人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊綜合測試(二)含答案

全書綜合測評(二)全卷滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知直線3x+2y-1=0的一個(gè)方向向量為v=(1,m),則m的值為()A.22.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a與b的夾角的余弦值為-26A.-3B.11C.3D.-3或113.如圖,在空間四邊形ABCD中,向量AB=(?3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.1,4.已知圓C1:x2+y2-6x+4y+12=0與圓C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圓C1與圓C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a等于()A.14B.34C.14或45D.34或145.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1的中點(diǎn)為E,則二面角A-BE-B1的余弦值為()A.-106.已知雙曲線x2A.1B.2C.3D.47.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線PQ過FA.108.已知圓O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與直線x+y+42=0相切,點(diǎn)P在直線x=8上,過點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,如圖所示,則直線AB恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列說法正確的是()A.若對空間中任意一點(diǎn)O,有OP=B.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),則a在b上的投影向量為(1,2,2)C.若直線l的方向向量為e=(1,0,3),平面α的法向量為n=-2D.若{a,b,c}為空間向量的一組基底,則{a+b,b+c,a+c}是空間向量的另一組基底10.設(shè)F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),直線l過點(diǎn)F,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.|AB|≥4B.|OA|+|OB|>8C.若點(diǎn)P(2,2),則|PA|+|AF|的最小值是3D.△OAB的面積的最小值是211.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分別是BC,A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)D在線段B1C1上,則下面說法中正確的有()A.EF∥平面AA1B1BB.若D是B1C1的中點(diǎn),則BD⊥EFC.直線EF與平面ABC所成角的正弦值為2D.當(dāng)直線BD與直線EF所成的角最小時(shí),線段BD的長為312.設(shè)動直線l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圓C:(x-3)2+(y-2)2=3于A,B兩點(diǎn),則下列說法正確的是()A.直線l過定點(diǎn)P(2,3)B.當(dāng)|AB|取得最大值時(shí),m=1C.當(dāng)∠ACB最小時(shí),其余弦值為14D.AB·三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于A(-2,0),B(-4,0)兩點(diǎn),則圓C的方程為.

14.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn),則點(diǎn)(m,n)與原點(diǎn)之間的距離d的最小值等于.

15.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是雙曲線右支上一點(diǎn),PF16.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AB|=|BC|=3,|CD|=1,|AD|=5,∠ADC=90°.沿直線AC將△DAC折起到△D'AC的位置,則AC·BD'=四、解答題(本題共6小題,共70分)17.(10分)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)若直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=46,求實(shí)數(shù)m的值;(2)求證:無論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒交于兩點(diǎn);(3)求直線l被圓C截得的最短弦長以及此時(shí)直線l的方程.18.(12分)下圖是一個(gè)半圓柱,E為半圓弧CD上一點(diǎn),|CD|=5.(1)若|AD|=25,求四棱錐E-ABCD的體積的最大值;(2)有三個(gè)條件:①4DE·DC=19.(12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,離心率e=(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,AB∥DC.記直線AC,BD的斜率分別為k1,k2,試問k1·k2是不是定值?證明你的結(jié)論.20.(12分)已知點(diǎn)E到直線l:y=-2的距離比到點(diǎn)F(0,1)的距離大1.設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)若P(x0,y0)為直線l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,求點(diǎn)F到直線MN的距離的最大值.21.(12分)如圖,將等腰直角△ABC沿斜邊AC旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)B移到點(diǎn)B'的位置,且BB'=AB.(1)證明:平面AB'C⊥平面ABC;(2)求二面角B-AB'-C的余弦值;(3)若在棱CB'上存在點(diǎn)M,使得CM=μCB',μ∈122.(12分)已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P(-3,2),|PF|=25,過點(diǎn)P作直線與拋物線E順次交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作斜率為1的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C.(1)求證:直線BC過定點(diǎn);(2)若直線BC所過定點(diǎn)為Q,△QAB,△PBC的面積分別為S1,S2,求S1

