任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式（重難點突破） 原卷版-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

專題11任意角與弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式

一'知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理

考點一角的概念

1.角的定義

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

2.角的分類

‘正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

按旋轉(zhuǎn)方向

負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

不同分類

.零角：射線沒有旋轉(zhuǎn)

角的分類，

像限角：角的終邊在第幾象限，這

按終邊位置,

個角就是第兒象限角

不同分類

、軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上

3.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S={6|6=a+k-360。，kGZ}

或{6|6=a+2kn,kGZ}.

知識點二弧度制及應(yīng)用

1.弧度制的定義

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

2.弧度制下的有關(guān)公式

角a的弧度數(shù)公式弧長用/表示)

①。-訓(xùn)

角度與弧度的換算1180?lrad-(J

弧長公式弧長l=\a\r

11,

扇形面積公式5=/=5|戊|/

知識點三任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么

定義y叫做a的正弦，記作X叫做a的余弦，記;叫做a的正切，記作

sina作cosatana

I+++

各象

II+———

限符

III——+

號

IV—十—

三角函數(shù)線

有向線段0/W為余弦

有向線段MP為正弦線有向線段川為正切線

線

考點四同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

⑴平方關(guān)系：sHa+cos2a=l(a6R).⑵商數(shù)關(guān)系：tana=^：(awkrc+5,kGZ

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧

技巧解讀適合題型

主要利用公式tan9=黑化成正

切弦互化表達(dá)式中含有sin0,cost?與tan

弦、余弦，或者利用公式:蔡:一tan?；?

成正切

1=sin2i?+cos2i?=cos2i?(1+tan2t?)=

"1"的變換表達(dá)式中需要利用"1"轉(zhuǎn)化

■n

(sinO±cosi?)2+2sini?cosi?=tan-

利用關(guān)系式（sini5±cosi?）2=l±2sin表達(dá)式中含有sini?±cosd或sin

和積轉(zhuǎn)換

3cos?進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化i?cos0

考點五三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

組數(shù)一二三四五

HR

角2kn+a(k￡Z)n+a-aJi-a2~a

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa一cosacoca—cocasina一sina

正切tanatana—tana一tana

三'重難點題型突破

重難點題型突破1任意角與弧度制

例1.（1）（2019?廣東省高一月考）角。=一2弧度，則。所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2）下列與畔■的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

4

9

A.2E+45°（A￡Z）B.》360。+二兀伙￡Z）

11

勺X

C.攵?360。-315。（2￡2）D.kn+—（女金Z）

A

（3）.（2020?海南臨高二中高二期末）（多選題）下列結(jié)論正確的是（）

7TT

A.是第三象限角

6

B.若圓心角為色的扇形的弧長為乃，則該扇形面積為包

32

3

C.若角。的終邊過點尸（一3,4）,則cosa=-《

D.若角a為銳角，則角2a為鈍角

【變式訓(xùn)練1-1].（1）終邊在直線y=x上的角的集合是（）

A.[a\a=——\-k7r.kGZ}B.{a\a=——卜2k7i,keZ}

44

3457r

C.{a\a=----\-k7r.kGZ}D.{a\a=-----卜2k7r,keZ)

44

（2）.1200,的角屬于第象限.

（3）.乃的角化為角度制的結(jié)果為,-135的角化為弧度制的結(jié)果為

重難點題型突破2扇形的弧長與面積公式

4

例2.（1）（2018?佛山市三水區(qū)實驗中學(xué)高一月考）已知扇形的半徑為2,面積為]乃，則

扇形的圓心角的弧度數(shù)為.

（2）已知扇形弧長為20cm,圓心角為100。，則該扇形的面積為cm2.

（3）已知扇形的周長為6,圓心角為1,則扇形的半徑為—；扇形的面積為一.

【變式訓(xùn)練2-1工（2019春?玉山縣校級月考）已知在半徑為6的圓。中，弦A8的長為6,

（1）求弦A8所對圓心角a的大小；

（2）求a所在的扇形的弧長/以及扇形的面積S.

