高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第八章 立體幾何

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第八章立體幾何目錄第1課時空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖第2課時空間幾何體的表面積、體積專題研究球與幾何體的切接問題第3課時空間點、線、面的位置關(guān)系第4課時直線、平面平行的判定及性質(zhì)第5課時直線、平面垂直的判定及性質(zhì)第1課時空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖1．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是()A．正方體的三視圖是三個全等的正方形B．球的三視圖是三個全等的圓C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓答案B解析畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全等的圓．2．如圖所示，幾何體的正視圖與側(cè)視圖都正確的是()答案B解析側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除．而正視時，有半個平面是沒有的，所以應(yīng)該有一條實對角線，且其對角線位置應(yīng)為B中所示，故選B.3．如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體是()A．四棱柱 B．三棱柱C．長方體 D．三棱錐答案B解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，即為一個平放的三棱柱．4.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的前面是()A．定 B．有C．收 D．獲答案B解析這是一個正方體的平面展開圖，其直觀圖如圖：共有六個面，其中面“努”與面“有”相對，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”．5．一個幾何體的三視圖如圖，則組成該幾何體的簡單幾何體為()A．圓柱和圓錐 B．正方體和圓錐C．四棱柱和圓錐 D．正方體和球答案C解析本題是三視圖確定直觀圖．6.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()答案B解析D項為主視圖或者側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.7．如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析正視圖應(yīng)該是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖應(yīng)該是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③，故選B.8．已知一個四棱錐的高為3，其底面用斜二側(cè)畫法所畫的水平放置的直觀圖是一個邊長為1的正方形，則此四棱錐的體積為()A．2eq\r(2) B．6eq\r(2)C．1 D.eq\r(2)答案A解析因為底面用斜二側(cè)畫法所畫的水平放置的直觀圖是一個邊長為1的正方形，所以在直角坐標(biāo)系中，底面是邊長為1和3的平行四邊形，且平行四邊形的一條對角線垂直于平行四邊形的短邊，此對角線的長為2eq\r(2)，所以該四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×1×3＝2eq\r(2).9．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()答案C解析通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求．10．一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是()A．①② B．③④C．①③ D．②④答案D解析由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)．故選D.11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是線段A1C1上的動點，則三棱錐P－BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案D解析正視圖，底面B，C，D三點，其中D與C重合，隨著點P的變化，其正視圖均是三角形且點P在正視圖中的位置在邊A1D1上移動，由此可知，設(shè)正方體的棱長為a，則S正視圖＝eq\f(1,2)×a2；設(shè)A1C1的中點為O，隨著點P的移動，在俯視圖中，易知當(dāng)點P在OC1上移動時，S俯視圖就是底面三角形BCD的面積，當(dāng)點P在OA1上移動時，點P越靠近A1，俯視圖的面積越大，當(dāng)?shù)竭_(dá)A1的位置時，俯視圖為正方形，此時俯視圖的面積最大，S俯視圖＝a2，所以eq\f(S俯視圖,S正視圖)的最大值為eq\f(a2,\f(1,2)a2)＝2，故選D.12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長度為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)答案C解析在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為AD的中點，該幾何體的直觀圖如圖中三棱錐D1－MB1C.故通過計算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2eq\r(2)，D1M＝MC＝eq\r(5)，MB1＝3，故最長棱的長度為3，故選C.13．某三棱錐的三視圖如圖所示，且圖中的三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為()A．32 B．32eq\r(7)C．64 D．64eq\r(7)答案C解析將三視圖還原為如圖所示的三棱錐P－ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2eq\r(7)，PA2＋y2＝102，(2eq\r(7))2＋PA2＝x2，所以x2＋y2＝128，所以xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝64,當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝8時取等號，因此xy的最大值是64.故選C.14．若將一個圓錐側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為2cm的半圓，則該圓錐的高為________cm.答案eq\r(3)解析設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，則2πr＝2π，解得r＝1cm，∴h＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)cm.15．已知正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則這個四面體的正視圖的面積為________．答案2eq\r(2)解析由俯視圖可得，原正四面體AMNC可視作是如圖所示的正方體的一內(nèi)接幾何體，則該正方體的棱長為2，正四面體的正視圖為三角形，其面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).16．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖1，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1如圖2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為________．