高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第七章 不等式及推理與證明

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第七章不等式及推理與證明目錄第1課時(shí)不等式與不等關(guān)系第2課時(shí)一元二次不等式的解法第3課時(shí)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃第4課時(shí)基本不等式第5課時(shí)合情推理與演繹推理第6課時(shí)直接證明與間接證明第1課時(shí)不等式與不等關(guān)系1．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：①若ab>0，bc－ad>0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則ab>0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析對(duì)于①，∵ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，∴①正確；對(duì)于②，∵ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴②正確；對(duì)于③，∵bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴ab>0，∴③正確．2．若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)2>b2 B.eq\f(b,a)<1C．lg(a－b)>0 D．(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b答案D解析方法一：利用性質(zhì)判斷．方法二(特值法)：令a＝－1，b＝－2，則a2<b2，eq\f(b,a)>1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三項(xiàng)．故選D.3．設(shè)a∈R，則a>1是eq\f(1,a)<1的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若a>1，則eq\f(1,a)<1成立；反之，若eq\f(1,a)<1，則a>1或a<0.即a>1?eq\f(1,a)<1，而eq\f(1,a)<1a>1，故選A.4．設(shè)a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)3＋b3>0C．a(chǎn)2－b2<0 D．a(chǎn)＋b<0答案D5．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案D解析一方面，若0<ab<1，則當(dāng)a<0時(shí)，0>b>eq\f(1,a)，∴b<eq\f(1,a)不成立；另一方面，若b<eq\f(1,a)，則當(dāng)a<0時(shí)，ab>1，∴0<ab<1不成立，故選D.6．設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)b<0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b＝0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b>0時(shí)，由a>b有|a|>|b|，所以a>b?a|a|>b|b|.綜上可知a>b?a|a|>b|b|，故選C.7．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－2答案D解析方法一(特殊值法)：取a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)驗(yàn)證即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a－b<0，0<ab<eq\f(1,4)，log2(ab)<－2，故選D.8．設(shè)0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)b<b2<1 B．logeq\s\do9(\f(1,2))b<logeq\s\do9(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a(chǎn)2<ab<1答案C解析方法一(特殊值法)：取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).方法二(單調(diào)性法)：0<b<a?b2<ab，A不對(duì)；y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴l(xiāng)ogeq\s\do9(\f(1,2))b>logeq\s\do9(\f(1,2))a，B不對(duì)；a>b>0?a2>ab，D不對(duì)，故選C.9．甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，若兩人步行速度、跑步速度均相同，則()A．甲先到教室 B．乙先到教室C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定答案B解析設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1和v2顯然0<v1<v2，總路程為2s，則甲用時(shí)間為eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙用時(shí)間為eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(s（v1＋v2）2－4sv1v2,v1v2（v1＋v2）)＝eq\f(s（v1－v2）2,v1v2（v1＋v2）)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．10．下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A．lg2 B．lgeq\r(2)C．(lg2)2 D．lg(lg2)答案A解析因?yàn)閘g2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lgeq\r(2)－(lg2)2＝lg2(eq\f(1,2)－lg2)>lg2(eq\f(1,2)－lgeq\r(10))＝0，即lgeq\r(2)>(lg2)2；lg2－lgeq\r(2)＝eq\f(1,2)lg2>0，即lg2>lgeq\r(2).所以最大的是lg2.11．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c答案D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，則只要比較log32，log52，log72的大小即可，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的圖像，由三個(gè)圖像的相對(duì)位置關(guān)系，可知a>b>c，故選D.12．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝0，且xyz>0，設(shè)M＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，則()A．M>0 B．M<0C．M＝0 D．M不確定答案B解析∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝0，∴xy＋yz＋zx<0，∴M＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(yz＋zx＋xy,xyz)<0.13．(1)若角α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是________．答案(－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2))解析∵－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).(2)若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．答案(－3，3)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.(3)若－1<a＋b<3，2<a－b<4，則2a＋3b的取值范圍為________．答案(－eq\f(9,2)，eq\f(13,2))解析設(shè)2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因?yàn)椋璭q\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，所以－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2).