2023-2024學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知cosα=1A.32 B.?32 2.MN?PA.QN B.NQ C.PM3.在△ABC中，AB=3，BCA.?16 B.16 C.32 D.4.一個(gè)水平放置的平面圖形OABC按斜二測畫法得到的直觀圖O′A′B′C′如圖所示.已知

A.3 B.6 C.62 5.把函數(shù)f(x)=sinx的圖象向左平移π6個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?π倍(A.函數(shù)y=g(x)的最小正周期T=6

B.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2,6.某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量(單位：mm).2424小時(shí)降雨量(精確到0.1…0.110.025.050.0降雨等級…小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過程中，用一個(gè)側(cè)棱AA1=80mm的三棱柱容器收集的24小時(shí)的雨水如圖所示，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水面恰好過AC，A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨7.如圖，圓錐PO的底面直徑和高均為12，過PO上一點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為(

)A.12π

B.24π

C.36π8.在△ABC中，AB=AC=22，BA.34 B.14 C.?3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α是平面，若m/?/α，n?α，則mA.平行 B.垂直 C.相交 D.異面10.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是A.若sin2A=sin2B+sin2C?sinBsinC，則角A=π3

B.存在A，B，11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱A.FD1=FC

B.三棱錐C?DED1的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a，b為共線向量，且a=(3,1)，b=13.在△ABC中，D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)M.若AB=2，

14.降維類比和升維類比主要應(yīng)用于立體幾何的學(xué)習(xí)，將空間三維問題降為平面二維或者直線一維問題就是降維類比.平面幾何中多邊形的外接圓，即找到一點(diǎn)，使得它到多邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.這個(gè)點(diǎn)就是外接圓的圓心，距離就是外接圓的半徑.若這樣的點(diǎn)存在，則這個(gè)多邊形有外接圓，若這樣的點(diǎn)不存在，則這個(gè)多邊形沒有外接圓.事實(shí)上我們知道，三角形一定有外接圓，如果只求外接圓的半徑，我們可通過正弦定理來求，我們也可以關(guān)注九年義教初中《幾何》第三冊第94頁例2的結(jié)論：三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商.借助求三角形外接圓的方法解決問題：若等腰梯形ABCD的上下底邊長分別為6和8，高為1，這個(gè)等腰梯形的外接圓半徑為______；軸截面是旋轉(zhuǎn)體的重要載體，圓臺的軸截面中包含了旋轉(zhuǎn)體中的所有元素：高、母線長、底面圓的半徑，通過研究其軸截面，可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.觀察圖象，通過類比，我們可以找到一般圓臺的外接球問題的研究方法，正棱臺可以看作由圓臺切割得到.研究問題：如圖，正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知ABCD?A1B1C1D1是棱長為2的正方體．

(1)求三棱錐D?A1B16.(本小題15分)

已知向量a，b滿足，|a|=4，|b|=23，且a在b上的投影向量為?b．

(1)求<a17.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosB2cosA=sin(C?π6)，且bsinC18.(本小題17分)

在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2，A=45°，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，將三角形ADE沿DE翻折，使得二面角A?ED?C為直二面角后，得到四棱錐

A?19.(本小題17分)

“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題，該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.如圖1，三個(gè)內(nèi)角都小于120°的△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值.我們稱三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可求出這三條線段和的最小值.某數(shù)學(xué)研究小組先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題，具體的做法如圖2，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，連接PD，BE，則BE的長即為所求，此時(shí)與三個(gè)頂點(diǎn)連線恰好三等分費(fèi)馬點(diǎn)P的周角.同時(shí)小組成員研究教材發(fā)現(xiàn)：已知對任意平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AQ=(xcosθ?ysinθ

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閏osα=12，所以cos22.【答案】A

【解析】解：MN?PQ?MP=M3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锳B=3，BC=4，AC=5，

所以AB2+BC2=A4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖O′A′B′C′中，過點(diǎn)D′作D′E′⊥x′軸，交x′軸于點(diǎn)E′，

由于O′A′=2C′B′=4，O′C′=A′B′，

易得O′5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=sinx的圖象向左平移π6個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(x+π6)的圖象，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?π倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)=sin(π6x+π6)的圖象，