答案96解析由俯視圖的直觀圖可設(shè)y′軸與C1B1交于D1點，O1D1＝2eq\r(2)，故OD＝4eq\r(2)，俯視圖是邊長為6的菱形，則該幾何體是直四棱柱，側(cè)棱長為4，則側(cè)面積為6×4×4＝96.17．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的構(gòu)成上方為________；下方為________．答案四分之一圓錐圓柱講評已知三視圖，判斷幾何體的技巧：①一般情況下，根據(jù)正視圖、俯視圖確定是柱體、錐體還是組合體．②根據(jù)俯視圖確定是否為旋轉(zhuǎn)體，確定柱體、錐體類型、確定幾何體擺放位置．③綜合三視圖特別是在俯視圖的基礎(chǔ)上想象判斷幾何體．④一定要熟記常見幾何體的三視圖！第2課時空間幾何體的表面積、體積1．如圖，一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1答案B解析根據(jù)題意得，該幾何體是三棱錐，底面為等腰直角三角形，高為1，故體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).2．如圖是某空間幾何體的三視圖，其中正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為直角三角形、直角梯形、等邊三角形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\r(3)答案D解析如圖所示，該幾何體為四棱錐，其中側(cè)面ABCD⊥底面PAB，側(cè)面ABCD為直角梯形，AD∥BC，DA⊥AB，該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故選D.3.高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案C解析由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2，底面積為eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積是原直三棱柱體積的eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故選C.4．如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，圓心為B，半徑為1的圓與AB，BC分別交于點E，F(xiàn)，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于()A．π B．6πC.eq\f(4π,3) D．4π答案B解析由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個半球和一個圓錐．該圓柱的底面半徑R＝BA＝2，母線長l＝AD＝2，故該圓柱的體積V1＝π×22×2＝8π，半球的半徑為1，其體積V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，圓錐的底面半徑為2，高為1，其體積V3＝eq\f(1,3)π×22×1＝eq\f(4π,3)，所以陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積V＝V1－V2－V3＝6π.5．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)，則這個圓錐的體積為()A.eq\f(\r(15),3) B.eq\f(32\r(35)π,27)C.eq\f(128\r(2)π,81) D.eq\f(8\r(3),3)答案C解析作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖中陰影部分所示，該小蟲爬行的最短路為PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4eq\r(3)，由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq\f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝－eq\f(1,2)，∴∠P′OP＝eq\f(2π,3).設(shè)底面圓的半徑為r，圓錐的高為h，則有2πr＝eq\f(2π,3)×4，∴r＝eq\f(4,3)，h＝eq\r(l2－r2)＝eq\f(8\r(2),3)，∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(128\r(2)π,81).6．如圖，某幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是半徑為eq\r(3)的半圓和相同的正三角形，其中正三角形的上頂點是半圓弧的中點，底邊在直徑上，則該幾何體的表面積是()A．6π B．8πC．10π D．11π答案C解析由三視圖可知，該幾何體是一個半球挖去一個圓錐后得到的幾何體，且半球的底面半徑為eq\r(3)，圓錐的軸截面為等邊三角形，其高為eq\r(3)，故圓錐的底面半徑為1，母線長為2.該幾何體的表面由半球的側(cè)面、圓錐的側(cè)面以及半球的底面除去圓錐的底面三部分構(gòu)成．半球的側(cè)面積S1＝eq\f(1,2)×4π×(eq\r(3))2＝6π，圓錐的側(cè)面積S2＝π×1×2＝2π，半球的底面圓的面積S3＝π×(eq\r(3))2＝3π，圓錐的底面積S4＝π×12＝π，所以該幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3－S4＝6π＋2π＋3π－π＝10π.故選C.7．甲、乙兩個幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，俯視圖不同，如圖所示，記甲的體積V甲，乙的體積為V乙，則()A．V甲<V乙 B．V甲＝V乙C．V甲>V乙 D．V甲，V乙的大小關(guān)系不能確定答案C解析由三視圖知，甲幾何體是一個以邊長為1的正方形為底面的四棱錐，乙?guī)缀误w是在甲幾何體的基礎(chǔ)上去掉一個三個面是直角三角形的三棱錐后得到的一個三棱錐，所以V甲>V乙，故選C.8．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為12π＋eq\f(8\r(5),3)，則其正視圖中x的值為()A．5 B．4C．3 D．2答案C解析由三視圖知，該幾何體是一個組合體，其上面是一個正四棱錐，正四棱錐的底面是對角線長度為4的正方形，正四棱錐的側(cè)棱長是3.該幾何體的下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是x.根據(jù)組合體的體積，得π·22x＋4×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(32－22)×eq\f(1,3)＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，∴4πx＋eq\f(8\r(5),3)＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，∴x＝3.故選C.9．如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()A．4＋6π B．8＋6πC．4＋12π D．8＋12π答案B解析由三視圖知，該幾何體為四棱錐與半圓柱的上下組合體，其中半圓柱的底面圓的直徑為4，母線長為3，四棱錐的底面是長為4，寬為3的矩形，高為2，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×π×22×3＋eq\f(1,3)×4×3×2＝8＋6π，故選B.10．如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B．