即－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).14．設(shè)α∈(0，eq\f(1,2))，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，則T1與T2的大小關(guān)系為________．答案T1<T2解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，則下列兩式的大小關(guān)系為ab＋1________a＋b.答案<解析(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1<a＋b.(2)若a>0，b>0，則不等式－b<eq\f(1,x)<a的解集為________．答案(－∞，－eq\f(1,b))∪(eq\f(1,a)，＋∞)解析由已知，得－b<0，a>0，∴eq\f(1,x)∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)．∴x∈(－∞，－eq\f(1,b))∪(eq\f(1,a)，＋∞)．16．設(shè)a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋（b＋c）2)，y＝eq\r(b2＋（c＋a）2)，z＝eq\r(c2＋（a＋b）2)，則x，y，z的大小順序是________．答案z>y>x解析方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1驗(yàn)證即可．方法二(比較法)：∵a>b>c>0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0，故z2>y2，即z>y，故z>y>x.17．已知a＋b>0，比較eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大?。鸢竐q\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).18．已知a>0且a≠1，比較loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大?。鸢竘oga(a3＋1)>loga(a2＋1)解析當(dāng)a>1時(shí)，a3>a2，a3＋1>a2＋1.又y＝logax為增函數(shù)，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；當(dāng)0<a<1時(shí)，a3<a2，a3＋1<a2＋1.又y＝logax為減函數(shù)，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．綜上，對(duì)a>0且a≠1，總有l(wèi)oga(a3＋1)>loga(a2＋1)．第2課時(shí)一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集為R的是()A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－2eq\r(5)x＋eq\r(5)>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0答案C解析在C項(xiàng)中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集為R.2．若0＜m＜1，則不等式(x－m)(x－eq\f(1,m))＜0的解集為()A．{x|eq\f(1,m)＜x＜m} B．{x|x>eq\f(1,m)或x＜m}C．{x|x>m或x＜eq\f(1,m)} D．{x|m＜x＜eq\f(1,m)}答案D解析當(dāng)0<m<1時(shí)，m<eq\f(1,m).3．函數(shù)y＝eq\f(ln（x＋1）,\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)?)A．(－4，－1) B．(－4，1)C．(－1，1) D．(－1，1]答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,－x2－3x＋4>0，))解得－1<x<1.4．關(guān)于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，則p＋q的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析依題意得q，1是方程x2＋px－2＝0的兩根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，選B.5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要條件是()A．x>1或x<eq\f(1,2) B．x>1或－1<x<eq\f(1,2)C．－1<x<eq\f(1,2) D．x<－1或x>eq\f(1,2)答案B解析原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>0，,1－|x|<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,1－|x|>0.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)，,x>1或x<－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－1<x<1.))∴x>1或－1<x<eq\f(1,2)，故選B.6．不等式eq\f(x2－x－6,x－1)>0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或x>3)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或1<x<3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<1或x>3)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<1或1<x<3))答案C解析eq\f(x2－x－6,x－1)>0?eq\f(（x－3）（x＋2）,x－1)>0?(x＋2)·(x－1)(x－3)>0，由數(shù)軸標(biāo)根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為()A．{x|－1<x<eq\f(1,2)} B．{x|x<－1或x>eq\f(1,2)}C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}答案A解析由題意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由韋達(dá)定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,（－1）×2＝\f(2,a)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.可知x＝－1，x＝eq\f(1,2)是對(duì)應(yīng)方程的根，∴選A.8．已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>eq\f(1,3)}，則f(ex)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>－ln3} B．{x|－1<x<－ln3}C．{x|x>－ln3} D．{x|x<－ln3}答案D解析設(shè)－1和eq\f(1,3)是方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a＝－(－1＋eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)，b＝－1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)，∵一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>eq\f(1,3)}，∴f(x)＝－(x2＋eq\f(2,3)x－eq\f(1,3))＝－x2－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)，∴f(x)>0的解集為x∈(－1，eq\f(1,3))．不等式f(ex)>0可化為－1<ex<eq\f(1,3).解得x<lneq\f(1,3)，∴x<－ln3，即f(ex)>0的解集為{x|x<－ln3}．9．若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1，5]上有解，則a的取值范圍是()A．(－eq\f(23,5)，＋∞) B．