人教B版高中數學選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何復習提升練含答案

本章復習提升易混易錯練易錯點1對空間向量的相關概念理解不清致錯1.下列命題中正確的是()A.若a與b共線,b與c共線,則a與c共線B.向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面C.若a∥b,則存在唯一的實數λ,使a=λbD.零向量是模為0,方向任意的向量2.如圖,已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a,E,F,G分別是AB,AD,DC的中點,則下列向量的數量積等于a2的是()A.2AB·CAC.2AD·DC3.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈4.(2024陜西西安長安第一中學期中)已知向量a=(2,3,-1),b=(-4,t,2),若a與b的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍為.

易錯點2混淆空間角與向量的夾角致錯5.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,CB=CD=CF,則二面角F-BD-C的余弦值為.6.(2023山東日照一中月考)如圖1,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,O為DE的中點,AB=AC=25,BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如圖2.(1)求證:A1O⊥BD;(2)求直線A1C與平面A1BD所成角的正弦值;(3)在線段A1C上是否存在點F,使得直線DF和BC所成角的余弦值為55?若存在,求出A易錯點3不能正確建立空間直角坐標系致錯7.(2024河北邯鄲永年第二中學開學考試)如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.(1)求證:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求二面角H-GF-C的大小.思想方法練一、函數與方程思想在空間向量與立體幾何中的應用1.(2024河北滄州滄縣中學月考)如圖所示,圓錐的高PO=2,底面圓O的半徑為R,延長直徑AB到點C,使得BC=R,分別過點A,C作底面圓O的切線,兩切線相交于點E,點D是切線CE與圓O的切點.(1)證明:平面PDE⊥平面POD;(2)若直線PE與平面PBD所成角的正弦值為105352.(2022湖南長沙雅禮中學月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120°.(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;(2)若M為PB的中點,N為線段PC上一動點,求直線MN與平面PAC所成角的正弦值的取值范圍.二、轉化與化歸思想在空間向量與立體幾何中的應用3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,平面AB1D1與平面BC1D之間的距離為()A.24.(2023山東濱州期中)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,E是BC的中點.(1)求證:AD⊥PE;(2)若PA⊥PC,求二面角B-PC-D的余弦值.