2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4答案B解析由三視圖可知，該幾何體是由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體，其直觀圖如圖所示，其表面積S＝2×eq\f(1,2)π×12＋2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)π×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4，故選B.11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積可能為()A．π＋eq\f(4,3) B．π＋2C．2π＋eq\f(4,3) D．2π＋2答案A解析由三視圖可知，該幾何體由半個圓柱和一個三棱錐組合而成．故體積為eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝π＋eq\f(4,3).12．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為()A．16－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(4π,3)C．16－eq\f(4π,3) D．16(1－eq\f(π,3))答案C解析根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱內(nèi)挖去一個圓錐后剩余的部分，畫出直觀圖如圖所示，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，得該幾何體的體積V＝V四棱柱－V圓錐＝22×4－eq\f(1,3)π×12×4＝16－eq\f(4π,3)，故選C.13.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為()A．24－π B．24－3πC．24＋π D．24－2π答案A解析由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體挖去右下方eq\f(1,8)球后得到的幾何體，該球以頂點為球心，2為半徑，則該幾何體的表面積為2×2×6－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π，故選A.14．將一個底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱的最大體積為()A.eq\f(π,27) B.eq\f(8π,27)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,9)答案B解析如圖所示，設(shè)圓柱的半徑為r，高為x，體積為V，由題意可得eq\f(r,1)＝eq\f(2－x,2)，所以x＝2－2r，所以圓柱的體積V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)．設(shè)V(r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，則V′(r)＝2π(2r－3r2)，由2π(2r－3r2)＝0，得r＝eq\f(2,3)，所以圓柱的最大體積Vmax＝2π[(eq\f(2,3))2－(eq\f(2,3))3]＝eq\f(8π,27)，故選B.15.若一個半徑為2的球體經(jīng)過切割之后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．答案16π解析由三視圖，可知該幾何體是一個球體挖去eq\f(1,4)之后剩余的部分，故該幾何體的表面積為球體表面積的eq\f(3,4)與兩個半圓面的面積之和，即S＝eq\f(3,4)×(4π×22)＋2×(eq\f(1,2)π×22)＝16π.16．如圖所示的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連接BC′，證明：BC′∥平面EFG.答案(1)略(2)eq\f(284,3)cm3(3)略解析(1)如圖所示．(2)所求多面體的體積是：V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)cm3.(3)如圖所示，復(fù)原長方體ABCD－A′B′C′D′，連接AD′，則AD′∥BC′.∵E，G分別是AA′，A′D′的中點，∴AD′∥EG.從而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，∴BC′∥平面EFG.專題研究球與幾何體的切接問題1．正三棱錐的高和底面邊長都等于6，則其外接球的表面積為()A．64π B．32πC．16π D．8π答案A解析如圖，作PM⊥平面ABC于點M，則球心O在PM上，PM＝6，連接AM，AO，則OP＝OA＝R(R為外接球半徑)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC為等邊三角形，故AM＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，則R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，則R＝4，所以球的表面積S＝4πR2＝64π.2．體積為8的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)有一個體積為V的球，則V的最大值為()A．8π B．4πC.eq\f(8\r(2),3)π D.eq\f(4π,3)答案D解析要使球的體積V最大，則球為正方體的內(nèi)切球．∵正方體的體積為8，∴正方體的棱長為2，∴內(nèi)切球的半徑為1，體積為eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3)，故選D.3．已知A，B，C，D是球O上不共面的四點，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，則球O的體積為()A.eq\f(\r(3),2)π B.eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(3)π答案A解析由題知，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠CBA＝eq\f(π,2)，即BC⊥AB，又BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，因為AB＝AD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此時可將點A，B，C，D看成棱長為1的正方體上的四個頂點，球O為正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，故2R＝eq\r(12＋12＋12)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π，故選A.4．已知球的直徑SC＝6，A，B是該球球面上的兩點，且AB＝SA＝SB＝3，則三棱錐S－ABC的體積為()A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\f(9\r(2),2)答案D解析設(shè)該球球心為O，因為球的直徑SC＝6，A，B是該球球面上的兩點，且AB＝SA＝SB＝3，所以三棱錐S－OAB是棱長為3的正四面體，其體積VS－OAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，同理VO－ABC＝eq\f(9\r(2),4)，故三棱錐S－ABC的體積VS－ABC＝VS－OAB＋VO－ABC＝eq\f(9\r(2),2)，故選D.5．在一個半球內(nèi)挖去一個多面體，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A．4eq\r(6)π－8 B．8eq\r(3)π－8C．8eq\r(6)π－4 D．8eq\r(3)π－4答案A解析由三視圖可知半球內(nèi)挖去的多面體是棱長為2的正方體，且該正方體是半球的內(nèi)接正方體．設(shè)半球的半徑為R，則R＝eq\r(2＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×(eq\r(6))3－23＝4eq\r(6)π－8.6．