[－eq\f(23,5)，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，－eq\f(23,5)]答案A解析由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1，5]上有解，只需滿足f(5)>0，即a>－eq\f(23,5).10．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖像為()答案C解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－2＋1＝\f(1,a)，,－2×1＝－\f(c,a)，))解得a＝－1，c＝－2.則函數(shù)y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.11．已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1(i＝1，2，3)都成立的x的取值范圍是()A．(0，eq\f(1,a1)) B．(0，eq\f(2,a1))C．(0，eq\f(1,a3)) D．(0，eq\f(2,a3))答案B12．在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()A．(3，4) B．(－2，－1)∪(3，4)C．(3，4] D．[－2，－1)∪(3，4]答案D解析由題意得，原不等式化為(x－1)(x－a)<0，當(dāng)a>1時(shí)，解得1<x<a，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，則3<a≤4；當(dāng)a<1時(shí)，解得a<x<1，此時(shí)解集中的整數(shù)為0，－1，則－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x2－3|x|－35>0的解集為________．答案{x|x<－5或x>5}解析2x2－3|x|－35>0?2|x|2－3|x|－35>0?(|x|－5)(2|x|＋7)>0?|x|>5或|x|<－eq\f(7,2)(舍)?x>5或x<－5.14．已知－eq\f(1,2)<eq\f(1,x)<2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．答案x<－2或x>eq\f(1,2)解析當(dāng)x>0時(shí)，x>eq\f(1,2)；當(dāng)x<0時(shí)，x<－2.所以x的取值范圍是x<－2或x>eq\f(1,2).15．若不等式a·4x－2x＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案a>eq\f(1,4)解析不等式可變形為a>eq\f(2x－1,4x)＝(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,4))x，令(eq\f(1,2))x＝t，則t>0.∴y＝(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,4))x＝t－t2＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，因此當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，y取最大值eq\f(1,4)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>eq\f(1,4).16．已知關(guān)于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集為{x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，求k的值；(3)若不等式的解集為R，求k的取值范圍；(4)若不等式的解集為?，求k的取值范圍．答案(1)k＝－eq\f(2,5)(2)k＝－eq\f(\r(6),6)(3)k<－eq\f(\r(6),6)(4)k≥eq\f(\r(6),6)解析(1)因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閧x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3與－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根，所以(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5).(2)因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閧x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6).(3)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq\f(\r(6),6).(4)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6).17．已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案(－∞，9]解析不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0,x2－6x＋8<0))的解集為(2，3)，令g(x)＝2x2－9x＋a，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(9,4)，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a≤9.第3課時(shí)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1．下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(1，2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是()A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)答案C解析點(diǎn)(1，2)使x＋y－1>0，點(diǎn)(－1，3)使x＋y－1>0，所以此兩點(diǎn)位于x＋y－1＝0的同一側(cè)．故選C.2．二元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－y＋3）（x＋y）≥0，,0≤x≤4，))表示的平面區(qū)域是()A．矩形 B．三角形C．直角梯形 D．等腰梯形答案D解析由(x－y＋3)(x＋y)≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x＋y≥0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≤0，,x＋y≤0，))且0≤x≤4，表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，故所求平面區(qū)域?yàn)榈妊菪危蔬xD.3．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))則z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9答案A解析作出可行域如圖所示，作出直線l0：y＝－2x，平移l0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最小值，此時(shí)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋3＝0，,2x－3y＋3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－3.))即A(－6，－3)，∴zmin＝2×(－6)－3＝－15.4．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))則z＝－2x＋y的最大值是()A．－1 B．－2C．－5 D．1答案A解析作出滿足條件的可行域，如圖中陰影部分所示，易知在點(diǎn)A(1，1)處，z取得最大值，故zmax＝－2×1＋1＝－1.5．實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y≥0，,2x－y－2≤0，))則使得z＝2y－3x取得最小值的最優(yōu)解是()A．(1，0) B．(0，－2)C．(0，0) D．(2，2)答案A解析約束條件所表示的可行域?yàn)槿切?，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，0)，(2，2)，將三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入到目標(biāo)函數(shù)z＝2y－3x中，易得在(1，0)處取得最小值，故取得最小值的最優(yōu)解為(1，0)．