正確；對于D，取，則，D錯誤；故選：C4.定義在上的函數(shù)滿意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（）A.336 B.338 C.337 D.339【答案】B【解析】【分析】由得到函數(shù)的周期為6，只需求出，再結(jié)合函數(shù)的周期性求解.【詳解】因為當(dāng)時，，所以，，，，又因為，所以，即函數(shù)的周期為6，，當(dāng)時，，所以，，因為，所以，所以.故.故選：B5.已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項公式為，則（）A.36 B.24 C.20 D.18【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)解析式求出對稱中心，再結(jié)合等差數(shù)列項的性質(zhì)計算求解即可.

【詳解】，所以曲線的對稱中心為，即，因為，易知數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以，所以.故選:D.6.定義在上的函數(shù)滿意:對隨意，都有，且為奇函數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件推出是周期為4，關(guān)于、對稱的偶函數(shù)，再結(jié)合、與的平移伸縮關(guān)系推斷各項的正誤.【詳解】由為奇函數(shù)，則，即，B錯；所以關(guān)于對稱，由，令，則，即，所以關(guān)于對稱，則關(guān)于，即y軸對稱，C對；所以，則，故，則，即的周期為4，則，綜上，是周期為4，關(guān)于、對稱偶函數(shù)，將全部橫坐標(biāo)縮短為原來的一半得到函數(shù)，所以是周期為2，關(guān)于、對稱的偶函數(shù)，D錯；則，A錯；故選：C7.在給某小區(qū)的花園綠化時，綠化工人須要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先求出事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，再依據(jù)古典概型的公式計算即可．【詳解】方法一：設(shè)六棵樹從矮到高的依次為1，2，3，4，5，6，后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高為事務(wù)A．則6必在后排，1在前排，因此，分為1-6相對和1-6不對兩種狀況（相對的意思是前后相鄰），（1）1-6相對：5必在后排，2必在前排，因此，又可分為2-5相對和2-5不對兩種狀況，①2-5相對時，3-4相對且4在后排，所以有種狀況；②2-5不對，有種狀況．（2）1-6不對：可分為5在前排和5在后排兩種狀況，（?。?在前排，則5-6相對且4在后排，又可分為1-4相對和1-4不對兩種狀況，1-4相對：有種；1-4不對：有種．（ⅱ）5在后排，又可分為1-5相對和1-5不對兩種狀況，①1-5相對：2必在前排，又分為2-6相對和2-6不對兩種，2-6相對：有種；2-6不對：有種．②1-5不對，有種．所以.故選：C．方法二：將設(shè)六棵樹從矮到高的依次為1，2，3，4，5，6，后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高為事務(wù)A，所以，.故選：C．【點睛】本題的解題關(guān)鍵是合理分類，首先依據(jù)題意知6必在后排，1必在前排，所以依據(jù)1，6的位置關(guān)系分為兩種狀況，接下來就是依據(jù)每種狀況，把能定下來的位置先定下來，不能定的就接著分類探討，直至求出全部適合的基本領(lǐng)件個數(shù)．兩個計數(shù)原理在解題時發(fā)揮了關(guān)鍵作用．8.已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點F，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，由題意可得，設(shè)，，依據(jù)對稱性可得，，依據(jù)雙曲線的定義可得，，，整理可得關(guān)于，的齊次方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，因為以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點，所以，圓心為，半徑為，依據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形是矩形，設(shè)，，則，由可得，所以，所以，所以.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.等差數(shù)列的公差為，前項和為；等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為，下列說法正確的是（）A.是等比數(shù)列，公比為B.是等差數(shù)列，公差為C.若，則，，成等差數(shù)列，公差是D.若，則，，成等比數(shù)列，公比是【答案】ABD【解析】【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念可以推斷AB正確；由前項和的概念與等差數(shù)列的概念以及等比數(shù)列的概念可以推斷C錯誤，D正確.【詳解】A：因為等差數(shù)列的公差為d，所以，故A正確；B：因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，所以，，故B正確；C：當(dāng)時，，又但是，所以，同理，所以，，成等差數(shù)列，公差是，故C錯誤；D：當(dāng)時，，，又等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且所以，同理即，，成等比數(shù)列，公比是，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求命題成立的充要條件，然后利用取值范圍的真包含關(guān)系，得充分不必要條件.【詳解】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以時，對，使得成立，則有，即，得對，使得成立的充要條件為，各選項中，有則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是BCD選項.故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)滿意，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.