已知一個水平放置的各棱長均為4的三棱錐形容器內(nèi)有一小球O(質(zhì)量忽略不計)，現(xiàn)從該三棱錐形容器的頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A.eq\f(7,6)π B.eq\f(4,3)πC.eq\f(2,3)π D.eq\f(1,2)π答案C解析由題知，沒有水的部分的體積是三棱錐形容器的體積的eq\f(1,8)，三棱錐形容器的體積為eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)·42·eq\f(\r(6),3)·4＝eq\f(16\r(2),3)，所以沒有水的部分的體積為eq\f(2\r(2),3).設(shè)其棱長為a，則其體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(2\r(2),3)，∴a＝2，設(shè)小球的半徑為r，則4×eq\f(1,3)×eq\r(3)×r＝eq\f(2\r(2),3)，解得r＝eq\f(\r(6),6)，∴球的表面積為4π×eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)π，故選C.7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A．36π B．8πC.eq\f(9,2)π D.eq\f(27,8)π答案B解析根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形、高為2的三棱錐，如圖所示．該三棱錐的外接球是對應(yīng)直三棱柱的外接球．設(shè)外接球的半徑為R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圓的半徑為1，∴R2＝1＋1＝2，∴外接球的表面積是4πR2＝8π，故選B.8．把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(皮球不變形)，則皮球的半徑為()A．10eq\r(3)cm B．10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm答案B解析依題意，在四棱錐S－ABCD中，所有棱長均為20cm，連接AC，BD交于點O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知點O到AB，BC，CD，AD的距離均為10cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10eq\r(2)cm，AS＝20cm，所以O(shè)到SA的距離d＝10cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心，所以皮球的半徑R＝10cm，故選B.9．四棱錐P－ABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2eq\r(2)，則該球的表面積為()A．9π B．3πC．2eq\r(2)π D．12π答案D解析該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2eq\r(2)，可知正方形ABCD對角線AC的長為2eq\r(2)，可得正方形ABCD的邊長a＝2，在△PAC中，PC＝eq\r(22＋（2\r(2)）2)＝2eq\r(3)，球的半徑R＝eq\r(3)，∴S表＝4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π.10．若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________．答案eq\f(6\r(3),π)解析設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的表面積為S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).11．已知一圓柱內(nèi)接于球O，且圓柱的底面圓的直徑與母線長均為2，則球O的表面積為________．答案8π解析圓柱的底面圓的直徑與母線長均為2，所以球的直徑為eq\r(22＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2)，即球半徑為eq\r(2)，所以球的表面積為4π×(eq\r(2))2＝8π.12．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是________；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是________．答案eq\f(1,3)3π解析由三視圖知該幾何體是底面為1的正方形，高為1的四棱錐，故體積V＝eq\f(1,3)×1×1×1＝eq\f(1,3)，該幾何體與棱長為1的正方體具有相同的外接球，外接球直徑為eq\r(3)，該球表面積S＝4π×(eq\f(\r(3),2))2＝3π，正方體、長方體的體對角線即為外接球的直徑．13．已知三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，則球O的體積為________．答案eq\f(32π,3)解析設(shè)A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2eq\r(3)，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為eq\f(32π,3).第3課時空間點、線、面的位置關(guān)系1．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．b?α B．b∥αC．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α答案D解析b與α相交或b?α或b∥α都可以．2．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析可用反證法．假設(shè)l與l1，l2都不相交，因為l與l1都在平面α內(nèi)，于是l∥l1，同理l∥l2，于是l1∥l2，與已知矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相交．3．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面答案B解析對于選項A，若過點P有直線n與l，m都平行，則l∥m，這與l，m異面矛盾；對于選項B，過點P與l，m都垂直的直線，即過P且與l，m的公垂線段平行的那一條直線；對于選項C，過點P與l，m都相交的直線有一條或零條；對于選項D，過點P與l，m都異面的直線可能有無數(shù)條．4．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確是()A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面答案A解析連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點共線．5．下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖形是()答案D解析①在A中易證PS∥QR，∴P，Q，R，S四點共面．②在C中易證PQ∥SR，∴P，Q，R，S四點共面．③在D中，∵QR?平面ABC，PS∩面ABC＝P且P?QR，∴直線PS與QR為異面直線．∴P，Q，R，S四點不共面．④在B中P，Q，R，S四點共面，證明如下：取BC中點N，可證PS，NR交于直線B1C1上一點，∴P，N，R，S四點共面，設(shè)為α.可證PS∥QN，∴P，Q，N，S四點共面，設(shè)為β.∵α，β都經(jīng)過P，N，S三點，∴α與β重合，∴P，Q，R，S四點共面．6．