6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))則z＝2x－2y－1的取值范圍是()A．[eq\f(5,3)，5] B．[0，5]C．[eq\f(5,3)，5) D．[－eq\f(5,3)，5)答案D解析畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×eq\f(1,3)－2×eq\f(2,3)－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范圍是[－eq\f(5,3)，5)．7．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))則z＝|x－3y|的最大值為()A．10 B．8C．6 D．4答案B解析不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．當(dāng)平移直線x－3y＝0過點(diǎn)A時(shí)，m＝x－3y取最大值；當(dāng)平移直線x－3y＝0過點(diǎn)C時(shí)，m＝x－3y取最小值．由題意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即zmax＝8.8．x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1答案D解析作出約束條件滿足的可行域，根據(jù)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，通過數(shù)形結(jié)合分析求解．如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1，2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋|y|≤1，,x≥0，))則z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析作出可行域如圖中陰影部分所示，易知B(0，1)，z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋2y，平移直線x＋2y＝0，顯然當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，且zmax＝2.故選D.10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－2）2≤1，,x－y－1≥0，))則z＝eq\f(y,x－2)的最小值為()A．3＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案C解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y,x－2)＝eq\f(y－0,x－2)表示在可行域取一點(diǎn)與點(diǎn)(2，0)連線的斜率，可知過點(diǎn)(2，0)作半圓的切線，切線的斜率為z＝eq\f(y,x－2)的最小值，設(shè)切線方程為y＝k(x－2)，則A到切線的距離為1，故1＝eq\f(|k－2|,\r(1＋k2)).解得k＝eq\f(3,4).11．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x≤1，,x＋y≤3，,y≥m，))若z＝x＋3y的最大值與最小值的差為7，則實(shí)數(shù)m＝()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)答案C解析作出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，由圖易得目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y在點(diǎn)(1，2)處取得最大值；zmax＝1＋3×2＝7，在點(diǎn)(m－1，m)處取得最小值，zmin＝m－1＋3m＝4m－1.又由題知7－(4m－1)＝7，解得m＝eq\f(1,4)，故選C.12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,y≤a，))若z＝x＋2y的最大值為3，則a的值是________．答案1解析依題意得a>0，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)大致畫出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,y≤a，))表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，直線z＝x＋2y經(jīng)過直線y＝a與直線x－y＝0的交點(diǎn)，即點(diǎn)(a，a)時(shí)，z＝x＋2y取得最大值3，因此a＋2a＝3，a＝1.13．點(diǎn)(x，y)滿足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，則Z的最小值為________．答案eq\f(9,2)解析|x|＋|y|≤1所確定的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)Z＝(x－2)2＋(y－2)2的幾何意義是點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P(2，2)距離的平方，由圖可知Z的最小值為點(diǎn)P(2，2)到直線x＋y＝1距離的平方，即為(eq\f(|2＋2－1|,\r(2)))2＝eq\f(9,2).14．已知整數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，))則z＝4－x·(eq\f(1,2))y的最小值為________．答案eq\f(1,16)解析z＝4－x·(eq\f(1,2))y＝2－2x·2－y＝2－2x－y.設(shè)m＝－2x－y，要使z最小，則只需m最?。鞒霾坏仁浇M所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知當(dāng)直線y＝－2x－m經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，m最小，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－3y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即B(1，2)，此時(shí)m＝－2－2＝－4，所以z＝4－x·(eq\f(1,2))y的最小值為2－4＝eq\f(1,16).15．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個(gè)與55個(gè)，所用原料為A，B兩種規(guī)格金屬板，每張面積分別為2m2與3m2.用A種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品3個(gè)、乙種產(chǎn)品5個(gè)；用B種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個(gè)．問A，B兩種規(guī)格金屬板各取多少張才能完成計(jì)劃，并使總用料面積最省？答案A，B兩種金屬板各取5張．解析設(shè)A，B兩種金屬板各取x張，y張，總用料面積為z，則約束條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋6y≥45，,5x＋6y≥55，,x，y∈N，))目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y.作出不等式組的可行域，如圖所示．將z＝2x＋3y化成y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，得到斜率為－eq\f(2,3)，在y軸上截距為eq\f(z,3)，且隨z變化的一組平行直線．當(dāng)直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上點(diǎn)M時(shí)，截距最小，z取得最小值．解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝55，,3x＋6y＝45，))得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5，5)．此時(shí)zmin＝2×5＋3×5＝25.所以兩種金屬板各取5張時(shí)，總用料面積最省．第4課時(shí)基本不等式1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a(chǎn)2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a(chǎn)＋b答案D解析只需比較a2＋b2與a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a＋b.2．