2025屆江蘇省蘇州第一中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2025屆江蘇省蘇州第一中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若數(shù)列前12項的值各異，且對任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前12項值的數(shù)列為（）A． B． C． D．2．如圖，是圓的直徑，點是半圓弧的兩個三等分點，，，則（）A． B． C． D．3．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）681012632A．變量，之間呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量，之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點4．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．32021-18 B．320206．計算機中常用十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個計數(shù)符號，這些符號與十進制的數(shù)的對應關(guān)系如下表：16進制0123456789ABCDEF10進制0123456789101112131415現(xiàn)在，將十進制整數(shù)2019化成16進制數(shù)為（）A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F37．若a，b是方程的兩個根，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值為()A．-4 B．-3 C．-2 D．-18．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．9．設(shè)向量，滿足，，則（）A．1 B．2 C．3 D．510．已知扇形的面積為，半徑為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.12．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=13．命題“，”是________命題（選填“真”或“假”）.14．和2的等差中項的值是______.15．等差數(shù)列前項和為，已知，，則_____．16．設(shè)向量是兩個不共線的向量，若與共線，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.18．已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出點的坐標；（2）求線段的長度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．19．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.20．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；(2)當b＝1時，若對任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．21．在平面直角坐標系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且.（1）求直線l的方程；（2）若點E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，點D滿足，點M是圓O上任意一點，點N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點N到直線l距離的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)題意可知利用除以12所得的余數(shù)分析即可.【詳解】由題知若要取遍前12項值的數(shù)列,則需要數(shù)列的下標能夠取得除以12后所有的余數(shù).因為12的因數(shù)包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余數(shù).如除以12的余數(shù)只能取1,4,7,10的循環(huán)余數(shù).又5不能整除12,故能夠取得除以12后取所有的余數(shù).故選：C【點睛】本題主要考查了數(shù)列下標整除與余數(shù)的問題,屬于中等題型.2、A【解析】

連接，證得，結(jié)合向量減法運算，求得.【詳解】連接，由于是半圓弧的兩個三等分點，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量相等的概念，考查向量減法的運算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】分析：根據(jù)平均數(shù)的計算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據(jù)之間的變化趨勢，可得其負相關(guān)關(guān)系，即可得到答案.詳解：由題意，根據(jù)上表可知，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，由上表中的數(shù)據(jù)可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系，由于回歸方程可知，回歸系數(shù)，而不是，所以C是錯誤的，故選C.點睛：本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計算公式，回歸直線方程的特點，以及相關(guān)關(guān)系的判定等基礎(chǔ)知識的應用，其中熟記回歸分析的基本知識點是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.4、D【解析】

根據(jù)兩個球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知，則.故選：D.【點睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由題意得出3n+1-12<an+2【詳解】∵an+1-又∵an+2-∵an∈Z，∴于是得到a3上述所有等式全部相加得a2019因此，a2019【點睛】本題考查數(shù)列項的計算，考查累加法的應用，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題中條件構(gòu)造出等式an+26、A【解析】

通過豎式除法，用2019除以16，取其余數(shù)，再用商除以16，取其余數(shù)，直至商為零，將余數(shù)逆著寫出來即可.【詳解】用2019除以16，得余數(shù)為3，商為126；用126除以16，得余數(shù)為14，商為7；用7除以16，得余數(shù)為7，商為0；將余數(shù)3,14,7逆著寫，即可得7E3.故選：A.【點睛】本題考查進制的轉(zhuǎn)化，只需按照流程執(zhí)行即可.7、D【解析】

由韋達定理確定，，利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置，從而確定的值．【詳解】由韋達定理得：，，所以，由題意這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，且，則2一定在中間所以，即因為這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，且，則2一定不在的中間假設(shè)，則即故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，如成等比數(shù)列，且，，則2必為等比中項，有．8、B【解析】

利用平面向量數(shù)量積和定義計算出，可得出結(jié)果.【詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將模進行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律進行計算，考查計算能力，屬于中等題.9、A【解析】

將等式進行平方，相加即可得到結(jié)論．【詳解】∵||，||，∴分別平方得2?10，2?6，兩式相減得4?10﹣6＝4，即?1，故選A．【點睛】本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．10、A【解析】

設(shè)半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形面積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)半徑為，圓心角為，則對應扇形面積，又，，則故選A.【點睛】本題主要考查由扇形面積求圓心角的問題，熟記扇形面積公式即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【點睛】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12、65π【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像，然后通過三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，作AB中點D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過點E作平面ABC的垂線，在垂線上取一點O，使得PO=OC。因為三棱錐底面是一個邊長為23的等邊三角形，E所以三棱錐的外接球的球心在過點E的平面ABC的垂線上，因為PO=OC，P、C兩點在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點即為球心，因為平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，D為AB中點，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面積為S=4πr【點睛】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過三棱錐的幾何特征來確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。13、真【解析】當時，成立，即命題“，”為真命題.14、【解析】

根據(jù)等差中項性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)等差中項為，則，解得故答案為：【點睛】本題考查等差中項的求解，屬于基礎(chǔ)題15、1【解析】

首先根據(jù)、即可求出和，從而求出?！驹斀狻浚?，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了解方程，以及等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和。其中等差數(shù)列的性質(zhì):若則比較?？?，需理解掌握。16、【解析】試題分析：∵向量，是兩個不共線的向量，不妨以，為基底，則，又∵共線，．考點：平面向量與關(guān)系向量三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用二倍角降冪公式、兩角差的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡為，然后利用周期公式可計算出函數(shù)的周期，解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計算出的取值范圍，可得出的范圍，進而可得出函數(shù)的值域.【詳解】（1），所以，函數(shù)的周期為，由，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當時，，則，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間以及值域的求解，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將解析式進行化簡，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1），，；（2）線段的長度分別為；（3）不垂直，理由見解析【解析】

（1）由已知條件，利用長方體的結(jié)構(gòu)特征，能求出點的坐標．

（2）直接利用兩點間距離公式公式求解．（3）求出，，計算數(shù)量積即可判斷是否垂直.【詳解】解：（1）兩直線垂直，證明：由于為坐標原點，所以，由得：，因為點N是AB的中點，點M是的中點，，；（2）由兩點距離公式得：，；（3）直線與直線不垂直，理由：由（1）中各點坐標得：，，與不垂直，所以直線與直線不垂直.【點睛】本題考查空間中點的坐標的求法，考查線段長的求法，以及利用向量的坐標運算判斷垂直，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），即面積的最大值為【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理邊化角的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值、三角形面積公式的應用；求解面積的最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理的基礎(chǔ)上，利用基本不等式來求解兩邊之積的最大值.20、（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).【解析】

(1)用和表示，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.(2)對進行參變分離，根據(jù)和求得.【詳解】解(1)方法一?∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比較兩邊系數(shù)：?∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)當x∈[0,1]時，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即當x∈[0,1]時，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；當x＝0時，顯然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；當x∈(0,1]時，若ax2＋x＋1≥0恒成立，則a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值為－2，∴a≥－2；當x∈(0,1]時，ax2＋x－1≤0恒成立，則a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值為0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范圍為[－2,0)．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)和參變分離的恒成立問題，屬于難度題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）等價于圓心O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點，再