將圖①中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖②)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直答案C解析在題圖①中，AD⊥BC，故在題圖②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因為BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.7．空間不共面的四點到某平面的距離相等，則這樣的平面的個數(shù)為()A．1 B．4C．7 D．8答案C解析當(dāng)空間四點不共面時，則四點構(gòu)成一個三棱錐，如圖．①當(dāng)平面一側(cè)有一點，另一側(cè)有三點時，令截面與四個面之一平行時，滿足條件的平面有4個；②當(dāng)平面一側(cè)有兩點，另一側(cè)有兩點時，滿足條件的平面有3個，所以滿足條件的平面共有7個．8．已知平面α及直線a，b，則下列說法正確的是()A．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行B．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不可能垂直C．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行D．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不可能都垂直答案D解析對于A，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行、相交或異面，故A錯誤；對于B，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點C在平面α內(nèi)，邊AC，BC可以與平面α都成30°角，故B錯誤；C顯然錯誤；對于D，假設(shè)直線a，b與平面α都垂直，則直線a，b平行，與已知矛盾，則假設(shè)不成立，故D正確．故選D.9．一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個正方體中，有下列四個命題：①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°.其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析將平面展開圖還原成正方體(如圖所示)．對于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；對于②，BD與GC顯然成異面直線．如圖，連接EB，ED，則BM∥GC，所以∠MBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補(bǔ)角)．在等邊△BDM中，∠MBD＝60°，所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；對于③，BD與MN為異面垂直，故③錯誤；對于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯誤．綜上可得①②正確．10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運(yùn)動，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]答案D解析當(dāng)P與D1重合，CP∥BA1，所成角為0°；當(dāng)P與A點重合，CA∥A1C1，連BC1，△A1BC1為正三角形，所成角為60°，又由于異面直線所成角為(0°，90°]，所以選D.11．如圖所示，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，給出下列四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交；②過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交；④過M點有且只有一個平面與直線AB，B1C1都平行．其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案C解析將過點M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉(zhuǎn)任意不等于eq\f(kπ,2)(k∈Z)的角度，所得的平面與直線AB，B1C1都相交，故③錯誤，排除A，B，D，選C.12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1B1與BD1所成角的大小為________．答案60°解析∵A1B1∥AB，∴∠ABD1為異面直線A1B1與BD1所成的角，連接AD1，則在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面為S，當(dāng)CQ＝1時，S的面積為________．答案eq\f(\r(6),2)解析當(dāng)CQ＝1時，Q與C1重合．如圖，取A1D1，AD的中點分別為F，G.連接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F為A1D1的中點，P為BC的中點，G為AD的中點，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由題意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四邊形C1D1GP為平行四邊形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F(xiàn)四點共面，∴四邊形APC1F為菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，過點A，P，Q的平面截正方體所得的截面S為菱形APC1F，∴其面積為eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).14．有下列四個命題：①若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R，則P，Q，R三點共線；②若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；③空間中不共面的五個點一定能確定10個平面；④若a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面．其中正確命題的序號是________．答案①②解析在①中，因為P，Q，R三點既在平面ABC上，又在平面α上，所以這三點必在平面ABC與平面α的交線上，即P，Q，R三點共線，所以①正確．在②中，因為a∥b，所以a與b確定一個平面α，而l上有A，B兩點在該平面上，所以l?α，即a，b，l三線共面于α；同理a，c，l三線也共面，不妨設(shè)為β，而α，β有兩條公共的直線a，l，所以α與β重合，即這些直線共面，所以②正確．在③中，不妨設(shè)其中有四點共面，則它們最多只能確定7個平面，所以③錯．在④中，由題設(shè)知，a與α相交，設(shè)a∩α＝P，如圖，在α內(nèi)過點P的直線l與a共面，所以④錯．15.如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？答案(1)略(2)共面，證明略解析(1)證明：∵G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，∴GH綊eq\f(1,2)AD.又∵BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．第4課時直線、平面平行的判定及性質(zhì)1．下列關(guān)于線、面的四個命題中不正確的是()A．平行于同一平面的兩個平面一定平行B．平行于同一直線的兩條直線一定平行C．垂直于同一直線的兩條直線一定平行D．垂直于同一平面的兩條直線一定平行答案C解析垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，可能相交或異面．本題可以以正方體為例證明．2．設(shè)α，β，γ為平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C3．