答案與分層梯度式解析本章復習提升易混易錯練1.D由于零向量與任意向量共線,所以當b為零向量時,a與c的關系不確定,故A錯誤;當向量a,b,c共面時,它們所在的直線不一定共面,故B錯誤;在共線向量定理中,當b不是零向量時,才存在唯一的實數λ,使a=λb,否則λ可能不存在,故C錯誤;D顯然正確.易錯警示本題容易忽略零向量的特殊性和共線向量定理中的限制條件而誤認為A,C正確.2.B由題意得AB與CA,AD與DC2EF·DB=?a2易錯警示由于向量具有方向,因此其夾角不同于兩直線的夾角.如向量AB和3.答案AB?平面CDE或AB∥平面CDE解析由AB=λCD+μCE(λ,μ∈易錯警示由向量共線得到的相關直線的位置關系有平行和重合兩種可能;由向量共面得到的線面關系有平行和線在面內兩種可能.4.答案(-∞,-6)∪-解析∵a與b的夾角為鈍角,∴a·b<0,即-8+3t-2<0,解得t<103由a∥b,得-4綜上,實數t的取值范圍為(-∞,-6)∪-6易錯警示向量a,b的夾角為鈍角等價于a·b<0且a與b不共線.注意兩個向量同向共線時,數量積大于零,反向共線時,數量積小于零.5.答案5解析因為四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°,所以∠ADB=90°,故AD⊥BD.連接AC,則AC⊥BC.因為FC⊥平面ABCD,所以FC⊥AC,FC⊥BC,所以CA,CB,CF兩兩互相垂直.以C為坐標原點,CA,CB,CF所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設CB=1,則C(0,0,0),B(0,1,0),D32,-1設平面BDF的一個法向量為m=(x,y,z),則m取z=1,則x=3,y=1,所以m=(3,1,1).易知CF=(0,0,1)是平面BDC的一個法向量,則cos<m,CF>由圖可知,二面角F-BD-C為銳二面角,所以二面角F-BD-C的余弦值為55易錯警示求二面角的大小時,應用向量法分別求出兩個半平面的法向量,它們的夾角的大小與二面角的大小可能相等也可能互補,一般結合圖形判斷所求二面角是鈍二面角還是銳二面角.6.解析(1)證明:因為AB=AC,D,E分別為AB,AC的中點,所以AD=AE,即A1D=A1E.又O為DE的中點,所以A1O⊥DE.因為平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BCED.又BD?平面BCED,所以A1O⊥BD.(2)過點O作OH⊥BC交BC于點H,則H為BC的中點.因為在題圖1中,AB=AC=25,BC=4,所以OH=12(2易得OA1,DE,OH兩兩互相垂直,以O為坐標原點,OH,OE,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則A1(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),D(0,-1,0),所以A?2),A設平面A1BD的一個法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則x=-1,y=-2,所以n=(-1,-2,1).設直線A1C與平面A1BD所成的角為α,則sinα=|cos<n,A1所以直線A1C與平面A1BD所成角的正弦值為22(3)假設在線段A1C上存在一點F滿足題意.設A1由(2)易得DA1=(0,1,2),因為直線DF和BC所成角的余弦值為55所以|cos<DF,即|4+8λ|-3(舍去),所以當點F與點A1重合時,直線DF和BC所成角的余弦值為55,此時A易錯警示(1)當兩條異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,這個角就是這兩條異面直線所成的角;當兩條異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角是這兩條異面直線所成的角.(2)求解直線和平面所成的角θ時,要注意直線的方向向量n與平面的法向量a的夾角和所求角θ之間的關系,線面角的正弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.7.解析(1)證明:在三棱臺DEF-ABC中,由AB=2DE得BC=2EF,又H為BC的中點,所以BH=EF,又BH∥EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形,所以BE∥HF.在△ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)連接DG,易知DF=12所以四邊形DGCF為平行四邊形,所以DG∥CF.又CF⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,得AB=BC,連接BG,因為G是AC的中點,所以GB⊥GC.因此GB,GC,GD兩兩互相垂直.以G為坐標原點,BG,GC,GD所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=2,則CF=DE=1,BG=CG=2,所以G(0,0,0),B(2,0,0),H22設平面FGH的一個法向量為n=(x,y,z),則n·取x=1,得y=-1,z=2,所以n=(1,-1,2).易知GB=(所以cos<GB,n>=GB·由圖知,二面角H-GF-C為銳二面角,所以二面角H-GF-C的大小為60°.易錯警示運用“坐標法”解答空間幾何問題時,正確建立空間直角坐標系是解題的關鍵.解題時,要依據空間幾何體的結構特征,充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系建立空間直角坐標系.思想方法練1.解析(1)證明:連接AD.由題意得PO⊥平面ABD,∵CE?平面ABD,∴PO⊥CE.∵CE與圓O相切于點D,∴OD⊥CE.∵PO∩OD=O,PO,OD?平面POD,∴CE⊥平面POD.又CE?平面PDE,∴平面PDE⊥平面POD.(2)以O為坐標原點,OC,易知CA=3R,OD=R,CD=3R,△CAE∽△CDO,∴CDCA∴P(0,0,2),D32設平面PBD的一個法向量為m=(x,y,z),則m令x=3,則m=3,根據直線PE與平面PBD所成角的正弦值為10535∵直線PE與平面PBD所成角的正弦值為10535∴|cos<m,PE>|=|m·PE||m||PE當R=2時,P(0,0,2),D(3,1,0),E(2設平面PED的一個法向量為n=(a,b,c),則n令a=3,得n=(3,1,2),所以點A到平面PED的距離為n·當R=233時,P(0,0,2),D設平面PED的一個法向量為l=(a1,b1,c1),則l令a1=3,得l=(3,3,2),所以點A到平面PED的距離為l·綜上,點A到平面PED的距離為322.解析(1)證明:設AC∩BD=O,易得BD⊥AC.因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥PA.又因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.因為BD?平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.(2)以O為坐標原點,OC,OD所在直線分別為x軸,y軸,過點O且平行于PA的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(3,0,0),P(?因為M為PB的中點,所以M-3設PN=λPC(0≤λ≤1),則N(2所以MN=由(1)知BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為n=(0,1,0).設直線MN與平面PAC所成的角為θ,則sinθ=|cos<MN,n>|=|MN0≤λ≤1,將直線和平面所成的角的正弦值用含參的式子表示,利用函數的性質求出最值.故當λ=516時,sinθ取得最大值,為2當λ=1時,sinθ取得最小值,為28所以28≤sinθ≤277思想方法方程思想在空間向量中的應用主要表現在探索性問題中,通過設置參數,建立方程(組),求方程(組)的解解決問題.函數思想在空間向量中的應用主要表現在“運動問題”和“最值問題”中,構造出的函數一定要注意函數的定義域,應當在定義域的約束下去求最值,利用基本不等式求最值時要注意滿足適用的條件.3.C由題意可得,原問題等價于求點C1到平面AB1D1的距離h.將平面與平面之間的距離轉化為點到平面的距離.解法一:由等體積法可得V三棱錐C1-AB1D1=V三棱錐A-B解法二:以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.易得A(2,0,0),B1(設平面AB1D1的一個法向量為m=(x,y,z),則m令x=1,得m=(1,-1,1).所以點C1到平面AB1D1的距離為|m·B4.解析以D為坐標原點,菱形ABCD的邊DC的垂線為x軸,DC所在直線為y軸,DP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則D(0,0,0),A(3,?1,0),C(0,2,0),B(設PD=a(a>0),則P(0,0,a).(1)證明:易得AD=(?因為AD·PE=?(2)易得PA=(因為PA⊥PC,所以PA·PC=-2+a2=0,解得a=2(負值