若對隨意的實數(shù)，，則是單調(diào)增函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法即可推斷AB，結(jié)合基本不等式即可推斷C，由單調(diào)性的定義即可推斷D.【詳解】時，，∴或，A錯.取，，B對.，由B知：所以，C對.由可知：當(dāng)時，，此時，∴，故對隨意的有，所以不存在使，故對，，當(dāng)時，，故，∴在上單調(diào)遞增，D對.故選：BCD.12.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個零點 B.當(dāng)時，有3個零點C.當(dāng)，有2個零點 D.當(dāng)時，有7個零點【答案】ABD【解析】【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)問題，設(shè)，即有，然后結(jié)合每個選項中t的范圍作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解相應(yīng)方程的解，進(jìn)而確定函數(shù)零點個數(shù).詳解】令，則，設(shè)，則等價于，則函數(shù)的零點個數(shù)問題即為解的個數(shù)問題；二次函數(shù)，其圖象開口向上，過點，對稱軸為，對于A，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象可知有一個根，則由可知此時方程只有一個解，此時函數(shù)的零點個數(shù)為1，A正確；對于B，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象可知有一個根，令，令，則有3個解，即和，此時此時函數(shù)有3個零點，B正確；對于C，當(dāng)時，分析同A，函數(shù)有1個零點，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象可知有3個根，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時共有3個解；對于，此時有1個解，即有2個解，對于，此時有1個解，即無解，故此時函數(shù)有7個零點，D正確；故選：ABD【點睛】方法點睛：本題是關(guān)于復(fù)合函數(shù)的零點的推斷問題，首先將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題；解答時要接受換元的方法，利用數(shù)形結(jié)合法，先推斷外層函數(shù)對應(yīng)方程的解的個數(shù)問題，繼而求解內(nèi)層函數(shù)對應(yīng)方程的解.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)函數(shù),若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】分段探討求出和的解析式，代入可求出結(jié)果.【詳解】（i）當(dāng)，即時，，，由得，即，因為，所以恒成立，所以；（ii）當(dāng)，即時，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）當(dāng)，即時，，，由得，即，所以，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：14.某探討小組為了探討中學(xué)生的身體發(fā)育狀況，在某學(xué)校隨機抽取20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2×2的列聯(lián)表，依據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以在犯錯誤的概率不超過________的前提下認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高與體重之間有關(guān)系．身高體重超重不超重總計偏高415不偏高31215總計71320附表：0.10.050.0100052.7063.8416.6357.879【答案】0.05【解析】【分析】依據(jù)給定的列聯(lián)表求出的觀測值，再與臨界值表比對作答.【詳解】由列聯(lián)表知，，所以可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高與體重之間有關(guān)．故答案為：0.0515.是直線上的第一象限內(nèi)的一點，為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，當(dāng)面積最小時，點的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件，設(shè)出點的坐標(biāo)，并表示出點的橫坐標(biāo)，再列出三角形面積的關(guān)系式，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，，則，而，則有，明顯，于是，由點在x軸正半軸上，得，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)面積最小時，點的坐標(biāo)是.故答案為：16.如圖拋物線的頂點為A，焦點為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為B，焦點也為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是______①；②四邊形MNST的面積為；③；④的取值范圍為.【答案】①②③④【解析】【分析】依據(jù)拋物線的定義可得推斷①，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而推斷②，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可推斷③，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可推斷④.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于由題可知，所以，，故①正確；如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故②正確；連接，因為，所以，所以，故，故③正確；依據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，，當(dāng)與重合時，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時取等號，故此時；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，依據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故④正確.