《概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用》課件第二章 隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)隨機(jī)變量第二節(jié)離散型隨機(jī)變量第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量第四節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一節(jié)隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的定義定義1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),其樣本空間為S={ω},如果對(duì)任一ω∈S都有一實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),且對(duì)任何實(shí)數(shù)x∈R,集合{ω|X(ω)≤x}是一隨機(jī)事件,則稱單值實(shí)函數(shù)X=X(ω)為隨機(jī)變量,X(ω)簡(jiǎn)記為X.約定用大寫英文字母X,Y等表示隨機(jī)變量.引入隨機(jī)變量后,事件可以通過隨機(jī)變量來表示,從而對(duì)事件及事件概率的研究也就轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.二、分布函數(shù)定義2設(shè)X為隨機(jī)變量,x為任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)F(x)=P(X≤x),-∞<x<+∞(2-1)為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱分布函數(shù).分布函數(shù)F(x)是一個(gè)普通的一元實(shí)函數(shù),定義域是全體實(shí)數(shù),若將隨機(jī)變量X看作實(shí)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(-∞,x]上的概率,而X落在區(qū)間(a,b]上的概率恰為分布函數(shù)F(x)在此區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值之差,即P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)分布函數(shù)F(x)的基本性質(zhì)如下:(1)有界性:對(duì)任意x,有0≤F(x)≤1,且,(2)單調(diào)不減性:若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)(3)右連續(xù)性:F(x0+0)=F(x0),即第二節(jié)離散型隨機(jī)變量一、定義定義1若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)值或者可列無窮個(gè)值x1,x2,…,xn,…,則X為離散型隨機(jī)變量,稱P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,…

(2-2)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律或分布律.離散型隨機(jī)變量X的分布律具有下面兩個(gè)性質(zhì):二、幾種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布1.(01)分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的概率分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,(0<p<1)則稱X服從參數(shù)為p的(01)分布2.二項(xiàng)分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A與A.設(shè)P(A)=p(0<p<1),此時(shí)=1-p.將E獨(dú)立地重復(fù)n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).在n重伯努利試驗(yàn)中,用X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它可能的取值為0,1,2,…,n,且對(duì)每一個(gè)k(0≤k≤n),事件{X=k}即為事件“n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次”,于是有定義3設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律其中0<p<1為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p).特別地,n=1時(shí)B(1,p)就是(0-1)分布.顯然,二項(xiàng)分布滿足分布律的兩個(gè)條件,即:(1)P(X=k)≥0;3.泊松分布定義4設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,…,取各個(gè)值的概率為其中λ>0為常數(shù).則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記為X~P(λ).泊松定理在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān)),如果,則對(duì)任意給定的非負(fù)整數(shù)k,有事實(shí)上,記npn=λn,即.因?yàn)橐驅(qū)潭ǖ膋有,故又從而第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量一、連續(xù)型隨機(jī)變量定義1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,并稱f(x)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或者概率密度.概率密度函數(shù)的性質(zhì)如下:(1)非負(fù)性f(x)≥0;(2)規(guī)范性反之,滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)如下:(1)分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù),其圖形是位于y=0與y=1之間的單調(diào)上升的連續(xù)曲線.對(duì)于實(shí)數(shù)軸上任意的集合D,有所以,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,知道了X的概率密度,即掌握了它在實(shí)數(shù)軸上的分布規(guī)律,就能夠算得它落在集合D中的概率,即概率密度可以完全刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率特征;(2)若概率密度f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有F'(x)=f(x);(3)(4)對(duì)任意常數(shù)a,有P(X=a)=0.連續(xù)型隨機(jī)變量不能像離散型隨機(jī)變量那樣,用列舉它所取到的所有可能值的概率來描述它的分布規(guī)律,而必須用它在各個(gè)區(qū)間取值的概率來描述.分布律確定了離散型隨機(jī)變量的概率分布,而密度函數(shù)確定了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.同時(shí)容易得到,一個(gè)事件的概率等于零,此事件并不一定是不可能事件.同樣地,一個(gè)事件的概率為1,此事件也不一定就是必然事件.另外,由P(X=a)=0可知,在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間內(nèi)的概率時(shí),可以不必區(qū)分是開區(qū)間還是閉區(qū)間,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a<b,有二、幾種常見的連續(xù)型分布1.