對于A：函數(shù)的最小正周期為T=2ππ6=12，故A錯(cuò)誤；

對于6.【答案】D

【解析】解：不妨令此三棱柱為直三棱柱，如圖，

當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，

設(shè)△ABC的面積為S，

則S梯形ABFE=34S，V水=34S?AA1=60S，

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，

設(shè)水面高為7.【答案】C

【解析】解：圓錐軸截面如圖所示，

設(shè)圓柱的底面半徑為r，OO′=x，

由O′A//OB可知，PO′PO=O′AOB，即12?x12=r6，8.【答案】A

【解析】解：由AB=AC=22，BC=4，可知AB⊥AC，

建立如圖所示坐標(biāo)系，

則有A(0,0)，B(22,0)，9.【答案】AB【解析】解：因?yàn)閙/?/α，則m與α沒有交點(diǎn)，

又因?yàn)閚?α，m，n可能平行，可能異面，異面中可能垂直．

故選：10.【答案】CD【解析】解：A中，因?yàn)閟in2A=sin2B+sin2C?sinBsinC，由正弦定理可得：b2+c2?a2=bc，

由正弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=12，由A∈(0,π)，

可得A=π3，所以A正確；

B中，因?yàn)閠anA+tanB+tanC=tanA+tanB?tan(A+B)

=tan(A+B)11.【答案】AB【解析】解：對A選項(xiàng)，易知Rt△DFD1≌Rt△DFC，∴FD1=FC，∴A選項(xiàng)正確；

對B選項(xiàng)，∵△CDE的面積為定值，且D1到平面CDE的距離也為定值，

∴三棱錐C?DED1的體積為定值，∴B選項(xiàng)正確；

對C選項(xiàng)，∵ED1在該正方體的左側(cè)面內(nèi)的射影為AD12.【答案】6

【解析】解：∵a，b為共線向量，且a=(3,1)，b=(x,2)(13.【答案】7【解析】解：因?yàn)锳B=2，AC=4，∠BAC=π3，所以AB?AC=2×4×cosπ3=4．

因?yàn)镈，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以AE=12AB+12AC，BD=AD14.【答案】5

500π【解析】解：分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF=1，AE=3，BF=4，

設(shè)等腰梯形ABCD的外接圓的圓心為M，半徑為r，則M一定在直線EF上，

設(shè)MF=x，

當(dāng)點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，x2+42=r2=(1?x)2+32，該方程無解；

當(dāng)點(diǎn)M在EF的延長線上時(shí)，x2+42=r2=(1+x)2+32，解得x=3，r=5，

所以這個(gè)等腰梯形的外接圓半徑為5；15.【答案】(1)解：法(i)因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1是棱長為2的正方體，

因?yàn)镈C⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，

所以DC⊥B1C，正方體中，BC1⊥B1C，

B1C∩DC=C，

所以BC1⊥平面CDB1，而DB1?平面CDB1，

所以BC1⊥DB1，

同理可得BD1⊥A1B，

又因?yàn)锽C1∩A1B=B，

可得BD1⊥平面A1BC1，

在正方體中可得B1D【解析】(1)法(i)由題意可證得BD1⊥平面A1BC1，求出B1D的值，再由等體積法求出B1到平面A1BC1的距離d，進(jìn)而可得D到平面A1BC1的距離h，求出△A116.【答案】解：(1)因?yàn)閨a|=4，|b|=23，且a在b上的投影向量為?b，

所以a?b|b|?b|b|=?b，所以a?b=?【解析】(1)由投影向量的定義可求得a?b，再由向量的夾角公式可求得<a,17.【答案】解：(1)因?yàn)閎sinC=2sinB，由正弦定理可得bc=2b，

解得c=2，

因?yàn)閏osB2cosA=sin(C?π6)，可得cosB=2cosA(32sinC?12cosC)=3cosAsinC?cosAcosC，

在△ABC中，cosB【解析】(1)因?yàn)閎sinC=2sinB，由正弦定理可得c的值，再由cosB2cosA=sin(C?π6)18.【答案】(1)證明：取AC的中點(diǎn)M，連接FM，BM，

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，AB=2，AD=2，A=45°，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，

可得BE/?/CD，且BE=12CD，

FM/?/CD，且FM=12CD，

所以四邊形EFMB為平行四邊形，

所以BM/?/EF，

又因?yàn)镋F?平面ABC，BM?平面ABC，

所以EF/?/平面ABC；

(2)證明：因?yàn)槎娼茿?ED?C為直二面角，AB=2，AD=2，A=45°，

在原四邊形ABCD中，DE⊥AB，即DE⊥BE，AE⊥DE，

所以∠AEB=90°，DE∩BE=E，

所以AE⊥平面EB【解析】(1)取AC的中點(diǎn)M，連接FM，BM，由題意可得FM/?/BE，且FM=BE，即可得四邊形EFMB為平行四邊形，可得BM/?/EF，進(jìn)而可證得結(jié)論；

(2)由二面角A?ED?C為直二面角及原四邊形ABCD的邊長及角的大小，可證得AE⊥平面E19.【答案】解：(1)AB=(