人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1-1-3空間向量的坐標與空間直角坐標系練習(xí)含答案

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系基礎(chǔ)過關(guān)練題組一空間向量的坐標1.已知{e1,e2,e3}是單位正交基底,下列說法正確的是()A.若p=2e1-e2+3e3,則p=(2,1,3)B.若q=-e1+2e2,則q=(-1,2)C.若r=e1+3e2-e3,則r=(1,3,-1)D.若s=-3e2,則s=(0,0,-3)2.(2024河北保定六校開學(xué)考試)已知{a,b,c}是空間向量的一組基底,{a+b,a-b,c}是空間向量的另外一組基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(1,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為()A.1C.3題組二空間向量坐標的運算3.(2024江西贛州二十三校期中)已知向量a=(1,-2,1),b=(1,0,2),則a-b=()A.(2,-2,3)B.(-2,2,-3)C.(0,2,1)D.(0,-2,-1)4.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a與b的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是()A.x>4B.x<-4C.0<x<4D.-4<x<05.(2024廣東茂名電白期中)已知點A(2,2,7),B(-2,4,3),若AC=A.(2,-1,2)B.(-2,1,-2)C.(0,3,2)D.(0,3,5)6.(2024遼寧大連第二十四中學(xué)期中)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,λ),若a,b,c共面,則實數(shù)λ的值為()A.6B.5C.4D.3題組三利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直問題7.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為()A.108.(2024江西部分學(xué)校月考)已知向量a=(1,-1,3),b=(2,2,3),c=(m,2,n),且(a+b)∥c,則m+n=.

9.(2024浙江臺州路橋中學(xué)月考)已知空間中三點A(2,1,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且c∥BC,求向量c的坐標;(2)已知向量ka+b與b互相垂直,求實數(shù)k的值.題組四利用空間向量的坐標運算解決夾角、模(長度)問題10.(2024北京清華附中期中)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(3,2t-2,2),則|b-a|的最小值為()A.6B.11.(2022山東濟寧期中)已知空間中三點A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量PA與A.1B.2C.-1D.-212.(2023山東煙臺招遠二中月考)若空間向量a=(3,0,4),b=(-3,2,5),則向量b在向量a上的投影數(shù)量為.

13.(2022黑龍江雞西虎林實驗高級中學(xué)期末)已知點A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).(1)若D為線段BC的中點,求|AD|;(2)若AD=(2,a,1),且AB·AD=1,求實數(shù)a的值及向量題組五空間直角坐標系及其應(yīng)用14.(多選題)(2024河南部分名校期中)在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以空間中某個點作為坐標原點建立空間直角坐標系,則B,D1的坐標可能為()A.(0,0,4),(4,4,2)B.(0,4,0),(-4,0,4)C.(2,2,0),(-2,-2,2)D.(2,2,-2),(-2,-2,2)15.(多選題)(2024福建福州福清高中聯(lián)合體期中)在空間直角坐標系中,O為坐標原點,點P的坐標為(2,-2,1),則()A.點P到點O的距離是3B.點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標是(-2,-2,1)C.點P關(guān)于點(1,1,1)對稱的點的坐標是(2,1,3)D.點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標是(2,-2,-1)16.(2024湖南常德部分學(xué)校聯(lián)考)已知點B是點A(1,2,3)在坐標平面xOy內(nèi)的射影,則|OB|=.

17.(2023湖北荊門一中月考)在三棱錐P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分別是PC,AC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則線段MN的中點的坐標為.

18.(2024遼寧朝陽建平實驗中學(xué)月考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,點O,O1分別是AC,A1C1的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)求正三棱柱的側(cè)棱長;(2)求AB能力提升練題組一空間向量坐標的應(yīng)用1.(多選題)(2024湖南湖湘教育三新探索協(xié)作體期中)已知空間中三個向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),則下列說法正確的是()A.a與c是共線向量B.與a同向的單位向量是5C.c在a上的投影是(-1,-2,0)D.a與b的夾角為90°2.(2023山東聊城二中月考)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),若a∥b,b⊥c,則a+c與b+c夾角的余弦值為()A.-23.(2022遼寧大連一中月考)在空間直角坐標系中,O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0),B為EF的中點,C為空間中一點且滿足|CO|=|CB|=3,若cos<A.9B.7C.5D.34.(2024山東泰安第一中學(xué)月考)已知O為坐標原點,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),A.1C.45.(2024山東鄒平第一中學(xué)月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb與2a+b所成的角為銳角,則實數(shù)k的取值范圍為.

6.(2024山東濟寧實驗中學(xué)月考)已知空間向量ABAC=(1,1,2),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為.

7.(2024北京人大附中期中)已知空間直角坐標系中四個點A(1,1,1),B(1,2,3),C(4,5,6),D(7,8,x).(1)求|AC|;(2)若AB⊥(3)若點D在平面ABC內(nèi),直接寫出x的值.題組二空間直角坐標系的應(yīng)用8.三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點,A1P=λA1B1(λ∈R()A.19.(2022河南中原名校聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,△PAC為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D為AB的中點,則AC與A.-110.如圖所示的幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D為半圓弧的中點,若cos<BD,A.16+8πB.32+16πC.32+8πD.16+16π11.(2023山東淄博實驗中學(xué)月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1,G,E分別為A1B1,CC1的中點,D,F分別為線段AC,AB上的動點(不包括端點),若GD⊥EFA.5C.212.(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,點P在側(cè)面BCC1B1上運動,并且總是保持AP⊥BD1,則下列結(jié)論正確的是()A.VB.點P必在線段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D13.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AA1=3,E為線段AB上的一個動點,則|D1E|+|CE|的最小值為()A.2214.如圖,以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系Oxyz,點P在線段AB上,點Q在線段DC上.(1)當PB=2AP,且點P關(guān)于y軸的對稱點為M時,求|PM|;(2)當點P是AB的中點,點Q在DC上運動時,探究|PQ|的最小值.

