2023-2024學(xué)年福建省泉州市安溪縣銘選中學(xué)高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（5月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省泉州市安溪縣銘選中學(xué)高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（5月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)zA.1 B.2 C.3 2.已知|a|=2，向量a在向量b上的投影數(shù)量為3，則a與bA.π3 B.π6 C.2π3.已知△ABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖為△A′B′C′，若A′A.33 B.364 4.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，與該正方體每個(gè)面都相切的球半徑記為R1，與該正方體每條棱都相切的球半徑為R2，過該正方體所有頂點(diǎn)的球半徑為R3，則下列關(guān)系正確的是A.R1：R2：R3=2：3：25.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙副弦圖”中，已知AE=3EF，AB=aA.1225a+925b

B.166.設(shè)向量a與b的夾角為θ，定義a⊕b=|asinθA.22 B.2 C.7.如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB=8cm，A.872πcm3 B.878.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，且AA.1

B.2

C.4

D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中錯(cuò)誤的有(

)A.a=b的充要條件是|a|=|b|且a/?/b

B.若a/?/10.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(A.“z∈R”的充要條件是“z=z?”

B.若a=b=1，則z3的虛部為2

C.若a=11.中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．把以上文字寫成公式，即S=14[c2a2?(c2+a2?b22)2](S為三角形的面積，a，A.△ABC的最短邊長(zhǎng)為4 B.△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足A+B=2C

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=1i+i2022，則13.已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為9π和16π，且兩截面間的距離為1，則該球的體積為______．14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinB=3b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z滿足z?1為純虛數(shù)，(1?2i)?z為實(shí)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．

(1)求復(fù)數(shù)z；16.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足2acosB=2c+b．

(1)求A；

(17.(本小題15分)

如圖所示，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ與CR相交于點(diǎn)I，AI的延長(zhǎng)線與邊BC交于點(diǎn)P．

(1)用AB和AC分別表示B18.(本小題17分)

如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，在A點(diǎn)測(cè)得M，N的俯角分別為α1=75°，β1=30°，在B點(diǎn)測(cè)得M，N的俯角分別為α2=45°，β2=60°，同時(shí)測(cè)得AB19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵(1?i)z=2i，

∴(1+i)(12.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了平面向量的投影、夾角，屬于基礎(chǔ)題．

利用平面向量投影的定義，列出方程求出a與b夾角的余弦值，即可得出夾角大?。窘獯稹拷猓河浵蛄縜與向量b的夾角為θ，θ∈[0,π]，

而|a|=2，

∴a在b上的投影數(shù)量為|a|cosθ3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，根據(jù)“斜二測(cè)畫法”原理，原△ABC的面積與△A′B′C′的面積的比值為22，

A′B′=4，B′C′=3，∠A′B′C′=604.【答案】C

【解析】解：與該正方體每個(gè)面都相切的球直徑為棱長(zhǎng)：R1=12，

與該正方體每條棱都相切的球直徑面對(duì)角線長(zhǎng)：R2=1+12=22，

過該正方體所有頂點(diǎn)的球的半徑為體對(duì)角線：R3=1+1+12=35.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳E=3EF，

所以AF=AB+BF=AB6.【答案】A

【解析】解：∵|a|=2，|b|=|a+b|=1，

∴|a+b|2=a2+2a?b+b2=1，

即2+2a?b7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得該青銅器的體積為：

π×22×22+13×8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镚是AD的中點(diǎn)，且AB=xAM,AC=yAN，

所以AG=12×12(AB+AC)=14(xAM+9.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A：a=b的充要條件是|a|=|b|且方向相同，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)b=0時(shí)，原式不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：根據(jù)向量加、減法的三角形法則，可知|10.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，若z∈R，則z=a，此時(shí)z=z?，

若z=z?，則a+bi=a?bi，即b=0，故z=a∈R，故A對(duì)；

對(duì)于B，z=1+i，則z3=(1+i)3=?2+2i，故虛部為2，故B對(duì)；

對(duì)于C，z=i，則z+z2+z3+z4=i?1?i+1=0，

11.【答案】AB【解析】解：因?yàn)閟inA：sinB：sinC=2：3：7，

所以由正弦定理可得a：b：c=2：3：7，

設(shè)a=2t，b=3t，c=7t，t>0，

因?yàn)椤鰽BC的面積S△ABC=63，

所以63=14[7t2×4t2?(7t2+4t2?9t22)2]，

解得t=2，則a=4，b=6，c=27，

所以△ABC的最短邊長(zhǎng)為4，故A正確；

因?yàn)閏osC=a2+b2?12.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閦=1i+i2022=?ii(?i)+i505×4+2=?13.【答案】500π【解析】解：設(shè)球的半徑為R，依題意，截面圓的面積分別為9π和16π，則截面圓的半徑分別為3，4，

可得球心到兩截面圓的距離分別為R2?32，R2?42．

當(dāng)兩截面在球心的同一側(cè)時(shí)，因?yàn)閮山孛骈g的距離為1，

所以R2?32?R2?42=1，解得14.【答案】7

【解析】解：由正弦定理得：sinAsinB=3sinBcosA，

∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，

∴sinA=15.【答案】解：(1)設(shè)z=m+ni，(m,n∈R)，

∵復(fù)數(shù)z滿足z?1=(m?1)+ni為純虛數(shù)，

∴m=1，且n≠0，

∵(【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)和實(shí)數(shù)的定義，即可求解．

(216.【答案】解：(1)因?yàn)?acosB=2c+b，

由正弦定理可得2sinAcosB=2sinC+sinB，

即2sinAcosB=2sin(A+B)+【解析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式可求出結(jié)果；

(217.【答案】解：(1)由AQ=12AC，

可得BQ=BA+AQ=?AB+12AC，

∵AR=13AB，

∴CR=CA+AR=?AC+13AB．

(2)將BQ=?AB+12AC，CR=?AC+13A【解析】此題考查了向量加減法，平面向量基本定理等，難度較大．

(1)利用數(shù)量關(guān)系和向量加法的三角形法則容易求得；

(2)利用(1)的結(jié)果，把BQ,CR轉(zhuǎn)化為AB,AC即可得解；

18.【答案】解：(1)在△ABM中，由題知AB=106，∠MAB=75°，∠ABM=45°，

所以∠AMB=180°?75°?45°=60°，

由正弦定理得AMsin∠ABM=ABsin∠AMB，所以AM=AB【解析】(1)在△ABM中，利用正弦定理即可求解出AM，再利用條件得到BN=AB；

(219.【答案】解：(1)取PA中點(diǎn)M，連接MD、MF，

∵ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AB、AD?平面ABCD，

∴AB⊥AD，PD⊥AB，PD⊥AD，

又∵AD∩PD=D，AD、PD?平面PAD，

∴BA⊥平面PAD，

∵DM?平面PAD，

∴BA⊥DM，

∵Rt△PAD中，PD=AD，M為PA中點(diǎn)，

∴PA⊥DM，

又PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

∴DM⊥平面PAB．

∵F、M分別為PB、PA中點(diǎn)，

∴FM/?/AB，且FM=12AB，

又∵E為CD中點(diǎn)，底面