若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的長分別是8，12，過AB的中點E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長為()A．10 B．20C．8 D．4答案B解析設(shè)截面四邊形為EFGH，F(xiàn)，G，H分別是BC，CD，DA的中點，∴EF＝GH＝4，F(xiàn)G＝HE＝6.∴周長為2×(4＋6)＝20.4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()A．有無數(shù)條 B．有2條C．有1條 D．不存在答案A解析因為平面D1EF與平面ADD1A1有公共點D1，所以兩平面有一條過D1的交線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的任意直線都與平面D1EF平行，這樣的直線有無數(shù)條，故選A.5．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分別是BC，CD的中點，則()A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形答案B解析如圖，由條件知，EF∥BD，EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF＝eq\f(2,5)HG，∴四邊形EFGH為梯形．∵EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵四邊形EFGH為梯形，∴線段EH與FG的延長線交于一點，∴EH不平行于平面ADC.故選B.6．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當(dāng)PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D解析連接AC交BE于G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).7．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有()A．4條 B．6條C．8條 D．12條答案B解析作出如圖的圖形，E，F(xiàn)，G，H是相應(yīng)棱的中點，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面EFGH中．由此四點可以組成的直線有：EF，GH，F(xiàn)G，EH，GE，HF共有6條．8．如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝4，點E，F(xiàn)，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點，動點P在四邊形EFGH的內(nèi)部運(yùn)動，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動點P的軌跡長度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4答案D解析連接MF，F(xiàn)H，MH，因為M，F(xiàn)，H分別為BC，AB，A′B′的中點，所以MF∥平面AA′C′C，F(xiàn)H∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M與線段FH上任意一點的連線都平行于平面AA′C′C，所以點P的運(yùn)動軌跡是線段FH，其長度為4，故選D.9．有以下三種說法，其中正確的是________．①若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線；②若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a不可能與α平行；③若直線a，b滿足a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面．答案①解析對于①，若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線，是真命題，故①正確；對于②，若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a可能與α平行，故②錯誤；對于③，若直線a，b滿足a∥b，則直線a與直線b可能共面，故③錯誤．10．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．答案平面ABC和平面ABD解析連接AM并延長交CD于E，連接BN并延長交CD于F.由重心的性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點，且該點為CD的中點E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.11．如圖，在四面體ABCD中，AB＝CD＝2，直線AB與CD所成的角為90°，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是________．答案1解析∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC∩平面EFGH＝HG，∴HG∥AB.同理：EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD.∴FG∥EH，EF∥HG.故四邊形EFGH為平行四邊形．又AB⊥CD，∴四邊形EFGH為矩形．設(shè)eq\f(BF,BD)＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(FG,CD)＝x(0≤x≤1)，則FG＝2x，HG＝2(1－x)，S四邊形EFGH＝FG×HG＝4x(1－x)＝－4(x－eq\f(1,2))2＋1，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，四邊形EFGH面積的最大值為1.12.如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點．(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；(2)求證：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)連接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四邊形C1FGB1是平行四邊形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四邊形A1GFD1是平行四邊形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E，B，F(xiàn)，D1四點共面．(2)∵H是B1C1的中點，∴B1H＝eq\f(3,2).又B1G＝1，∴eq\f(B1G,B1H)＝eq\f(2,3).又eq\f(FC,BC)＝eq\f(2,3)，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且A1G?平面A1GH，HG?平面A1GH，BF?平面A1GH，BE?平面A1GH，∴BF∥平面A1GH，BE∥平面A1GH.又∵BF∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.13．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．證明：EF∥平面PAB.答案略解析證明：如圖，取PB的中點M，連接MF，AM.因為F為PC的中點，故MF∥BC且MF＝eq\f(1,2)BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.因為E為AD的中點，即AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，所以MF∥AE且MF＝AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM.又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.14．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC中點)．(1)求證：MN∥平面CDEF；(2)求多面體A—CDEF的體積．答案(1)略(2)eq\f(8,3)解析(1)證明由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∴∠CBF＝90°.取BF中點G，連接MG，NG，由M，N分別是AF，BC中點，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF為直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝eq\r(2).∴VA－CDEF＝eq\f(1,3)S四邊形CDEF·AH＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).15．如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側(cè)棱PC上的動點．(1)求四棱錐P－ABCD的表面積；(2)在棱PC上是否存在一點E，使得AP∥平面BDE？若存在，指出點E的位置，并證明；若不存在，請說明理由．答案(1)3＋eq\r(5)(2)存在，E為PC中點證明(1)∵四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴PC⊥BC，PC⊥DC，∴S△PCD＝S△PCB＝eq\f(1,2)×1×2＝1，PB＝PD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∵AB⊥CB，AB⊥PC，∴AB⊥平面PCB，∴AB⊥PB，∴S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PB＝eq\f(\r(5),2).同理，S△PAD＝eq\f(\r(5),2).又S正方形ABCD＝1，∴SP－ABCD＝S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PAD＋S△PCD＋S△PCB＝1＋eq\f(\r(5),2)＋eq\f(\r(5),2)＋1＋1＝3＋eq\r(5).(2)在棱PC上存在點E，且E是PC的中點時，AP∥平面BDE.證明：如圖，連接AC交BD于點O，連接OE，則在△ACP中，O，E分別為AC，PC的中點，∴OE∥AP，又OE?平面BDE，AP?平面BDE，∴AP∥平面BDE.第5課時直線、平面垂直的判定及性質(zhì)1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案B解析A項，若α⊥β，m?α，n?β，則m∥n與m，n與異面直線均有可能，不正確；C項，若m⊥n，m?α，n?β，則α，β有可能相交但不垂直，不正確；D項，若α∥β，m?α，n?β，則m，n有可能是異面直線，不正確，故選B.2．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α答案C解析對于C，在平面α內(nèi)存在c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；D中一定推出a∥b.3．如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，則AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，則平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上，故選A.4．三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()①CC1與B1E是異面直線；②AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．② B．①③C．①④ D．②④答案A解析對于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C內(nèi)，故錯誤；對于②，AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正確；對于③，上底面ABC是一個正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故錯誤；對于④，A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故錯誤．故選A.5．如圖，在下列四個正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是()答案D解析如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點，且六點共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且A項，B，C中的平面與這個平面重合，滿足題意．對于D項中圖形，由于E，F(xiàn)為AB，A1B1的中點，所以EF∥BB1，故∠B1BD1為異面直線EF與BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝eq\r(2)，即∠B1BD1不為直角，故BD1與平面EFG不垂直，故選D.6．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結(jié)論B，C均成立；點P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，不在中位線DE上，故結(jié)論D不成立．7.已知直線PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B的任一點，則下列關(guān)系中不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析AB為直徑，C為圓上異于A，B的一點，所以AC⊥BC.因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，從而PC⊥BC.故選C.8.如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案C解析因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.9．如圖所示，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是()A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD答案D解析A中，∵CD∥AF，AF?面PAF，CD?面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直，故選D.10．如圖，點E為矩形ABCD邊CD上異于點C，D的動點，將△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，則下列說法中正確的有()①存在點E使得直線SA⊥平面SBC；②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行；③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行；④存在點E使得SE⊥BA.A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案A解析①若直線SA⊥平面SBC，則SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴點S，E，B，C共面，與已知矛盾，故①錯誤；②∵平面SBC∩直線SA＝S，故平面SBC內(nèi)的直線與SA相交或異面，故②錯誤；③在平面ABCD內(nèi)作CF∥AE，交AB于點F，由線面平行