《概率統(tǒng)計及其應用》課件第二章 隨機變量及其分布

第一節(jié)隨機變量第二節(jié)離散型隨機變量第三節(jié)連續(xù)型隨機變量第四節(jié)二維隨機變量及其分布第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布第一節(jié)隨機變量一、隨機變量的定義定義1設E是隨機試驗,其樣本空間為S={ω},如果對任一ω∈S都有一實數(shù)X(ω)與之對應,且對任何實數(shù)x∈R,集合{ω|X(ω)≤x}是一隨機事件,則稱單值實函數(shù)X=X(ω)為隨機變量,X(ω)簡記為X.約定用大寫英文字母X,Y等表示隨機變量.引入隨機變量后,事件可以通過隨機變量來表示,從而對事件及事件概率的研究也就轉化為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.二、分布函數(shù)定義2設X為隨機變量,x為任意實數(shù),稱函數(shù)F(x)=P(X≤x),-∞<x<+∞(2-1)為隨機變量X的概率分布函數(shù),簡稱分布函數(shù).分布函數(shù)F(x)是一個普通的一元實函數(shù),定義域是全體實數(shù),若將隨機變量X看作實軸上隨機點的坐標,那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(-∞,x]上的概率,而X落在區(qū)間(a,b]上的概率恰為分布函數(shù)F(x)在此區(qū)間兩個端點的函數(shù)值之差,即P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)分布函數(shù)F(x)的基本性質(zhì)如下:(1)有界性:對任意x,有0≤F(x)≤1,且,(2)單調(diào)不減性:若x1<x2,則F(x1)≤F(x2)(3)右連續(xù)性:F(x0+0)=F(x0),即第二節(jié)離散型隨機變量一、定義定義1若隨機變量X只能取有限個值或者可列無窮個值x1,x2,…,xn,…,則X為離散型隨機變量,稱P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,…