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案B解析方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，則有0<a＝1<eq\r(ab)＝eq\r(2)<eq\f(a＋b,2)＝1.5<b＝2.方法二(直接法)：我們知道算術(shù)平均數(shù)eq\f(a＋b,2)與幾何平均數(shù)eq\r(ab)的大小關(guān)系，其余各式作差(作商)比較即可，答案為B.3．下列函數(shù)中，最小值為4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案C解析注意基本不等式等號(hào)成立的條件是“a＝b”，同時(shí)考慮函數(shù)的定義域，A中x的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，函數(shù)沒有最小值；B中若sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，則sin2x＝4，顯然不成立．D中沒有最小值．故選C.4．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案D解析∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)等號(hào)成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故選D.5．若x，y是正數(shù)，則(x＋eq\f(1,2y))2＋(y＋eq\f(1,2x))2的最小值是()A．3 B.eq\f(7,2)C．4 D.eq\f(9,2)答案C解析原式＝x2＋eq\f(x,y)＋eq\f(1,4y2)＋y2＋eq\f(y,x)＋eq\f(1,4x2)≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,\r(2))時(shí)取“＝”號(hào)．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，則eq\f(1,ab)的最小值為()A.eq\f(1,4) B．4C.eq\f(1,2) D．2答案C解析∵4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，∴ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)取等號(hào)．7．若x<0，則函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)的最小值是()A．－eq\f(9,4) B．0C．2 D．4答案D解析y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＋2eq\r(（－x）（－\f(1,x)）)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號(hào)．8．函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2答案A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2（x－1）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(（x－1）（\f(3,x－1)）)＋2＝2eq\r(3)＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)．9．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2，當(dāng)且僅當(dāng)a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即ax2＝y(tǒng)2時(shí)“＝”成立．∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))的最小值為(eq\r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(5) D.eq\f(\r(10),2)答案A解析方法一：設(shè)x＝sinα，y＝cosα，m＝eq\r(3)sinβ，n＝eq\r(3)cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝eq\r(3)sinβsinα＋eq\r(3)cosβcosα＝eq\r(3)cos(α－β)．故選A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤eq\r(3).11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為()A．3 B．6C．9 D．12答案A12．若正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為()A．16 B．9C．6 D．1答案C解析方法一：因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二：因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))－10≥16－10＝6.方法三：因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a－1＝eq\f(1,b－1)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.13．某城鎮(zhèn)人口第二年比第一年增長(zhǎng)m%，第三年比第二年增長(zhǎng)n%，若這兩年的平均增長(zhǎng)率為p%，則p與eq\f(m＋n,2)的大小關(guān)系為()A．p>eq\f(m＋n,2) B．p＝eq\f(m＋n,2)C．p≤eq\f(m＋n,2) D．p≥eq\f(m＋n,2)答案C解析依題意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝eq\r(（1＋m%）（1＋n%）)≤eq\f(1＋m%＋1＋n%,2)＝1＋eq\f(m%＋n%,2)，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)等號(hào)成立，所以p≤eq\f(m＋n,2)，故選C.14．(1)當(dāng)x>1時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________；(2)當(dāng)x≥4時(shí)，x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．答案(1)5(2)eq\f(16,3)解析(1)∵x>1，∴x－1>0.∴x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5.(當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(4,x－1).即x＝3時(shí)“＝”號(hào)成立)∴x＋eq\f(4,x－1)的最小值為5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)x－1＝3時(shí)，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1有最小值eq\f(16,3).15．若a>0，b>0，a＋b＝1，則ab＋eq\f(1,ab)的最小值為________．答案eq\f(17,4)解析ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．y＝x＋eq\f(1,x)在x∈(0，eq\f(1,4)]上為減函數(shù)．∴ab＋eq\f(1,ab)的最小值為eq\f(1,4)＋4＝eq\f(17,4).16．已知a>b>0，求a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，從而去掉b，再由a2＋eq\f(64,a2)，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤[eq\f(b＋（a－b）,2)]2＝eq\f(a2,4).∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)≥a2＋eq\f(64,a2)≥2eq\r(a2·\f(64,a2))＝16.當(dāng)a2＝eq\f(64,a2)且b＝a－b，即a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值為16.17．設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，求xy的最小值．答案16解析由eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，化為3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理為xy＝x＋y＋8.