故答案為：①②③④.【點睛】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合拋物線定義可求解長度和角度問題，推斷①②，依據(jù)拋物線的對稱性，推斷，從而，從而推斷③，分別探討的位置，然后推斷的取值范圍，推斷④，是本題的難點.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.已知數(shù)列的前項和為，且（1）求及數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，相減可得為等比數(shù)列，即可求解，（2）利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】，，,，兩式詳解得，又因，，故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，首項為，故【小問2詳解】由題意得，解得所以，，相減得解得18.如圖，在五面體中，平面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，五面體的體積為，求平面與面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直，來證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與面所成角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為平面，平面，所以，由于平面，所以平面.取的中點，連接，則，由于，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】在等腰三角形中，，過作，垂足為，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，設(shè)，則,.由（1）可知兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，所以，，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以.19.已知函數(shù)．（1）若是的極值點，求的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由求得的值，再由求得的單調(diào)區(qū)間.（2）代入可得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定最值后即可得解.【小問1詳解】的定義域為，，若是的極值點，則，解得，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.此時是的微小值點，符合題意.綜上所述，的增區(qū)間為；減區(qū)間為.【小問2詳解】，由，得①，設(shè)，所以當(dāng)時，，①不成立，故，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點，除了以外，還須要在左右兩側(cè)的單調(diào)性相反.利用導(dǎo)數(shù)探討含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以考慮利用分別參數(shù)法，也可以干脆構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行探討.20.2024年游泳世錦賽于7月14日—30日在日本福岡進(jìn)行，甲、乙兩名10米跳臺雙人賽的選手，在備戰(zhàn)世錦賽時挑戰(zhàn)某高難度動作，每輪均挑戰(zhàn)3次，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有勝利和失敗兩種.（1）甲在每次挑戰(zhàn)中，勝利的概率都為.設(shè)甲在3次挑戰(zhàn)中勝利的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）乙在第一次挑戰(zhàn)時，勝利的概率為0.5，由于教練點撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從其次次起先，每次勝利的概率會發(fā)生變更，變更規(guī)律為：若前一次勝利，則該次勝利的概率比前一次勝利的概率增加0.2；若前一次失敗，則該次勝利的概率比前一次勝利的概率增加0.15.求乙在第三次勝利的概率.【答案】（1）分布列見解析，2（2）0.85875.【解析】【分析】（1）由已知聽從二項分布，即，然后列出相應(yīng)的分布列即可.（2）依據(jù)條件概率公式以及互斥事務(wù)的和事務(wù)的概率公式，列出相應(yīng)的計算公式即可求解.【小問1詳解】由題意得，則，其中，則的分布列為：0123則.【小問2詳解】設(shè)事務(wù)為“乙在第次挑戰(zhàn)勝利”，其中.所以；；；；故.即乙在第三次勝利的概率為0.85875.21.已知圓，圓上有一動點P，線段PF的中垂線與線段PE交于點Q，記點Q的軌跡為C．第一象限有一點M在曲線C上，滿意軸，一條動直線與曲線C交于A、B兩點，且直線MA與直線MB的斜率乘積為．（1）求曲線C的方程；（2）當(dāng)直線AB與圓E相交所成的弦長最短時，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的定義推斷Q點軌跡為橢圓，求出的值，即得答案；（2）探討AB的斜率是否存在，存在時，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合直線MA與直線MB的斜率乘積化簡可得參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而確定直線過定點，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，故Q點軌跡為橢圓，焦點為,且，故橢圓方程為；【小問2詳解】由題意可知，當(dāng)直線AB斜率不存在時，設(shè)方程為，代入，可得，不妨設(shè)，此時，化簡得，解得或，時，直線斜率不存在，不合題意，舍去，故，則直線AB的方程為；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)，直線方程設(shè)為，聯(lián)立得，則需滿意，，，由，可得，化簡得，即，即，當(dāng)時，直線AB的方程為為，過定點，此時，不合題意，舍去；當(dāng)時，直線AB的方程為為，此時直線過定點，不妨設(shè)為，直線也過，由于點N滿意，故在橢圓內(nèi)，所以成立，又因為在橢圓內(nèi)，所以當(dāng)直線AB與圓E相交所成的弦長最短時，應(yīng)滿意，而，故，故，故此時直線A