(2-2)為離散型隨機變量X的概率分布律或分布律.離散型隨機變量X的分布律具有下面兩個性質(zhì):二、幾種常見的離散型隨機變量的概率分布1.(01)分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的概率分布為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,(0<p<1)則稱X服從參數(shù)為p的(01)分布2.二項分布設試驗E只有兩個可能結果A與A.設P(A)=p(0<p<1),此時=1-p.將E獨立地重復n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗.在n重伯努利試驗中,用X表示n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X是一個離散型隨機變量,它可能的取值為0,1,2,…,n,且對每一個k(0≤k≤n),事件{X=k}即為事件“n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次”,于是有定義3設隨機變量X具有分布律其中0<p<1為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為X~B(n,p).特別地,n=1時B(1,p)就是(0-1)分布.顯然,二項分布滿足分布律的兩個條件,即:(1)P(X=k)≥0;3.泊松分布定義4設隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…,取各個值的概率為其中λ>0為常數(shù).則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記為X~P(λ).泊松定理在n重伯努利試驗中,事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為pn(與試驗的次數(shù)n有關),如果,則對任意給定的非負整數(shù)k,有事實上,記npn=λn,即.因為因?qū)潭ǖ膋有,故又從而第三節(jié)連續(xù)型隨機變量一、連續(xù)型隨機變量定義1設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在實數(shù)軸上的一個非負可積函數(shù)f(x),使得對于任意給定的實數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機變量,并稱f(x)為X的概率密度函數(shù),簡稱為密度函數(shù)或者概率密度.概率密度函數(shù)的性質(zhì)如下:(1)非負性f(x)≥0;(2)規(guī)范性反之,滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)一定是某個連續(xù)型隨機變量的概率密度.連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)如下:(1)分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù),其圖形是位于y=0與y=1之間的單調(diào)上升的連續(xù)曲線.對于實數(shù)軸上任意的集合D,有所以,對于連續(xù)型隨機變量,知道了X的概率密度,即掌握了它在實數(shù)軸上的分布規(guī)律,就能夠算得它落在集合D中的概率,即概率密度可以完全刻畫連續(xù)型隨機變量的概率特征;(2)若概率密度f(x)在點x處連續(xù),則有F'(x)=f(x);(3)(4)對任意常數(shù)a,有P(X=a)=0.連續(xù)型隨機變量不能像離散型隨機變量那樣,用列舉它所取到的所有可能值的概率來描述它的分布規(guī)律,而必須用它在各個區(qū)間取值的概率來描述.分布律確定了離散型隨機變量的概率分布,而密度函數(shù)確定了連續(xù)型隨機變量的概率分布.同時容易得到,一個事件的概率等于零,此事件并不一定是不可能事件.同樣地,一個事件的概率為1,此事件也不一定就是必然事件.另外,由P(X=a)=0可知,在計算連續(xù)型隨機變量落在某一區(qū)間內(nèi)的概率時,可以不必區(qū)分是開區(qū)間還是閉區(qū)間,即對于任意的實數(shù)a<b,有二、幾種常見的連續(xù)型分布1.均勻分布設隨機變量X具有概率密度則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作X~U(a,b).當X~U(a,b)時,其分布函數(shù)為均勻分布的概率密度f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖形見圖2.2.分布的“均勻”性是指X具有下述意義的等可能性,即它落在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意等長小區(qū)間的概率相等.2.指數(shù)分布設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記X~E(λ).當X~E(λ)時,其分布函數(shù)為指數(shù)分布下的概率密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)的圖形見圖2.3.指數(shù)分布具有一個非常重要的性質(zhì),就是“無記憶性”.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則對任意實數(shù)s>0,t>0,有第四節(jié)二維隨機變量及其分布一、二維隨機變量1.定義設試驗E的樣本空間S={ω},X=X(ω),Y=Y(ω)是定義在S上的隨機變量,由它們構成的向量(X,Y)稱為二維隨機變量或二維隨機向量.2.聯(lián)合分布函數(shù)對二維隨機向量,將(X,Y)作為一個整體進行研究,不但能研究分量X和Y的性質(zhì),還可以研究它們之間的相互聯(lián)系.為了描述二維隨機變量(X,Y)整體的統(tǒng)計規(guī)律性,我們引入二維隨機變量的分布函數(shù)的概念.我們將事件{X≤x}∩{Y≤y}簡記為{X≤x,Y≤y}.設(X,Y)為二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y,稱二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù),也稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).分布函數(shù)F(x,y)表示事件{X≤x}和事件{Y≤y}同時發(fā)生的概率,如果用平面上的點(x,y)表示二維隨機變量(X,Y)的一組可能的取值,則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入以(x,y)為右上頂點的無窮矩形中的概率,如圖2.4所示.如一維隨機變量的分布函數(shù)一樣,二維隨機變量的分布函數(shù)F(x,y)也有如下的基本性質(zhì):(1)分布函數(shù)關于每個變量單調(diào)不減,即若x1<x2,則對任意固定的y,有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1<y2,則對任意固定的x,有F(x,y1)≤F(x,y2)(2)分布函數(shù)關于每個變量都是右連續(xù)的,即對任意給定的x和y,有F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(3)有界,即對任意給定的x和y,分布函數(shù)滿足0≤F(x,y)≤1,且對任意給定的y,對任意給定的x,(4)對于任意實數(shù)x1<x2,y1<y2有P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0二、二維離散型隨機變量及其分布若二維隨機變量(X,Y)所有可能的取值為有限對或可列對,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.設(X,Y)的所有可能的取值為(xi,yj)(i,j=1,2,…),則稱概率P(X=xi,Y=yi)=pij,i,j=1,2,…為二維隨機變量(X,Y)的分布律,也稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.(X,Y)的分布律也常用表格來表示,見表2.1.顯然,二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律具有如下性質(zhì):(1)0≤pij≤1,i,j=1,2,3,…;容易看出,二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為這里的和式表示對一切滿足xi≤x,yj≤y的i,j求和.反過來,由聯(lián)合分布函數(shù)也可以求出聯(lián)合分布律.因此,聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合分布律是相互唯一確定的,它們都可以完全刻畫二維離散型隨機變量的概率特征.三、二維連續(xù)型隨機變量及其概率分布設二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),如果存在非負函數(shù)f(x,y),使得對任意實數(shù)x,y,有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,稱f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度,也簡稱為隨機變量(X,Y)的概率密度.按定義,聯(lián)合概率密度f(x,y)具有如下性質(zhì):(1)f(x,y)≥0;(2)(3)若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù),則有(4)若G是xOy平面上的一個區(qū)域,則隨機點(X,Y)落在G內(nèi)的概率為四、邊緣分布二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,前面討論了它的聯(lián)合分布,而X,Y各自都是一維隨機變量,它們也有各自的分布函數(shù),記為FX(x),FY(y).FX(x),FY(y)分別稱為二維隨機變量(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數(shù).事實上,(X,Y)的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)

(211)FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y)=F(+∞,y)

