上海外國語大學附屬浦東外國語學校2022-2023學年高二下學期期末數學試卷（解析）

高中數學精編資源上海外國語大學附屬浦東外國語學校2022學年第二學期高二年級期末數學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1.設函數在處導數存在，若則____________.【答案】【解析】【分析】利用導數的定義可得出的值.【詳解】由導數的定義可得.故答案為：.2.2和8的等差中項是________.【答案】5【解析】【分析】根據等差中項的概念，直接計算可得結果.【詳解】2和8的等差中項為故答案為：5【點睛】本題考查等差中項的概念和計算，屬基礎題.3.若，則x的值為______.【答案】3或4【解析】【分析】根據組合數公式的性質求解即可【詳解】因為，所以或，故答案為：3或44.若直線是圓一條對稱軸，則__________.【答案】##0.5【解析】分析】由已知，直線過圓心即可求解.【詳解】由題，直線過圓心，將代入直線方程得，解得：.故答案為：.5.計算_____________．【答案】2【解析】【分析】根據無窮等比數列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：2.6.在的二項展開式中，系數最大的項為______.【答案】70【解析】【分析】寫出二項展開式的通項公式，得到當時，二項展開式的系數為正，求出各項，得到系數最大的項.【詳解】的二項展開式為，顯然當時，二項展開式的系數為正，當時，二項展開式的系數為負，其中，，，故系數最大的項為.故答案為：707.某校組織“杭州亞運會”知識競賽，元元從3道選擇題和2道填空題中不放回地每次隨機抽取1道作答．記事件為“第一次抽到選擇題”，事件為“第二次抽到填空題”，則__________．【答案】##0.75【解析】【分析】利用條件概率的定義，結合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】當第二次抽到填空題且第一次抽到選擇題，共有種;當第二次抽到填空題，第一次抽到是填空題時有種，故總數為8種，則，故答案為：．8.若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則實數m的取值范圍為_______【答案】【解析】【分析】先求得直線過的定點坐標，再根據直線與橢圓總有公共點，由點P在橢圓上或在橢圓的內部求解.【詳解】因為焦點在x軸上的橢圓，所以因為直線過定點，且直線與橢圓總有公共點，所以點P在橢圓上或在橢圓的內部，即解得，綜上，故答案為：9.某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種（用數字作答）.【答案】216【解析】【詳解】每種顏色的燈泡都至少用一個，即用了四種顏色的燈進行安裝，分

3

步進行，第一步

,A

、B.

C

三點選三種顏色燈泡共有

種選法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中選一個裝第

4

種顏色的燈泡，有

3

種情況；第三步

,

為剩下的兩個燈選顏色

,

假設剩下的為

B1

、

C1,

若

B1

與

A

同色

,

則

C1

只能選

B

點顏色；若

B1

與

C

同色

,

則

C1

有A.

