上海市上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中最小值為4的是()A． B．C． D．2．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若,則角=（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象4．圓，那么與圓有相同的圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（）．A． B．C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α0≤α≤π的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2至OB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為Q．記線(xiàn)段BQ的長(zhǎng)為y，則函數(shù)A． B．C． D．6．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．8．圓與圓的位置關(guān)系是()A．相切 B．內(nèi)含 C．相離 D．相交9．已知、是圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．10．半徑為，中心角為的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_____．12．設(shè)為等差數(shù)列，若，則_____．13．兩圓，相切，則實(shí)數(shù)＝______.14．已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則，則______．15．一湖中有不在同一直線(xiàn)的三個(gè)小島A、B、C，前期為開(kāi)發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測(cè)量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對(duì)在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒(méi)辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個(gè)點(diǎn)D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____公里.（注：索道兩端之間的長(zhǎng)度視為線(xiàn)段）16．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為_(kāi)_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角所對(duì)的邊分別為．且．（1）求的值；（2）若，求的面積．18．已知.（Ⅰ）化簡(jiǎn)；（Ⅱ）已知，求的值．19．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，在上，且.(1)求證：平面；(2)在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，，若平面，求實(shí)數(shù)的值.20．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得成立，求范圍?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對(duì)于B選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“相等”要求，即可選出答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.但無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，熟練掌握基本不等式的步驟為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2、B【解析】

試題分析：，由正弦定理可得即；因?yàn)椋?，所以，而，所以，故選B.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理.3、D【解析】

利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A、B、C三個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，再利用平移“左加右減”及誘導(dǎo)公式得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】由題意，函數(shù)其最小正周期為，故選項(xiàng)A正確；函數(shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)C正確把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，所以選項(xiàng)D不正確．故答案為D【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，故排除、，代入點(diǎn)，只有項(xiàng)經(jīng)過(guò)此點(diǎn)，也可以設(shè)出要求的圓的方程：，再代入點(diǎn)，可以求得圓的半徑為．故選．點(diǎn)睛：這個(gè)題目主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)檫@是一道選擇題，故根據(jù)與條件中的圓的方程可以得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可以排除幾個(gè)選項(xiàng)，如果正規(guī)方法，就可以按照已知圓心，寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知點(diǎn)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可．5、B【解析】BQ=|y點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，要注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題．6、C【解析】

求出A∩B即得解.【詳解】由題得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)是3.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出關(guān)于的等式，可解出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由于，即，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

寫(xiě)出兩圓的圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得兩圓心的距離，發(fā)現(xiàn)，所以?xún)蓤A相交。比較三者之間大小判斷位置關(guān)系?！驹斀狻?jī)蓤A的圓心分別為：，，半徑分別為：，，兩圓心距為：，所以，兩圓相交，選D?！军c(diǎn)睛】通過(guò)比較圓心距和半徑和與半徑差直接的關(guān)系判斷，即比較三者之間大小。9、A【解析】由題意得,所以，選A.10、D【解析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【詳解】，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)式求出前項(xiàng)和，再極限的思想即可解決此題?！驹斀狻繑?shù)列的通項(xiàng)公式為，則，則答案．故為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項(xiàng)式求前項(xiàng)和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯(cuò)位相減、分組求和、列項(xiàng)相消等。本題主要利用了分組求和的方法。12、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中若則即可【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查的等差數(shù)列的性質(zhì)：若則，這一性質(zhì)是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。13、0,±2【解析】

根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當(dāng)兩圓外切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實(shí)數(shù)a的值為0或±2；故答案為0或±2．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．14、【解析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，得，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算，充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，可得，分析可知取最大時(shí)，取最大值，然后再對(duì)為中點(diǎn)和不是中點(diǎn)兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點(diǎn)，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則,故取最大時(shí)，取最大值.①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由垂徑定理知，即，此時(shí)，故；②當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不與垂直，設(shè)此時(shí)與所成角為，則，故；由垂線(xiàn)段最短知，此時(shí);綜上，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時(shí)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為公里.故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．16、【解析】正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線(xiàn)為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點(diǎn)睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見(jiàn)的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來(lái)求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過(guò)幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線(xiàn),交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據(jù)三角形的面積公式求出答案．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得，∴；?）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理等知識(shí)．在解三角形問(wèn)題中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系等問(wèn)題，故應(yīng)綜合把握．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)主要考察的是誘導(dǎo)公式，如等，本題難度不大，需要學(xué)生熟記公式19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】

(1)分別證明與即可.(2)設(shè)平面與的交點(diǎn)為,利用線(xiàn)面與面面平行的判定與性質(zhì)可知只需滿(mǎn)足,再利用平行所得的相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.【詳解】(1)連接.因?yàn)檎襟w,故,且,又.故平面.又平面,故.同理,,,故.又,平面.故平面.(2)設(shè)平面與的交點(diǎn)為,連接.因?yàn)?平面,,故.又,故.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為6,則因?yàn)?故故,所以.又平面則只需即可.此時(shí)又因?yàn)?故四邊形為平行四邊形.故.此時(shí).故.故【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直的證明以及根據(jù)線(xiàn)面平行求解參數(shù)的問(wèn)題,需要根據(jù)題意找到線(xiàn)與所證平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,并利用平面幾何中的相似方法求解.屬于中檔題.20、（1）312（2）【解析】試題分析：（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值.試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥校?，即于是倉(cāng)庫(kù)的容積，從而.令，得或（舍）.當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.【考點(diǎn)】函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)等方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