答案與分層梯度式解析1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系基礎(chǔ)過關(guān)練1.C2.B3.D4.B5.D6.B7.D10.B11.B14.BD15.AD1.C由空間向量的坐標的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,3,-1),s=(0,-3,0).2.B依題意可知p=a+2b+3c.設(shè)向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,由空間向量基本定理可得x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=3.D由題意可得a-b=(1,-2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故選D.4.B由題意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共線,故選B.5.D由題意得AB=(-4,2,-4),所以AC=(-2,1,-2),所以C(0,3,5).故選D.6.B若a,b,c共面,則存在實數(shù)x,y,使c=xa+yb,即(4,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),故2x-y7.D由題意得CB=(?6,1,2k),∵∠C=90°,∴CB(?k)=?2k2+20=0,∴k=±108.答案18解析由題意得a+b=(3,1,6).因為(a+b)∥c,所以m39.解析(1)由題意得BC=(2,1,-2).∵c∥BC,∴設(shè)c=mBC=(2m,m,-2m),m∈R,∴|c|=(2故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由題意得a=AB=(-1,-2,0),b=AC=(1,-1,-2),∴ka+b=(1-k,-1-2k,-2).∵向量ka+b與b互相垂直,∴(ka+b)·b=1-k+1+2k+4=0,解得k=-6.10.B由題意得b-a=(t+2,-1,2),所以|b-a|=(t+2)2+1+4≥5,當且僅當t=-2時,等號成立,故|b11.B∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),∴PA=(?2?m,?m,8?m),由題意得cos60°=PA·PB|∴m2-4m+4=0,∴m=2.12.答案11解析由題意得a·b=-9+0+20=11,|a|=5,所以向量b在向量a上的投影數(shù)量為a·13.解析(1)由題意得D(1,2,1),∴AD=(1,1,?1),∴|(2)易知AB=(1,?2,1),∴∴AD=(2,1,1),∴cos<AB,即向量AB與14.BD在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,|BD1|=43.對于A,|BD1|=16+16+4=6≠43;對于B,|BD1|=16+16+16=4對于C,|BD1|=16+16+4=6≠43;對于D,|BD1|=16+16+16=4故選BD.15.AD對于A,|OP|=22+(-對于B,點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標是(-2,2,-1),故B錯誤;對于C,設(shè)點P關(guān)于點(1,1,1)對稱的點的坐標是(x,y,z),則2+x對于D,點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標是(2,-2,-1),故D正確.故選AD.16.答案5解析易得B(1,2,0),所以O(shè)B=(1,2,0),所以|OB|=17.答案1解析由題意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),所以線段MN的中點的坐標為1218.解析(1)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為h.由題意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),則AB1=(-3+1+h2=0,解得h=2(負值舍去).故正三棱柱的側(cè)棱長為2.(2)由(1)可知AB所以AB所以cos<AB能力提升練1.BC2.A3.D4.C8.C9.B10.A11.A12.BD13.B1.BC對于A,因為1-1=2-對于B,與a同向的單位向量是a|a|對于C,c在a上的投影是|c|cos<a,c>·a|a|-2,0),C正確;對于D,因為a·b=3≠0,所以a,b不垂直,D錯誤.故選BC.2.A因為a∥b,所以x-2=b=(-2,-4,-1).因為b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2),所以a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以(a+c)·(b+c)=5-12+3=-4,|a+c|=25+4+9=38,|b+1+36+1=所以cos<a+c,b+c>=(a+c3.D易得B(2,2,0),設(shè)C(x,y,z),則由cos<EF,BC>整理可得x-y=-22由|CO|=|CB|=3,得x2聯(lián)立①②,解得x=24,y=324,則OC4.C∵點Q在直線OP上運動,∴存在唯一的實數(shù)λ,使得OQ=λ∴QA=(1?λ,2?λ,3?2λ),∴QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ16λ+10=6λ-當且僅當λ=43此時點Q的坐標為43,45.答案k解析易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).由題意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共線,∴1-k+2+4k>0,且1-k1=16.答案62解析因為AB=(?3,?1,1),所以cos∠BAC=AB·所以sin∠BAC=1-故以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為|AB|·|AC|sin∠BAC=11×7.解析(1)易得AC=(3,4,5),所以|AC|=(2)由題意得AB=(0,1,2),因為AB⊥CD,所以AB·(3)由(1)(2)知AB=(0,1,2),因為點D在平面ABC內(nèi),所以可設(shè)AD=a即(6,7,x-1)=(0,a,2a)+(3b,4b,5b)=(3b,a+4b,2a+5b),所以6=38.C如圖,以AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴A1B1=(1,0,0),∴A1P=(λ,0,0),則P(λ,0,1),又N12,9.B取AC的中點O,連接OP,OB.∵PA=PC,∴AC⊥OP.∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP?平面PAC,∴OP⊥平面ABC.∵AB=BC,∴AC⊥OB.以O(shè)為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC為等邊三角形,∴A(22,0,0),C(?2∴AC=(?4∴cos<AC,故選B.10.A如圖,設(shè)D在底面半圓上的射影為D1,連接AD1,交BC于點O,連接A1D,交B1C1于點O1.依題意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分別是下底面、上底面半圓的圓心,則OA⊥OB,連接OO1,則OO1與上、下底面垂直,所以O(shè)O1⊥OB,OO1⊥OA.以O(shè)B,OA,OO1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設(shè)幾何體的高為h(h>0),則B(2,0,0),D(0,-2,h),A(