∵x，y均為正實(shí)數(shù)，∴xy＝x＋y＋8≥2eq\r(xy)＋8，∴(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)取等號(hào)，∴xy的最小值為16.18．某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心x(0<x<20)厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用．根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與x2成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)右腳的干擾度與400－x2成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)x＝10eq\r(2)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為0.065.(1)將臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y表示為x的函數(shù)；(2)求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值．答案(1)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)(2)eq\f(1,16)解析(1)由題意得y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)(0<x<20)，當(dāng)x＝10eq\r(2)時(shí)，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)．(2)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)＝eq\f(1,400)(eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2))[(400－x2)＋x2]＝eq\f(1,400)[4＋9＋eq\f(4（400－x2）,x2)＋eq\f(9x2,400－x2)]≥eq\f(1,400)[13＋2eq\r(\f(4（400－x2）,x2)·\f(9x2,400－x2))]＝eq\f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4（400－x2）,x2)＝eq\f(9x2,400－x2)，即x＝4eq\r(10)時(shí)取“＝”．所以臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值為eq\f(1,16).第5課時(shí)合情推理與演繹推理1．把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30答案B解析觀察歸納可知第n個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴第七個(gè)三角形數(shù)為eq\f(7×（7＋1）,2)＝28.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2019＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列．又2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝3.選A.3．定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1等于()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()窗口12過道345窗口6789101112131415……………A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案D解析由已知圖中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)知，只有D項(xiàng)符合條件．5．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．6．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案C解析記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N*)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝()A.eq\f(2015,2016) B.eq\f(2016,2017)C.eq\f(2017,2018) D.eq\f(2018,2017)答案B解析由圖案可得第n個(gè)圖案中的點(diǎn)數(shù)為3n，則an＝3n－3，∴eq\f(9,3（n－1）×3n)＝eq\f(1,n（n－1）)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，∴eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2016)－eq\f(1,2017))＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017)，故選B.8．如圖，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a表示的數(shù)是()122343412124548a485A．12 B．48C．60 D．144答案D9．已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，則第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”為()A．(3，9) B．(4，8)C．(3，10) D．(4，9)答案D解析因?yàn)?＋2＋…＋11＝66，所以第67個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(1，12)，第68個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(2，11)，第69個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(3，10)，第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(4，9)．故選D.10．已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊，若滿足a2＋b2＝c2，即(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2＝1，則△ABC為直角三角形，類比此結(jié)論可知，若滿足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能答案A解析由題意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2>(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，故△ABC為銳角三角形．11．學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉了一個(gè)例子．甲：由“若三角形周長(zhǎng)為l，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(2S,l)”，類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r＝eq\f(3V,S)”；乙：由“若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則其外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)”，類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則其外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)”．這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論是()A．兩人都對(duì) B．甲錯(cuò)、乙對(duì)C．甲對(duì)、乙錯(cuò) D．