均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作X~U(a,b).當(dāng)X~U(a,b)時(shí),其分布函數(shù)為均勻分布的概率密度f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖形見圖2.2.分布的“均勻”性是指X具有下述意義的等可能性,即它落在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意等長小區(qū)間的概率相等.2.指數(shù)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記X~E(λ).當(dāng)X~E(λ)時(shí),其分布函數(shù)為指數(shù)分布下的概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖形見圖2.3.指數(shù)分布具有一個(gè)非常重要的性質(zhì),就是“無記憶性”.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則對(duì)任意實(shí)數(shù)s>0,t>0,有第四節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布一、二維隨機(jī)變量1.定義設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間S={ω},X=X(ω),Y=Y(ω)是定義在S上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.2.聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)二維隨機(jī)向量,將(X,Y)作為一個(gè)整體進(jìn)行研究,不但能研究分量X和Y的性質(zhì),還可以研究它們之間的相互聯(lián)系.為了描述二維隨機(jī)變量(X,Y)整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,我們引入二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.我們將事件{X≤x}∩{Y≤y}簡(jiǎn)記為{X≤x,Y≤y}.設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,稱二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù),也稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).分布函數(shù)F(x,y)表示事件{X≤x}和事件{Y≤y}同時(shí)發(fā)生的概率,如果用平面上的點(diǎn)(x,y)表示二維隨機(jī)變量(X,Y)的一組可能的取值,則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入以(x,y)為右上頂點(diǎn)的無窮矩形中的概率,如圖2.4所示.如一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)一樣,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x,y)也有如下的基本性質(zhì):(1)分布函數(shù)關(guān)于每個(gè)變量單調(diào)不減,即若x1<x2,則對(duì)任意固定的y,有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1<y2,則對(duì)任意固定的x,有F(x,y1)≤F(x,y2)(2)分布函數(shù)關(guān)于每個(gè)變量都是右連續(xù)的,即對(duì)任意給定的x和y,有F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(3)有界,即對(duì)任意給定的x和y,分布函數(shù)滿足0≤F(x,y)≤1,且對(duì)任意給定的y,對(duì)任意給定的x,(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1<x2,y1<y2有P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能的取值為有限對(duì)或可列對(duì),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)(X,Y)的所有可能的取值為(xi,yj)(i,j=1,2,…),則稱概率P(X=xi,Y=yi)=pij,i,j=1,2,…為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律,也稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.(X,Y)的分布律也常用表格來表示,見表2.1.顯然,二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律具有如下性質(zhì):(1)0≤pij≤1,i,j=1,2,3,…;容易看出,二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為這里的和式表示對(duì)一切滿足xi≤x,yj≤y的i,j求和.反過來,由聯(lián)合分布函數(shù)也可以求出聯(lián)合分布律.因此,聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合分布律是相互唯一確定的,它們都可以完全刻畫二維離散型隨機(jī)變量的概率特征.三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度,也簡(jiǎn)稱為隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度.按定義,聯(lián)合概率密度f(x,y)具有如下性質(zhì):(1)f(x,y)≥0;(2)(3)若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),則有(4)若G是xOy平面上的一個(gè)區(qū)域,則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為四、邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,前面討論了它的聯(lián)合分布,而X,Y各自都是一維隨機(jī)變量,它們也有各自的分布函數(shù),記為FX(x),FY(y).FX(x),FY(y)分別稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).事實(shí)上,(X,Y)的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)

(211)FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y)=F(+∞,y)