B

處兩種顏色可選,故為

B1

、

C1

選燈泡共有

3

種選法，得到剩下的兩個燈有

3

種情況，則共有

×3×3=216

種方法．故答案為

21610.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現：“平面內到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，、，點滿足，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設點，利用已知條件求出點的軌跡方程，利用平面向量數量積的運算性質可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設點，由可得，整理可得，化為標準方程可得，因為為的中點，所以，，記圓心為，當點為線段與圓的交點時，取最小值，此時，，所以，.故答案為：.11.已知函數，現給出下列結論：①有極小值，但無最小值②有極大值，但無最大值③若方程恰有一個實數根，則④若方程恰有三個不同實數根，則其中所有正確結論的序號為_________【答案】②④【解析】【詳解】所以當時，；當時，；當時，；因此有極小值，也有最小值，有極大值，但無最大值；若方程恰有一個實數根，則或;若方程恰有三個不同實數根，則,即正確結論的序號為②④點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．12.對于正整數，最接近的正整數設為，如，記，從全體正整數中除去所有，余下的正整數按從小到大的順序排列得到數列，則數列的前8項和為_________.【答案】【解析】【分析】對于正整數，就、分類討論后可求，從而可求，故可求前8項和.【詳解】對于正整數，必存在正整數，使得.如果，則，故，故，此時，故故此時取值為區(qū)間中的所有正整數.如果即，則，故，故，此時，故此時取值為區(qū)間中的所有正整數.所以當時，取值為區(qū)間中所有的正整數，而，，故表示中除以外的所有正整數，取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數.取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數.依次取，則，取值為區(qū)間中除以外的所有正整數.故，故前8項和為：，故答案為：.【點睛】思路點睛：對于數列的新定義問題，首先要弄清楚數列的形成過程，特別是與數論有關的新數列構建問題，要能根據整數的形式做合理的分類.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共4題，每題有且只有一個正確答案.考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.13.已知函數y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數，且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．故選B.14.若，則不正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法，即可判斷各選項的正誤.【詳解】時，A正確；時；時；所以兩式相減化簡得，，B錯誤；兩式相加化簡得，又，所以，C錯誤；，D正確.故選：BC15.分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數為，則（）A.144 B.89 C.55 D.34【答案】A【解析】【分析】已知表示第行中的黑圈個數，設表示第行中的白圈個數，則有，利用遞推關系求解.【詳解】已知表示第行中的黑圈個數，設表示第行中的白圈個數，則由于每個白圈產生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產生下一行的一個白圈和兩個黑圈，所以，又因為所以，所以，，，，故選:A.16.已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當的面積最小時，的外接圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定的面積最小時點坐標，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點到直線的距離，即當點運動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因為是直角三角形，所以斜邊的中點坐標為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的相應編號規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.（1）拋物線的焦點在軸上且拋物線過點，求拋物線的標準方程；（2）雙曲線中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，又雙曲線的實軸長為4，且一條漸近線為，求雙曲線的標準方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據點所在的象限設拋物線方程，代入點求得解；（2）根據漸近線方程設出雙曲線方程，根據實軸長分類討論求解即可.【詳解】（1）因為點在第三象限，且拋物線的焦點在軸上，設所求拋物線方程為，點代入，可得，故所求拋物線的標準方程為.（2）因為一條漸近線為，所以設雙曲線方程為，當時，雙曲線為，此時實軸長為，所以，所以雙曲線方程為，當時，雙曲線為，此時實軸長為，所以，所以雙曲線方程為，故所求雙曲線方程為或.18.電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內部就采用了每一位只有或兩種數字的記數法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由個二進制位構成.問：（1）一個字節(jié)(位)最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼(碼)包含了個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？【答案】（1）256個；（2）2個.【解析】【分析】（1）一個字節(jié)共有位，每位上有種選擇，根據分步乘法計數原理，即可得解；（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示個字符，不夠表示，繼續(xù)利用分步相乘原理計算個字節(jié)可以表示的不同的字符，判斷與的大小關系即可.【詳解】（1）一個字節(jié)共有位，每位上有種選擇，根據分步乘法計數原理，一個字節(jié)最多可以表示個不同的字符；（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示個字符，，一個字節(jié)不夠；根據分步乘法計數原理，個字節(jié)可以表示個不同的字符，，所以每個漢字至少要用個字節(jié)表示.【點睛】關鍵點點睛：本題考查分步乘法計數原理，熟練掌握分步計數原理的概念及計算公式是解題的關鍵，考查學生的邏輯思維與運算能力，屬于基礎題.19.已知數列的前項和為，當時，.（1）證明：數列是等差數列；（2）若，數列前項和為，若恒成立，求正整數的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）8【解析】【分析】（1）時，用代入化簡，用等差數列的定義即可證明；（2）用錯位相減法求出，不等式可化為恒成立，再用基本不等式求得的最大值，從而可得的最大值.【小問1詳解】由題意知，當時，，所以，整理得：，即，所以數列是以1為公差的等差數列.小問2詳解】由，由（1）知是以2為首項、1為公差的等差數列，所以，所以，所以，①所以，②①-②得，所以，所以.因為，所以，由于，當且僅當時等號成立，故正整數的最大值為8.20.已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】（Ⅰ）直線與圓相切∴橢圓C1的方程是（Ⅱ）∵MP=MF2，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F2（2，0）的距離，∴動點M的軌跡C是以為準線，F2為焦點的拋物線∴點M的軌跡C2的方程為（Ⅲ）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，，則直線AC的方程為聯立所以由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得∵，∴四邊形ABCD的面積為由所以時取等號．易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為21.已知，函數.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若有零點，求實數的取值范圍；（3）若有兩個相異零點，，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程；（2）對分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據零點解得，化簡欲證不等式，再令，構造關于t的函數，利用導數法求得范圍證不等式.【小問1詳解】函數的定義域為，，當時，，則切線方程為，即切線方程為.【小問2詳解