(212)1.二維離散型隨機變量的邊緣分布律設(X,Y)為二維離散型隨機變量,其聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…則X的分布律為Y的分布律為pi·和p·j(i,j=1,2,3,…)分別稱為(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布律.若將(X,Y)的分布律用表格形式表示,則pi·就是表中第i行所有概率之和,p·j就是表中第j列所有概率之和.若將分布律的表格擴充,可以更直觀地得到邊緣分布律,如表2.2所示.2.二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度類似地,由二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度f(x,y),也可以得到單個連續(xù)型隨機變量的概率密度.事實上,由得到同理,由得到fX(x),fY(y)分別稱為(X,Y)關于X,Y的邊緣概率密度函數(shù)或者邊緣概率密度.連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量相同:已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布;反之則不能唯一確定.五、條件分布1.二維離散型隨機變量的條件分布設(X,Y)是離散型二維隨機變量,X和Y的聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…則(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律為定義1對于固定的j,若p·j=P(Y=yj)>0,稱為在Y=yj條件下,隨機變量X的條件分布律.同樣,對于固定的i,若pi·=P(X=xi)>0,稱為在X=xi條件下,隨機變量Y的條件分布律.易知上述條件概率滿足分布律的性質(zhì):2.連續(xù)型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量(X,Y)的條件分布比離散型復雜,對于任意實數(shù)x,y,有P(X=x)=0,P(Y=y)=0,所以就不能直接用條件概率來計算條件分布函數(shù).設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,分布函數(shù)為F(x,y),概率密度為f(x,y),(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為fY(y),f(x,y)和fY(y)均連續(xù),且fY(y)>0.計算條件概率:由于從而至此,我們定義:對于一切fY(y)>0,給定Y=y條件下X的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)分別為同理可以定義對于一切fX(x)>0,給定X=x條件下Y的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)分別為六、隨機變量的獨立性1.二維隨機變量的獨立性定義2設(X,Y)為二維隨機變量,若對任意的實數(shù)x,y,均有F(x,y)=FX(x)FY(y)即P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)(2-23)則稱隨機變量X與Y相互獨立.隨機變量(X,Y)只要滿足上述定義的條件,則任何只與X有關的事件和任何只與Y有關的事件都相互獨立.對于二維離散型隨機變量,有下面更為簡明的獨立性定義.定義3設(X,Y)為二維離散型隨機變量,若對于一切i,j,有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)即pij=pi··p·j(2-24)則稱隨機變量X與Y相互獨立.定義4設(X,Y)為連續(xù)型隨機變量,其概率密度為f(x,y),關于X和Y的邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y),如果對于一切x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)(2-25)則稱隨機變量X與Y相互獨立.2.n維隨機變量的獨立性關于二維隨機變量的一些概念和結論,可以推廣到n維隨機變量的情形.設隨機變量X1,X2,…,Xn是定義在同一個樣本空間上的隨機變量,它們構成的向量(X1,X2,…,Xn)稱為n維隨機變量,n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P(X≤x1,X≤x2,…,X≤xn)稱為n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù).設(X1,X2,…,Xn)關于Xi的邊緣分布函數(shù)為FXi(xi),(i=1,2,…,n)有下面的定義.定義5設(X1,X2,…,Xn)為n維隨機變量,若對于任意的實數(shù)x1,x2,…,xn,有對于離散型隨機變量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互獨立的充要條件是對一切x1,x2,…,xn,有對于連續(xù)型隨機變量(X1,X2,…,Xn),X1,X2,…,Xn相互獨立的充要條件是對一切x1,x2,…,xn,有f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)

(2-28)這里f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2,…,Xn)的概率密度,fXi(xi)(i=1,2,…,n)是(X1,X2,…,Xn)關于Xi的邊緣概率密度.下面的結論在數(shù)理統(tǒng)計中會經(jīng)常用到:若X1,X2,…,Xn相互獨立,則(1)其中任意r(r≤n)個隨機變量也相互獨立.(2)X1,X2,…,Xn各自的函數(shù)g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互獨立.(3)設(X1,X2,…,Xn)與(Y1,Y2,…,Xm)相互獨立,則g(X1,X2,…,Xn)與h(Y1,Y2,…,Ym)也相互獨立,其中h,g是連續(xù)函數(shù).第五節(jié)隨機變量函數(shù)的分布一、離散型隨機變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機變量函數(shù)的分布設X為離散型隨機變量,則Y=g(X)也為離散型隨機變量,它的分布律可以直接從X的分布律得到.方法是先確定Y可能取的值,再求出它取每個值的概率.若X的分布律為則Y=g(X)的分布律為當g(x1),g(x2),…,g(xn),…中有某些值相等時,應把相等的值分別合并,并把對應的概率相加,作為Y取該值的概率.2.二維離散型隨機變量函數(shù)的分布當(X,Y)為離散型隨機變量時,它的函數(shù)Z=g(X,Y)是(一維)離散型隨機變量,其分布律的求法與前面討論過的一維離散型隨機變量的情形是一樣的.即先確定Z=g(X,Y)所有可能取的值,再求出它取每個值的概率.設(X,Y)的分布律為P(X=xi,Y=yj)=piji,j=1,2,3,…則Z=g(X,Y)的分布律為P(Z=g(xi,yj))=piji,j=1,2,3,…二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1.一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機變量的函數(shù)不