(212)1.二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…則X的分布律為Y的分布律為pi·和p·j(i,j=1,2,3,…)分別稱為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律.若將(X,Y)的分布律用表格形式表示,則pi·就是表中第i行所有概率之和,p·j就是表中第j列所有概率之和.若將分布律的表格擴(kuò)充,可以更直觀地得到邊緣分布律,如表2.2所示.2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度類似地,由二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y),也可以得到單個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.事實(shí)上,由得到同理,由得到fX(x),fY(y)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率密度函數(shù)或者邊緣概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量相同:已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布;反之則不能唯一確定.五、條件分布1.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)(X,Y)是離散型二維隨機(jī)變量,X和Y的聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…則(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律為定義1對(duì)于固定的j,若p·j=P(Y=yj)>0,稱為在Y=yj條件下,隨機(jī)變量X的條件分布律.同樣,對(duì)于固定的i,若pi·=P(X=xi)>0,稱為在X=xi條件下,隨機(jī)變量Y的條件分布律.易知上述條件概率滿足分布律的性質(zhì):2.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的條件分布比離散型復(fù)雜,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,有P(X=x)=0,P(Y=y)=0,所以就不能直接用條件概率來計(jì)算條件分布函數(shù).設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,分布函數(shù)為F(x,y),概率密度為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y),f(x,y)和fY(y)均連續(xù),且fY(y)>0.計(jì)算條件概率:由于從而至此,我們定義:對(duì)于一切fY(y)>0,給定Y=y條件下X的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)分別為同理可以定義對(duì)于一切fX(x)>0,給定X=x條件下Y的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)分別為六、隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y)即P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)(2-23)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.隨機(jī)變量(X,Y)只要滿足上述定義的條件,則任何只與X有關(guān)的事件和任何只與Y有關(guān)的事件都相互獨(dú)立.對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量,有下面更為簡(jiǎn)明的獨(dú)立性定義.定義3設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,若對(duì)于一切i,j,有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)即pij=pi··p·j(2-24)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.定義4設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x,y),關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y),如果對(duì)于一切x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)(2-25)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.2.n維隨機(jī)變量的獨(dú)立性關(guān)于二維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)論,可以推廣到n維隨機(jī)變量的情形.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量,它們構(gòu)成的向量(X1,X2,…,Xn)稱為n維隨機(jī)變量,n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P(X≤x1,X≤x2,…,X≤xn)稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù).設(shè)(X1,X2,…,Xn)關(guān)于Xi的邊緣分布函數(shù)為FXi(xi),(i=1,2,…,n)有下面的定義.定義5設(shè)(X1,X2,…,Xn)為n維隨機(jī)變量,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,有對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)一切x1,x2,…,xn,有對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)一切x1,x2,…,xn,有f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)

(2-28)這里f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2,…,Xn)的概率密度,fXi(xi)(i=1,2,…,n)是(X1,X2,…,Xn)關(guān)于Xi的邊緣概率密度.下面的結(jié)論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中會(huì)經(jīng)常用到:若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則(1)其中任意r(r≤n)個(gè)隨機(jī)變量也相互獨(dú)立.(2)X1,X2,…,Xn各自的函數(shù)g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互獨(dú)立.(3)設(shè)(X1,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…,Xm)相互獨(dú)立,則g(X1,X2,…,Xn)與h(Y1,Y2,…,Ym)也相互獨(dú)立,其中h,g是連續(xù)函數(shù).第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,則Y=g(X)也為離散型隨機(jī)變量,它的分布律可以直接從X的分布律得到.方法是先確定Y可能取的值,再求出它取每個(gè)值的概率.若X的分布律為則Y=g(X)的分布律為當(dāng)g(x1),g(x2),…,g(xn),…中有某些值相等時(shí),應(yīng)把相等的值分別合并,并把對(duì)應(yīng)的概率相加,作為Y取該值的概率.2.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量時(shí),它的函數(shù)Z=g(X,Y)是(一維)離散型隨機(jī)變量,其分布律的求法與前面討論過的一維離散型隨機(jī)變量的情形是一樣的.即先確定Z=g(X,Y)所有可能取的值,再求出它取每個(gè)值的概率.設(shè)(X,Y)的分布律為P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,3,…則Z=g(X,Y)的分布律為P(Z=g(xi,yj))=piji,j=1,2,3,…二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不