答案與解析全書綜合測評(二)1.D2.A3.B4.D5.A6.C7.A8.A9.ABD10.ACD11.ACD12.AD1.D直線3x+2y-1=0的斜率為-32,所以m=-32.A∵cos<a,b>=a·b|3.B由題圖得,EF=所以2EF==BA+所以EF=(-2,-3,-3).故選B.4.D設(shè)圓C1、圓C2的半徑分別為r1,r2.圓C1的方程可化為(x-3)2+(y+2)2=1,圓C2的方程可化為(x-7)2+(y-1)2=50-a,所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=50-由題意得兩圓相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.因?yàn)閨C1C2|=42+32=5,所以5=1+解得a=34或a=14.故選D.5.A如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,0,1),B1(2,2,2),∴AB=(0,2,0),設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,0,2),設(shè)平面BB1E的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),則m·EB=2a+2b設(shè)二面角A-BE-B1的平面角為θ,由圖知θ為鈍角,∴cosθ=-|m6.C由雙曲線x24?當(dāng)弦AB僅過雙曲線右支時(shí),通徑最短,長度為2b因?yàn)閨AB|=4>3,所以符合條件的直線有2條.當(dāng)弦AB過雙曲線的兩支時(shí),實(shí)軸最短,長度為2a=4,因?yàn)閨AB|=4,所以符合條件的直線有1條.故選C.7.A設(shè)2|PF1|=3|PF2|=6|QF1|=6t>0,|F1F2|=2c,則|PF1|=3t,|PF2|=2t,|QF1|=t.連接QF2,由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a,所以|QF2|=2a-t=4t,所以a=52在△PF1F2中,由余弦定理得4t2=9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2.在△QF1F2中,由余弦定理得16t2=t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2.因?yàn)椤螾F1F2+∠QF1F2=π,所以cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,所以4t2+3×16t2=(9t2+4c2-2×2c×3t×cos∠PF1F2)+3(t2+4c2-2×2c×t×cos∠QF1F2),即52t2=12t2+16c2,所以c=102所以橢圓的離心率e=ca8.A依題意得,圓O的半徑r=4212+12=4,所以圓O的方程為x2+y2=16.連接OA,OB,OP.因?yàn)镻A,PB是圓O的兩條切線,所以O(shè)A⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以O(shè)P為直徑的圓上.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,b),b∈R,則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為4,b2,所以以O(shè)P為直徑的圓的方程為(x-4)2+y-b9.ABD因?yàn)?4a在b上的投影向量為|a|cos<a,b>·b|b|=|a|·a·b|e·n=1×(-2)+0+3×23=0,則e⊥n假設(shè)a+b,b+c,a+c共面,則存在m,n∈R,使得a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c,則n=1故選ABD.10.ACDF(1,0),不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限.①若直線l的斜率不存在,則A(1,2),B(1,-2),則|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=25<8,S△OAB=12②若直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),顯然k≠0,聯(lián)立y=k(x-1),y2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k∴|AB|=x1+x2+2=4+4k2>4,原點(diǎn)O到直線l的距離d=∴S△OAB=12·|AB|·d=1綜上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A,D正確;如圖,過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線,垂足為N,則|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,故當(dāng)P,A,N三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|AF|取得最小值3,故C正確.故選ACD.11.ACD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,1,2),設(shè)D(x,2-x,2),則B1(x-2,2-x,2).在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,可得AC為平面AA1B1B的一個(gè)法向量,AA對于A,易知AC=(0,2,0),因?yàn)镋F·AC=0,所以EF⊥AC,又EF?平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B對于B,若D是B1C1的中點(diǎn),則BD=(-1,1,2),所以EF·對于C,易知AA1=(0,0,2),設(shè)直線EF與平面ABC所成的角為θ,則sinθ=cos<對于D,設(shè)B1D=λB1C1=(-2λ,2λ,0)(0≤λ≤1),則BDλ=14時(shí),cos<BD,∴BD=|BD12.AD對于A,由mx-y-2m+3=0得m(x-2)-y+3=0,由x-對于B,易知圓C的圓心為C(3,2),半徑r=3,當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C(3,2)時(shí),|AB|取得最大值,為23,所以3m-2-2m+3=0,解得m=-1,故B不正確;對于C,顯然點(diǎn)P在圓C內(nèi),設(shè)圓心C(3,2)到直線l的距離為d,則|AB|=2(3)2-d2=23-d2對于D,AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=|AB|·|AC|·12|AB||AC|即AB·13.答案(x+3)2+(y-2)2=5解析線段AB的中垂線方程為x=-3,把x=-3代入x-2y+7=0,得y=2,故圓心C(-3,2),由兩點(diǎn)間的距離公式得半徑r=|AC|=5,∴圓C的方程為(x+3)2+(y-2)2=5.14.