兩人都錯(cuò)答案C解析利用等面積與等體積法可推得甲同學(xué)類比推理的結(jié)論是正確的；把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則此三棱錐的外接球半徑等于長(zhǎng)方體的外接球半徑，可求得其半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，因此乙同學(xué)類比推理的結(jié)論是錯(cuò)誤的，故選C.12．中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外．”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如圖，表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是，則8335用算籌可表示為()答案B解析由題意得千位和十位用橫式表示，百位和個(gè)數(shù)用縱式表示，所以千位的8表示為，百位的3表示為，十位的3表示為，個(gè)位的5表示為，故選B.13．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)確定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是()A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案C解析對(duì)于選項(xiàng)C，傳輸信息是10111，對(duì)應(yīng)的原信息是011，由題目中運(yùn)算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應(yīng)是10110.14．如圖所示，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2017＝()A．502 B．503C．504 D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…組成的數(shù)列恰好對(duì)應(yīng)數(shù)列{xn}，即xn＝a2n－1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.15．有一個(gè)游戲：將標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片分別隨機(jī)發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一張，并請(qǐng)這4個(gè)人在看自己的卡片之前進(jìn)行預(yù)測(cè)：甲說：乙或丙拿到標(biāo)有3的卡片；乙說：甲或丙拿到標(biāo)有2的卡片；丙說：標(biāo)有1的卡片在甲手中；丁說：甲拿到標(biāo)有3的卡片．結(jié)果顯示：甲、乙、丙、丁4個(gè)人的預(yù)測(cè)都不正確，那么甲、乙、丙、丁4個(gè)人拿到卡片上的數(shù)字依次為______．答案4，2，1，3解析由甲、丁的預(yù)測(cè)不正確可得丁拿到標(biāo)有3的卡片，由乙的預(yù)測(cè)不正確可得乙拿到標(biāo)有2的卡片，由丙的預(yù)測(cè)不正確可知甲拿到標(biāo)有4的卡片，故丙拿到標(biāo)有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4個(gè)人拿到卡片上的數(shù)字依次為4，2，1，3.16．對(duì)?a，b∈R，定義運(yùn)算：a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b；))a?b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b，a≥b，,b－a，a<b.))則下列判斷正確的是________．①2015⊕(2014?2015)＝2014；②(a⊕a)?a＝0；③(a⊕b)?a＝a⊕(b?a)．答案②解析對(duì)于①，由定義的運(yùn)算可知，2014?2015＝2015－2014＝1，故2015⊕(2014?2015)＝2015⊕1＝2015，故①錯(cuò)誤．對(duì)于②，因?yàn)閍⊕a＝a，故(a⊕a)?a＝a?a＝a－a＝0，故②正確．由于③，當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a，故(a⊕b)?a＝a?a＝0，而b?a＝a－b，故a⊕(b?a)＝a⊕(a－b)．顯然，若b≥0，則a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a，若b<0，則a<a－b，所以a⊕(a－b)＝a－b.故(a⊕b)?a≠a⊕(b?a)．故③錯(cuò)誤．17．顧客請(qǐng)一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品．工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交給顧客．兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位：工作日)如下：工序時(shí)間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為________個(gè)工作日．答案42解析最短交貨期為先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工藝師加工該件工藝品，需21天；徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工；最后由工藝師完成原料A的精加工，需15個(gè)工作日．故交貨期為6＋21＋15＝42個(gè)工作日．第6課時(shí)直接證明與間接證明1．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”“索”的“因”應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案C解析eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0答案D3．下列不等式不成立的是()A.eq\f(1,2)<ln2 B.eq\r(3)＋1>2eq\r(2)C．233<322 D．sin1>cos1答案B4．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定答案C解析要比較P，Q的大小關(guān)系，只要比較P2，Q2的大小關(guān)系，只要比較2a＋7＋2eq\r(a（a＋7）)與2a＋7＋2eq\r(（a＋3）（a＋4）)的大小，只要比較eq\r(a（a＋7）)與eq\r(（a＋3）（a＋4）)的大小，即比較a2＋7a與a2＋7a＋12的大小，只要比較0與12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 B．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角 D．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角答案B解析注意到：“至多有一個(gè)”的否定應(yīng)為“至少有兩個(gè)”知需選B.6．若a>0，b>0，a＋b＝1，則下列不等式不成立的是()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2) B．a(chǎn)b≤eq\f(1,4)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤1答案D解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,2)，∴A成立；ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴B成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,（\f(a＋b,2)）2)＝4，∴C成立；(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)>1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>1，故D不成立．7．設(shè)x，y，z∈R＋，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2答案C解析假設(shè)a，b，c三個(gè)數(shù)都小于2.則6>a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＋2eq\r(y·\f(1,y))＋2eq\r(z·\f(1,z))＝6，即6>6，矛盾．所以a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.8．設(shè)a>0，b>0，求證：lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案略證明要證lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需證1＋eq