【變式訓(xùn)練2-2】.（2019秋?常德期末）《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題，計

算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積

=；（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圓?。ê喎Q為弧因的弧）和以圓弧的端點為端點的線段（簡

稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于弧田的弧所

在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長A8等于2、與，其弧所在圓

為圓。，若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為則/AOB=（）

2

重難點題型突破3三角函數(shù)的概念

例3.（1）（2018?庫車縣伊西哈拉鎮(zhèn)中學(xué)高一月考）己知「卜后,可為角a的終邊上一

點，且sina=1,那么>的值等于

13

(2)若sina=—3,且a為第四象限角，則tana的值等于()

13

121255

A.一B.——C.—D.------

551212

【變式訓(xùn)練3-1】.已知角&的終邊上一點「（機(jī),一6）（加工0）,且cosa=q^

（1）求〃？的值;

(2)求出sina和tana.

3

【變式訓(xùn)練3-21.已知任意角a的終邊經(jīng)過點P（—3,祖），且cosa=-g,

⑴求加的值.（2）求sina與tana的值.

重難點題型突破4誘導(dǎo)公式

例4.（多選題）下列化簡正確的是（）

sin(-6z)

A.tan(7T4-1)=tanlB.—廣~~^二cosa

tan(360-a)

sin(COS(TT-a)tan(一兀-a)

c.=tanaD.=1

cos|［兀+a)sin(2K-a)

(2).cos225°=()

1V2_旦D6

A.-B.—C.

222

（3）已知sin@=g,則85（450。+。）的值是（）

11

A.-B.——

55

2762V6

C.------D.-----

55

【變式訓(xùn)練4-1].（1）（2020?茂名二模）已知cos（n+a）則sin（---Fa）的值為（）

2

3344

ua

?-S---

A.5B.55

(2).已知cos(a+d=|",貝ijsin(?-a)的值等于()

22

c與V5

-3D'±T

【變式訓(xùn)練4-2】.(2020?天津靜海一中高一期末)

sin(2萬一a)cos[；+a

，求/圖;

(1)已知/(a)

cos卜1+a卜an(乃+a)

(2)若tana=2,求4sin2a-3sinacosa-5cos2a的值;

(3)求sin50(1+Gtan10)的值;

，萬)3.(2j

(4)已知cos：—a求sma—丁.結(jié)合題目的解答過程總結(jié)三角函數(shù)求值

16)5(3)

(化筒)最應(yīng)該注意什么問題？

重難點題型突破5同角三角函數(shù)公式的應(yīng)用

例5.（1）（2016?湖南高一學(xué)業(yè)考試）若sina=5cosa，則tana

2cosct-￥sina

(2)(2020?日照模擬)已知tana=l,則-----------

eosa^.3sina

a)eo?(2ir-a)a>x(y—

【變式訓(xùn)練5-1】.（2019秋?廣安期末）已知八好=

(1)化簡/(a)；

（2）若a是第三象限角，且s切（。一行）,=｛，求/（a）的值.

【變式訓(xùn)練5-2】.（2020?甘肅省靜寧縣第一中學(xué)高一月考（理））已知

7C71.1

——<x<—,sinx+cosx=-

225

2

八、十sinx-cosx+sinx皿出

(1)求------------------的值

1+tanx

⑵求sinx-cosx的值.

四、課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）

1.（四川省宜賓市2018-2019學(xué)年教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測）已知角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x

軸的非負(fù)半軸重合，P-坐,2為其終邊上一點，則sin兀）

227+a=（）

1J、27

百11D.走

A-----B.---C.一

2222

2.(2020全國D)若a為第四象限角，則()

A.cos2a>0B.cos2<z<0C.sin2a>0D.sin2a<0

sin5一a)2

3、已知,三/\==，則tana()

2sma+3cos(-a)5

,22