答案5解析由y=2x,x+15.答案1解析∵PF2·F1F2=0,∴PF2△F1OH∽△F1PF2,∴|OH||PF2|∴2a2m+b2m=b2,整理得b2a216.答案2;6解析由題可知|AC|=|CD|2在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=|BC|cos∠ACB=6×3×66(-cos∠ACD')=6×1×-6當(dāng)平面D'AC⊥平面ABC時(shí),設(shè)異面直線AC與BD'所成的角為θ,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),OB的方向?yàn)閤軸正方向,OA的方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,作D'E⊥AC于點(diǎn)E,易知D'E⊥平面ABC,則|OB|=|∴|OE|=|CO|?|CE|=62∴AC=(0,?617.解析易得圓C的圓心為C(1,2),半徑r=5.(1分)(1)由題意得|2m+1+2(2)證明:方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)可化為m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,∴2x∵|PC|=(3∴無論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒交于兩點(diǎn).(7分)(3)當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn),即l⊥PC時(shí),直線l被圓C截得的弦長最短,此時(shí)最短弦長為2r2∵kPC=1-2318.解析(1)過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F,因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=DC,所以EF⊥平面ABCD.(2分)因?yàn)镋為半圓弧CD上一點(diǎn),所以CE⊥ED,所以VE-ABCD=13×S四邊形ABCD×|EF|=1因?yàn)閨CE|2+|ED|2=|CD|2=5,所以VE-ABCD≤25當(dāng)且僅當(dāng)|CE|=|ED|=102所以四棱錐E-ABCD的體積的最大值為55(2)由條件①,得4|DE||DC|cos∠CDE=|CE||CD|cos∠DCE,即4|DE|又因?yàn)閨DE|2+|CE|2=5,所以|DE|=1,|CE|=2.因?yàn)锳D∥BC,BC⊥平面DCE,所以∠CBE為異面直線AD與BE所成的角,BC⊥CE,所以Rt△CBE中,sin∠CBE=|CE||由條件②,得sin∠CBE=23,所以tan∠CBE=2由條件③,得sin∠EABsin∠EBA若選條件①②,則|DE|=1,|CE|=2,且|CE||BC|若選條件①③,則|DE|=1,|CE|=2,且x2+|若選條件②③,則|CE|x=tan∠CBE=255,且x2+即從①②③中任選兩個(gè)作為條件,都可以得到|DE|=1,|CE|=2,|AD|=|BC|=5.(9分)下面求AD與平面EAB所成角的正弦值.以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為z軸,過點(diǎn)A且與平面ABCD垂直的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,0,所以AE=設(shè)平面EAB的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),則AE令c=1,則a=0,b=-52,所以m=0設(shè)直線AD與平面EAB所成的角為θ,θ∈0,則sinθ=|cos<AD,m>|=55所以cosθ=1-所以AD與平面EAB所成角的余弦值為52919.解析(1)由題知,直線AB的方程為xa由圓O與直線AB相切,得aba2+設(shè)橢圓E的半焦距為c,則e=ca由①②得a2=4,b2=1.故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y(2)k1·k2是定值,且k1·k2=14由(1)得直線AB的方程為y=-12故可設(shè)直線DC的方程為y=-12設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立x24+y2則Δ=8-4m2>0,∴-2<∴x1+x2=2m,x1x2=2m2-2.又k1=y1∴k1·k2=y1x=m220.解析(1)由題意得,點(diǎn)E到直線l':y=-1的距離等于點(diǎn)E與點(diǎn)F(0,1)之間的距離,則點(diǎn)E的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線l'為準(zhǔn)線的拋物線.(2分)設(shè)其方程為x2=2py(p>0).由題意得p2=1,解得p=2,所以曲線C的方程是x2(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),過曲線C上點(diǎn)M(x1,y1)的切線方程為y-y1=k(x-x1).由x2=4y,y-y1令Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又x12=4y1,所以k=x12.所以過曲線C上點(diǎn)M(x1,y1)的切線方程為y-y1=x1又切線過點(diǎn)P(x0,y0),所以y0=x12x0?x124同理,過點(diǎn)N(x2,y2)的切線方程為y=x2又切線過點(diǎn)P(x0,y0),所以y0=x22x0?x224所以點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)均滿足y0=x2x0-y,即x0x=2(y0又P(x0,y0)為直線l:y=-2上任意一點(diǎn),所以y0=-2,所以直線MN的方程為x0x=2(y-2).所以點(diǎn)F(0,1)到直線MN的距離d=2x02+4,當(dāng)x所以點(diǎn)F到直線MN的距離的最大值為1.(12分)21.解析(1)證明:取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OB'.由題意得BB'=AB=AB'=BC=B'C,在△AB'C中,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以O(shè)B'⊥AC,即∠B'OC=90°.易知△OBB'≌△OCB',則∠B'OB=∠B'OC=90°,即B'O⊥OB.(2分)因?yàn)锳C∩OB=O,所以B'O⊥平面ABC.因?yàn)锽'O?平面AB'C,所以平面AB'C⊥平面ABC.(4分)(2)不妨設(shè)OA=1,由(1)知B'O⊥平面ABC,易知OB⊥AC.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OB,OB'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(0,1,0),B'(0,0,1),C(1,0,0),所以AB=(1,1,0),設(shè)平面ABB'的一個(gè)法向量為n=(x,y